7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

7．1．2　弧度制及其与角度制的换算 知识点一　弧度制的概念 1．下列说法中错误的是(　　) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．若α＝3，则角α为锐角 答案：D 解析：由弧度的定义知A，B，C正确；对于D，因为＜α＜π，所以角α为钝角，故D错误． 知识点二　弧度制与角度制的换算 2．[多选]下列转化结果正确的是(　　) A．67°30′化成弧度是 B．－化成角度是－600° C．－140°化成弧度是－ D．化成角度是15° 答案：ABD 解析：对于A，67°30′＝67．5×＝，A正确；对于B，－＝－×°＝－600°，B正确；对于C，－140°＝－140×＝－，C错误；对于D，＝×°＝15°，D正确．故选ABD． 3．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是________． 答案：＋，－ 解析：设两个角的弧度数分别为x，y．因为1°＝ rad，所以解得所以所求两角的弧度数分别为＋，－． 知识点三　用弧度制表示终边相同的角 4．与300°角终边相同的角的集合是________．(用弧度制表示) 答案： 解析：与300°角终边相同的角表示为α＝300°＋k·360°，k∈Z，化为弧度制为α＝＋2kπ，k∈Z． 5．在平面直角坐标系中，α＝－，当角β的终边与角α的终边分别有如下关系时，求β： (1)角α，β的终边关于x轴对称； (2)角α，β的终边关于y轴对称； (3)角α，β的终边关于原点对称． 解：(1)如图①，可得β＝＋2kπ，k∈Z． (2)如图②，可得β＝－＋2kπ，k∈Z． (3)如图③，可得β＝＋2kπ，k∈Z． 6．(1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π； (2)用弧度制表示顶点在原点，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)． 解：(1)∵－1480°＝－1480×＝－， ∴－＝－10π＋＝＋(－5)×2π， 其中α＝． (2)330°＝360°－30°＝2π－，而60°＝， 它所表示的区域位于－与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分内的角的集合为． 知识点四　扇形的弧长公式与面积公式的应用 7．在半径为1的圆中，面积为1的扇形所对圆心角的弧度数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由题意，得S＝lr＝l×1＝1，∴l＝2，∴扇形所对圆心角的弧度数为＝＝2． 8．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为(　　) A． B． C．4 D． 答案：D 解析：连接OA，OB．因为∠ACB＝，所以∠AOB＝，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧的长为×r＝． 9．如图，在半径为10，圆心角为的扇形铁皮ADE上截去一个半径为4的小扇形ABC，求留下部分环形的面积． 解：如图，因为圆心角α＝， 所以S扇形ADE＝α·AD2＝， S扇形ABC＝α·AB2＝， 所以环形BCED的面积为S＝－＝＝14π． 一、单选题 1．现行的二十四节气是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为(　　) A．－ B． C． D． 答案：D 解析：根据题意，从立冬到立春对应地球在黄道上逆时针运动所对圆心角的度数为6×15°＝90°，即弧度数为．故选D． 2．若α＝－3，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：因为<3<π，所以－π<－3<－，故角α的终边在第三象限． 3．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 答案：C 解析：对于A，B，2kπ＋45°(k∈Z)，k·360°＋(k∈Z)中角度和弧度混用，A，B错误；对于C，因为＝2π＋与－315°是终边相同的角，故与角的终边相同的角可表示为k·360°－315°(k∈Z)，C正确；对于D，kπ＋(k∈Z)，不妨取k＝0，则表示角，故与角的终边不相同，D错误．故选C． 4．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　) A．α＋β＝0 B．α－β＝0 C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝＋2kπ(k∈Z) 答案：D 解析：∵α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z)．∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z，∴α－β＝＋2kπ(k∈Z)． 5．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某纸扇的扇环如图所示，其中外弧线长与内弧线长之和为95 cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为 cm，且该扇形的中心角的弧度数为2．7，则该扇环的外弧线长为(　　) A．70 cm B．75 cm C．68 cm D．72 cm 答案：A 解析：如图，设弧长AB为l1，弧长CD为l2，因为该扇形的中心角的弧度数为2．7，所以l1＝2．7OA，l2＝2．7OC，即OA＝，OC＝，因为AC＝OA－OC＝＝，所以l1－l2＝45，又因为l1＋l2＝95，所以l1＝70，所以该扇环的外弧线长为70 cm．故选A． 二、多选题 6．下列弧度与角度的转化正确的是(　　) A．－240°＝－ B．＝330° C．225°＝ D．－＝－310° 答案：AC 解析：对于A，－240°＝－，A正确；对于B，＝300°，B错误；对于C，225°＝，C正确；对于D，－＝－315°，D错误．故选AC． 7．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列说法中可能正确的是(　　) A．圆的半径为2 B．圆的半径为1 C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2 答案：ABC 解析：设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则由题意得解得或可得圆的半径为1或2，圆心角的弧度数是4或1．故选ABC． 三、填空题 8．三角形三内角之比为2∶5∶8，则最小角的弧度数为________． 答案： 解析：设最小角为α，则α＝×π＝． 9．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________． 答案：[－4，－π]∪[0，π] 解析：如图所示，A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]． 10．已知扇形的周长是4，则扇形面积的最大值为________，此时扇形的圆心角α＝________． 答案：1　2 解析：设扇形的半径为r，则弧长l＝4－2r，∴扇形的面积S＝lr＝(2－r)r＝－(r－1)2＋1，当r＝1时，S最大，最大值为1．此时l＝2，扇形的圆心角α＝＝2． 四、解答题 11．已知α＝－800°． (1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈． 解：(1)因为－800°＝－3×360°＋280°， 280°＝， 所以α＝＋(－3)×2π． 因为角α与角的终边相同，所以角α是第四象限角． (2)因为与角α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α终边相同，所以γ＝2kπ＋，k∈Z． 又γ∈， 所以－<2kπ＋<，k∈Z， 解得k＝－1，所以γ＝－2π＋＝－． 12．已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10． (1)求弦AB所对的圆心角α(0<α<π)的大小； (2)求圆心角α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S． 解：(1)因为圆O的半径为10，弦AB的长为10， 所以△AOB为等边三角形， 所以α＝∠AOB＝． (2)因为α＝，所以l＝αr＝． S扇形＝lr＝××10＝． 又因为S△AOB＝×10×10×＝25， 所以弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝－25． 13．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是(　　) A． B． C． D．3π 答案：C 解析：由题意，扇形B′AB的圆心角为α＝45°＝，且∠BAC＝60°，AC＝3，所以AB＝AB′＝6，所以S扇形B′AB＝α·AB2＝××36＝，又S△ABC＝S△AB′C′，所以阴影部分的面积为S扇形B′AB＋S△AB′C′－S△ABC＝．故选C． 14．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成)．已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米． (1)若OD＝2OA＝80厘米．求该扇形玉雕壁画的曲边CD的长度； (2)若AD＝2OA．求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值． 解：设弧AB的长度为l1厘米，弧CD的长度为l2厘米． (1)因为OD＝2OA，所以＝＝， 所以l1＝l2． 因为OD＝2OA＝80厘米，所以AD＝BC＝40厘米． 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以l1＋l2＝240， 所以l2＋l2＝240，解得l2＝160，即曲边CD的长度为160厘米． (2)因为AD＝2OA，所以＝， 所以＝＝， 则扇形OCD的面积 S1＝OD·l2＝OA·l1， 扇形OAB的面积S2＝OA·l1， 故该扇形玉雕壁画的扇面面积S＝S1－S2＝4OA·l1． 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以l1＋l2＋AD＋BC＝4l1＋4OA＝320， 所以l1＋OA＝80， 则2≤OA＋l1＝80，从而OA·l1≤1600，当且仅当OA＝l1＝40时，等号成立， 故S＝4OA·l1≤6400，即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6400平方厘米． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$