7.1.1 角的推广-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

7．1．1　角的推广 知识点一　角的概念的推广 1．把一条射线绕着端点O按顺时针方向旋转240°所形成的角是(　　) A．120° B．－120° C．240° D．－240° 答案：D 解析：由定义，知顺时针方向旋转240°即－240°． 2．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OA位置绕端点O顺时针旋转150°到达OC位置，则OB顺时针旋转到OC所形成的角为(　　) A．270° B．－270° C．30° D．－30° 答案：B 解析：OB顺时针旋转到OC所形成的角为－120°＋(－150°)＝－270°． 知识点二　终边相同的角与象限角 3．[多选]下列各对角中，终边相同的是(　　) A．270°和k·360°－270°(k∈Z) B．72°和792° C．－140°和220° D．1200°和2440° 答案：BC 解析：若两角的终边相同，则两角需相差k·360°(k∈Z)，经验证，792°＝2×360°＋72°，220°＝360°＋(－140°)．故选BC． 4．－2024°是第________象限角． 答案：二 解析：－2024°＝－6×360°＋136°，136°是第二象限角，所以－2024°是第二象限角． 5．若α是第四象限角，则是第______象限角． 答案：二、三、四 解析：解法一：因为α是第四象限角，所以270°＋k·360°＜α＜360°＋k·360°，k∈Z，则90°＋k·120°＜＜120°＋k·120°，k∈Z．取k＝0，得到在第二象限；取k＝1，得到在第三象限；取k＝2，得到在第四象限． 解法二：如图所示．因为α为第四象限角，所以由等分象限法可知，是第二、第三或第四象限角． 6．已知α是第一象限角，β是第二象限角，试确定角的终边所在的位置． 解：由已知得k1·360°<α<90°＋k1·360°，k1∈Z，　① 90°＋k2·360°<β<180°＋k2·360°，k2∈Z． ② ①＋②，得90°＋(k1＋k2)·360°<α＋β<270°＋(k1＋k2)·360°，k1，k2∈Z， ∴45°＋(k1＋k2)·180°<<135°＋(k1＋k2)·180°，k1，k2∈Z． 当k1＋k2＝2m(m∈Z)时，45°＋m·360°<<135°＋m·360°，角的终边在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上； 当k1＋k2＝2m＋1(m∈Z)时，225°＋m·360°<<315°＋m·360°，角的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上． 知识点三　区域角的表示 7．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在圆中的位置(阴影部分)是(　　) 答案：C 解析：当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°，n∈Z；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，n∈Z．故选C． 8．如图，终边落在OA位置上的角的集合是________；终边落在OB位置上，且在－360°～360°内的角的集合是________；终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________． 答案：{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z} {315°，－45°}　 {α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z} 解析：终边落在OA位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}．终边落在OB位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}，取k＝0，－1得α＝315°，－45°，故终边落在OB位置上，且在－360°～360°内的角的集合是{315°，－45°}．终边落在阴影部分的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}． 9．如图，若角α的终边落在函数y＝x(x≥0)与y＝－x(x≤0)的图象所夹的区域(图中阴影部分，包含边界)内，求角α的集合． 解：终边落在函数y＝x(x≥0)的图象上的角的集合是{θ|θ＝45°＋k·360°，k∈Z}， 终边落在函数y＝－x(x≤0)的图象上的角的集合是{θ|θ＝135°＋k·360°，k∈Z}． 所以角α的集合是{α|45°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． 一、单选题 1．时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是(　　) A．－660° B．140° C．－140° D．660° 答案：A 解析：50÷60＝，则360°×＝300°，因为分针是顺时针旋转的，所以时间经过1小时50分钟，分针转过的角度是－660°．故选A． 2．下列说法中正确的是(　　) A．第二象限的角都是钝角 B．第二象限的角大于第一象限的角 C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合 D．若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z) 答案：D 解析：A错误，495°＝135°＋360°是第二象限的角，但不是钝角；B错误，α＝135°是第二象限的角，β＝360°＋45°是第一象限的角，但α<β；C错误，α＝360°，β＝720°，α≠β，但二者终边重合；D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或关于原点对称，故α－β＝k·180°(k∈Z)．故选D． 3．若α与θ关于x轴对称，则α＋θ的终边落在(　　) A．x轴的正半轴 B．第一象限 C．y轴的正半轴 D．第三象限 答案：A 解析：不妨设角β与角α终边相同，则α＝β＋k·360°，k∈Z．由于α与θ关于x轴对称，则有θ＝－β＋m·360°，m∈Z．所以α＋θ＝(k＋m)·360°，因此α＋θ的终边落在x轴的正半轴上．故选A． 4．如图，α，β分别是终边落在射线OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°，则终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为(　　) A．{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋60°，k∈Z} B．{γ|k·360°－135°<γ<k·360°＋120°，k∈Z} C．{γ|k·180°－45°<γ<k·180°＋60°，k∈Z} D．{γ|k·180°＋45°<γ<k·180°＋135°，k∈Z} 答案：A 解析：因为－45°角是与β终边相同的一个角，所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋60°，k∈Z}．故选A． 5．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是(　　) A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第一或第四象限角 答案：C 解析：因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z．故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，α为第三象限角．故选C． 二、多选题 6．角α和β的终边关于直线y＝－x对称，且α＝30°，则β可以是(　　) A．－120° B．－240° C．600° D．280° 答案：AC 解析：如图，OA为角α的终边，OB为角β的终边，由α＝30°得∠AOC＝75°．根据对称性知，∠BOC＝75°，因此∠BOx＝120°，所以β＝－120°＋k·360°，k∈Z．当k＝0时，β＝－120°，当k＝2时，β＝600°．故选AC． 7．若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．270°＋α是第二象限角 D．2α是第三或第四象限角或其终边在y轴的负半轴上 答案：BD 解析：因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z．对于A，因为－180°－k·360°<－α<－90°－k·360°，k∈Z，则－α是第三象限角，故A错误；对于B，因为45°＋k·180°<<90°＋k·180°，k∈Z，当k为偶数时，是第一象限角，当k为奇数时，是第三象限角，故B正确；对于C，因为360°＋k·360°<270°＋α<450°＋k·360°，k∈Z，即(k＋1)·360°<270°＋α<90°＋(k＋1)·360°，k∈Z，所以270°＋α是第一象限角，故C错误；对于D，因为180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或其终边在y轴的负半轴上，故D正确．故选BD． 三、填空题 8．－378°是第________象限角． 答案：四 解析：－378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角． 9．若角θ的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角为________． 答案：20°，140°，260° 解析：由题意设θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，则＝20°＋k·120°(k∈Z)，则当k＝0，1，2时，＝20°，140°，260°． 10．已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k∈Z}，B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}，则A∩B＝________，A∪B＝________． 答案：{θ|k·360°＋30°<θ<k·360°＋45°，k∈Z}　{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋90°或k·360°＋210°<γ<k·360°＋270°，k∈Z} 解析：集合A、集合B表示的角的区域如图所示，则A∩B＝{θ|k·360°＋30°<θ<k·360°＋45°，k∈Z}，A∪B＝{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋90°或k·360°＋210°<γ<k·360°＋270°，k∈Z}． 四、解答题 11．已知＝k·360°＋60°(k∈Z)，求，并指出角的终边所在的位置． 解：∵＝k·360°＋60°(k∈Z)， ∴α＝3k·360°＋180°(k∈Z)， ∴＝3k·180°＋90°(k∈Z)． 当k为偶数，即k＝2n(n∈Z)时， ＝3n·360°＋90°(n∈Z)， 这时角的终边在y轴的正半轴上； 当k为奇数，即k＝2n＋1(n∈Z)时，＝(3n＋2)·360°－90°(n∈Z)，这时角的终边在y轴的负半轴上． 12．已知角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}． (1)其中有几种终边不重合的角？ (2)写出落在－360°～360°之间的角； (3)写出其中是第二象限角的一般表示方法． 解：(1)当k＝4n(n∈Z)时，α＝n·360°＋45°，与45°角的终边重合； 当k＝4n＋1(n∈Z)时，α＝n·360°＋135°，与135°角的终边重合； 当k＝4n＋2(n∈Z)时，α＝n·360°＋225°，与225°角的终边重合； 当k＝4n＋3(n∈Z)时，α＝n·360°＋315°，与315°角的终边重合， 故有4种终边不重合的角． (2)由－360°<k·90°＋45°<360°，得－<k<． 又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3． 所以在给定的角的集合中落在－360°～360°之间的角是－315°，－225°，－135°，－45°，45°，135°，225°，315°． (3)由(1)知，其中是第二象限角的可表示为α＝k·360°＋135°，k∈Z． 13．已知角α的终边与240°角的终边垂直，则α不可能是(　　) A．－150° B．510° C．690° D．1050° 答案：A 解析：要想角α的终边与240°角的终边垂直，则α与240°相差90°的奇数倍．对于A，240°－(－150°)＝390°，不是90°的奇数倍，α不可能是－150°，A应选；对于B，510°－240°＝270°，是90°的奇数倍，α可能是510°，B不选；对于C，690°－240°＝450°，是90°的奇数倍，α可能是690°，C不选；对于D，1050°－240°＝810°，是90°的奇数倍，α可能是1050°，D不选．故选A． 14．如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，∠AOx＝45°．点P从点A出发，依逆时针方向匀速地沿圆周旋转，已知P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，求θ，并判断其是第几象限角． 解：由题意，有14θ＋45°＝45°＋k·360°(k∈Z)， ∴θ＝(k∈Z)． 又180°＜2θ＋45°＜270°， 即67．5°＜θ＜112．5°， ∴67．5°＜＜112．5°(k∈Z)， ∴k＝3或k＝4，故θ＝或θ＝． 易知0°＜＜90°，90°＜＜180°， 故当θ＝时，θ是第一象限角；当θ＝时，θ是第二象限角． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$