7.3.1 正弦函数的性质与图象-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第七章　三角函数 7.3　三角函数的性质与图像 7.3.1　正弦函数的性质与图象 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 5 知识点二　正弦函数的单调性及应用 3.sin14°________sin156°(填“>”“<”或“＝”). < 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 7 知识点三　与正弦函数有关的最值或值域问题 5.若sinx＝2m－1且x∈R，则m的取值范围是(　　) A.[0，1] B.(2，3] C.(1，2) D.(－1，0) 解析：∵sinx＝2m－1，x∈R，∴－1≤2m－1≤1，∴0≤2m≤2，∴0≤m≤1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 10 知识点四　正弦函数的图象及应用 8.函数y＝1－sinx，x∈[0，2π]的大致图象是图中的(　　) 解析：∵y＝1－sinx的图象是由y＝sinx的图象先关于x轴对称，再向上平移1个单位得到的，∴由y＝sinx，x∈[0，2π]的图象可知B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 11 解析：正弦函数的定义域为R，则A正确；由正弦函数的图象，知B正确；由sin0＝sin2kπ＝0，k∈Z可知，正弦函数的图象与x轴有无数个交点，则C正确；由正弦函数的图象可知，其图象不关于y轴对称，则D错误.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 13 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 2.记a＝sin1，b＝sin2，c＝sin3，则(　　) A.c<b<a B.c<a<b C.a<c<b D.a<b<c 解析：画出f(x)＝sinx的图象，如图，其中A(1，sin1)，B(2，sin2)，C(3，sin3)，由图可知sin3<sin1<sin2，即c<a<b.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 16 3.已知函数f(x)＝(x＋a)2sinx是R上的奇函数，则实数a的值为(　　) A.1 B.0 C.－1 D.R 解析：因为f(x)＝(x＋a)2sinx是R上的奇函数，且y＝sinx是R上的奇函数，所以y＝(x＋a)2是R上的偶函数，故a＝0.经检验，当a＝0时，f(x)＝x2sinx是R上的奇函数，符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 [－4，－π]∪[0，π] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 10.已知函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________. (1，3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 30 ②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 31 解析：函数f(x)的定义域为R，因为f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，所以f(x)为偶函数. 当x≥0时，f(x)＝sinx＋|sinx|，则f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋|sin(x＋2π)|＝sinx＋|sinx|＝f(x)；当0<x≤π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx；当π<x≤2π时，f(x)＝sinx－sinx＝0，则函数f(x)的图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 37 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　正弦函数的奇偶性和周期性 1.下列函数具有奇偶性的是(　　) A.f(x)＝sinx(x>0) 　 B.f(x)＝2sinx(x<0) C.f(x)＝sineq \f(1,x)(x≠0) 　 D.f(x)＝eq \r(2sinx) 解析：对于A，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数；对于B，函数f(x)的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数；对于C，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))＝－sineq \f(1,x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数；对于D，函数f(x)的定义域为{x|2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z}，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数.故选C. 2.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,2)))＝sineq \f(π,4)，能否说明eq \f(π,2)是函数y＝sinx的一个周期？ 解：在函数周期性的定义中，要求对定义域中的每一个x值都有f(x＋T)＝f(x)成立，对于个别的x0，虽说满足f(x0＋T)＝f(x0)，但不能说T是函数f(x)的周期.如sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(π,2)))＝sineq \f(π,2)＝1，而sin0＝0，故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(π,2)))≠sin0，所以eq \f(π,2)不是函数y＝sinx的一个周期. 解析：∵sin156°＝sin(180°－24°)＝sin24°，－90°<14°<24°<90°，y＝sinx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，∴sin14°<sin24°，即sin14°<sin156°. 4.函数y＝logeq \s\do9(\f(1,2))sinx的单调递增区间是____________________. 解析：由sinx>0得2kπ<x<2kπ＋π(k∈Z)，∵0<eq \f(1,2)<1，∴函数y＝logeq \s\do9(\f(1,2))sinx的单调递增区间即为u＝sinx>0的单调递减区间，∴2kπ＋eq \f(π,2)≤x<2kπ＋π(k∈Z).故函数y＝logeq \s\do9(\f(1,2))sinx的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋π))(k∈Z). eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋π))(k∈Z) 6.设a>0，对于函数f(x)＝eq \f(sinx＋a,sinx)(0<x<π)，下列结论正确的是(　　) A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值 解析：∵0<x<π，∴0<sinx≤1，eq \f(1,sinx)≥1，∴函数f(x)＝eq \f(sinx＋a,sinx)＝1＋eq \f(a,sinx)(a>0)有最小值而无最大值.故选B. 7.求下列函数的值域. (1)y＝1－2cos2x＋2sinx； (2)y＝eq \f(2sinx,2＋sinx). 解：(1)y＝1－2cos2x＋2sinx＝2sin2x＋2sinx－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(3,2).当sinx＝－eq \f(1,2)时，ymin＝－eq \f(3,2)；当sinx＝1时，ymax＝3. ∴函数y＝1－2cos2x＋2sinx的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)). (2)y＝eq \f(2sinx,2＋sinx)＝eq \f(2(2＋sinx)－4,2＋sinx)＝2－eq \f(4,2＋sinx)， ∵－1≤sinx≤1，∴1≤2＋sinx≤3， ∴eq \f(4,3)≤eq \f(4,2＋sinx)≤4，－2≤2－eq \f(4,2＋sinx)≤eq \f(2,3)， ∴函数y＝eq \f(2sinx,2＋sinx)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3))). 9.[多选]对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法正确的是(　　) A.向左右无限伸展 B.在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减 C.与x轴有无数个交点 D.关于y轴对称 10.方程sinx＝eq \f(1－a,2)在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))上有两个实数根，则a的取值范围为__________. 解析：作出y＝sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))与y＝eq \f(1－a,2)的图象，由图象可知，当eq \f(\r(3),2)≤eq \f(1－a,2)<1，即－1<a≤1－eq \r(3)时，y＝sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))的图象与y＝eq \f(1－a,2)的图象有两个交点，即方程sinx＝eq \f(1－a,2)在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))上有两个实数根，所以a的取值范围为(－1，1－eq \r(3)]. (－1，1－eq \r(3)] 一、单选题 1.函数y＝eq \r(sinx)的定义域为(　　) A.[0，π] B.{第一或第二象限的角} C.{x|2kπ≤x≤(2k＋1)π，k∈Z} D.(0，π) 解析：要使函数y＝eq \r(sinx)有意义，则需sinx≥0，由y＝sinx的图象可得函数的定义域为{x|2kπ≤x≤(2k＋1)π，k∈Z}. 4.方程sinx＝eq \f(x,10)的根的个数是(　　) A.7 　　　　　　B.8 　　　　　　　C.9 　　　　　　　D.10 解析：在同一平面直角坐标系内画出y＝eq \f(x,10)和y＝sinx的图象如图所示.根据图象可知方程有7个根. 5.函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，则b－a的最大值和最小值之和为(　　) A.eq \f(4π,3) 　　　　　　B.eq \f(8π,3) 　　　　　　C.2π 　　　　　　 D.4π 解析：作出y＝sinx的一个简图，如图所示.∵函数的值域 为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，且sineq \f(π,6)＝sineq \f(5π,6)＝eq \f(1,2)，sineq \f(3π,2)＝－1，∴定义域[a，b] 中b－a的最小值为eq \f(3π,2)－eq \f(5π,6)＝eq \f(2π,3)，定义域[a，b]中b－a的最大 值为2π＋eq \f(π,6)－eq \f(5π,6)＝eq \f(4π,3)，故可得b－a的最大值与最小值之和为2π. 二、多选题 6.已知函数f(x)＝|tanx|cosx，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))中心对称 C.f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递增 D.f(x)的值域为[－1，1] 解析：f(x＋π)＝|tan(x＋π)|cos(x＋π)＝－|tanx|cosx，π不是函数的周期，A错误；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－tan\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))))))coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))))＝－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))))·coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))，∴函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))中心对称，B正确；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，f(x)＝－sinx，单调递增，C正确；当tanx≥0时，f(x)＝sinx，当tanx<0时，f(x)＝－sinx.∵cosx≠0，∴sinx≠±1，∴f(x)的值域为(－1，1)，D错误.故选BC. 7.设函数f(x)＝2sin2x－3sin|x|＋1，则(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))上单调递增 C.f(x)的最小值为－eq \f(1,8) D.f(x)在[－π，π]上有4个零点 解析：对于A，f(x)的定义域为R，又f(－x)＝2sin2x－3sin|x|＋1＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，令t＝sinx，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，显然t是关于x的增函数，此时y＝2t2＋3t＋1，t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))，其图象的对称轴方程为x＝－eq \f(3,4)，故y是关于t的增函数，由复合函数的单调性可知，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))上单调递增，故B正确； 对于C，由A项分析可知，f(x)为偶函数，所以f(x)在[0，＋∞)上的最小值即f(x)在R上的最小值，令t＝sinx，x∈[0，＋∞)，则t∈[－1，1]，所以f(x)的最小值也即g(t)＝2t2－3t＋1，t∈[－1，1]的最小值，又g(t)＝2t2－3t＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,4))) eq \s\up12(2)－eq \f(1,8)，当t＝eq \f(3,4)时，g(t)取得最小值－eq \f(1,8)，所以f(x)的最小值为－eq \f(1,8)，故C正确；对于D，由A项分析可知，f(x)为偶函数，故只需先判断f(x)在[0，π]上的零点个数，当x∈[0，π]时，令f(x)＝0，即2sin2x－3sinx＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(3,4))) eq \s\up12(2)－eq \f(1,8)＝0，解得sinx＝1或sinx＝eq \f(1,2)，故可得x＝eq \f(π,2)或eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)，即f(x)在[0，π]上有3个零点，故f(x)在[－π，π]上有6个零点，故D错误.故选ABC. 三、填空题 8.函数y＝eq \r(16－x2)＋eq \r(sinx) 的定义域为__________________. 解析：要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16－x2≥0，,sinx≥0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4≤x≤4，,2kπ≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，))故函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π]. 9.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx，x≥0，,x＋2，x<0，))则不等式f(x)>eq \f(1,2)的解集是 __________________________________. 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝eq \f(1,2)的图象，如图所示.由图可知，当f(x)>eq \f(1,2)时，有－eq \f(3,2)<x<0或eq \f(π,6)＋2kπ<x<eq \f(5π,6)＋2kπ(k∈N). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))(k∈N) 解析：f(x)＝sinx＋2|sinx|＝eq \b\lc\{(\a\al(3sinx，x∈[0，π]，,－sinx，x∈（π，2π]))的图象如图.若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k的取值范围是(1，3). 四、解答题 11.求函数y＝eq \r(\r(3)－2sinx)的定义域、值域和零点. 解：令eq \r(3)－2sinx≥0，即sinx≤eq \f(\r(3),2)，解得eq \f(2π,3)＋2kπ≤x≤eq \f(7π,3)＋2kπ，k∈Z，所以函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2kπ，\f(7π,3)＋2kπ))，k∈Z. 因为－1≤sinx≤eq \f(\r(3),2)，所以0≤eq \r(3)－2sinx≤eq \r(3)＋2， 所以0≤eq \r(\r(3)－2sinx)≤eq \r(\r(3)＋2)， 又eq \r(3)＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)＋\r(6),2))) eq \s\up12(2)，所以函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2)＋\r(6),2))). 令y＝eq \r(\r(3)－2sinx)＝0，解得x＝eq \f(2π,3)＋2kπ或x＝eq \f(7π,3)＋2kπ，k∈Z，所以函数的零点为x＝eq \f(2π,3)＋2kπ或x＝eq \f(7π,3)＋2kπ. 12.已知函数f(x)＝sinx－1. (1)写出f(x)的单调区间； (2)求f(x)的最大值和最小值及取得最值时x的集合； (3)比较feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))的大小. 解：(1)因为函数f(x)＝sinx－1与g(x)＝sinx的单调区间相同， 所以f(x)＝sinx－1的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)，单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z). (2)因为函数g(x)＝sinx， 当x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，g(x)取最大值1， 当x＝eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)时，g(x)取最小值－1. 所以函数f(x)＝sinx－1， 当x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)))))时，f(x)取最大值0， 当x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)))))时，f(x)取最小值－2. (3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))－1，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))－1， 因为－eq \f(π,2)<－eq \f(π,12)<－eq \f(π,18)<eq \f(π,2)， 且y＝sinx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数， 所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＜sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18))). 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))＞feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12))). 13.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|，函数g(x)＝[f(x)]，则以下四个命题中正确的是________(填序号). ①函数g(x)是周期函数； ②函数g(x)的值域是{0，1，2}； ③函数g(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称； ④方程eq \f(π,2)·g(x)＝x只有一个实数根. 由g(x)＝[f(x)]可知，当x≥0时，g(x＋2π)＝[f(x＋2π)]＝[f(x)]＝g(x)，当x＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时，g(x)＝2；当2kπ＋eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,6)，且x≠2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时，g(x)＝1；当2kπ≤x<2kπ＋eq \f(π,6)或2kπ＋eq \f(5π,6)<x≤2kπ＋2π，k∈Z时，g(x)＝0.因为g(－x)＝[f(－x)]＝[f(x)]＝g(x)，所以g(x)为偶函数，则函数g(x)的图象如图所示. 由函数g(x)的图象可得g(x)不是周期函数，故①不正确；函数g(x)的值域是{0，1，2}，故②正确；因为geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))))＝[eq \r(2)]＝1，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)))))＝[0]＝0，所以函数g(x)的图象不关于直线x＝eq \f(π,2)对称，故③不正确；对于方程eq \f(π,2)·g(x)＝x，当g(x)＝0时，x＝0，方程有一个实数根；当g(x)＝1时，x＝eq \f(π,2)，此时geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2≠1，方程没有实数根；当g(x)＝2时，x＝π，此时g(π)＝0≠2，方程没有实数根，所以方程eq \f(π,2)·g(x)＝x只有一个实数根，故④正确. 14.已知函数f(x)＝cos2x＋2asinx－a2，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(2π,3))). (1)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝1，求实数a的值； (2)若函数f(x)有2个零点，求实数a的取值范围. 解：(1)∵f(x)＝cos2x＋2asinx－a2， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2))) eq \s\up12(2)＋a－a2＝1， ∴a2－a＋eq \f(1,4)＝0，∴a＝eq \f(1,2). (2)令sinx＝t，∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))， ∴t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))， 则y＝f(x)＝1－sin2x＋2asinx－a2＝1－t2＋2at－a2， 由1－a2－t2＋2at＝0，得t＝a±1. ∵y＝sinx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上单调递增，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))上单调递减， 且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－sineq \f(π,6)＝－eq \f(1,2)，sineq \f(2π,3)＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，sineq \f(π,2)＝1， ∴当eq \f(\r(3),2)≤t<1时，x有两个值；当t＝1或－eq \f(1,2)≤t<eq \f(\r(3),2)时，x有一个值， ∴当a＝0时，t＝±1(－1不符合题意)，函数f(x)只有1个零点eq \f(π,2)； 当a>0时，a＋1>1，f(x)有2个零点，需有eq \f(\r(3),2)≤a－1<1，解得1＋eq \f(\r(3),2)≤a<2； 当a<0时，a－1<－1，f(x)有2个零点，需有eq \f(\r(3),2)≤1＋a<1，解得eq \f(\r(3),2)－1≤a<0. 综上所述，若f(x)有2个零点，则实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－1，0))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),2)，2)). $$