7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第七章　三角函数 7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　弧度制的概念 1.下列说法中错误的是(　　) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.若α＝3，则角α为锐角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 5 3.已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 6 知识点三　用弧度制表示终边相同的角 4.与300°角终边相同的角的集合是____________________.(用弧度制表示) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 8 6.(1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π； (2)用弧度制表示顶点在原点，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 9 知识点四　扇形的弧长公式与面积公式的应用 7.在半径为1的圆中，面积为1的扇形所对圆心角的弧度数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 12 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 14 2.若α＝－3，则角α的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 7.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列说法中可能正确的是(　　) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 三、填空题 8.三角形三内角之比为2∶5∶8，则最小角的弧度数为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 9.已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝__________________. 解析：如图所示，A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]. [－4，－π]∪[0，π] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 10.已知扇形的周长是4，则扇形面积的最大值为________，此时扇形的圆心角α＝________. 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 12.已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α(0<α<π)的大小； (2)求圆心角α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 14.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成).已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米. (1)若OD＝2OA＝80厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边CD的长度； (2)若AD＝2OA.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 30 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：由弧度的定义知A，B，C正确；对于D，因为eq \f(π,2)＜α＜π，所以角α为钝角，故D错误. 知识点二　弧度制与角度制的换算 2.[多选]下列转化结果正确的是(　　) A.67°30′化成弧度是eq \f(3π,8) B.－eq \f(10π,3)化成角度是－600° C.－140°化成弧度是－eq \f(7π,6) D.eq \f(π,12)化成角度是15° 解析：对于A，67°30′＝67.5×eq \f(π,180)＝eq \f(3π,8)，A正确；对于B，－eq \f(10π,3)＝－eq \f(10π,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－600°，B正确；对于C，－140°＝－140×eq \f(π,180)＝－eq \f(7π,9)，C错误；对于D，eq \f(π,12)＝eq \f(π,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝15°，D正确.故选ABD. 解析：设两个角的弧度数分别为x，y.因为1°＝eq \f(π,180) rad，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝\f(π,180)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)＋\f(π,360)，,y＝\f(1,2)－\f(π,360)，))所以所求两角的弧度数分别为eq \f(1,2)＋eq \f(π,360)，eq \f(1,2)－eq \f(π,360). eq \f(1,2)＋eq \f(π,360)，eq \f(1,2)－eq \f(π,360) 解析：与300°角终边相同的角表示为α＝300°＋k·360°，k∈Z，化为弧度制为α＝eq \f(5π,3)＋2kπ，k∈Z. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5π,3)＋2kπ，k∈Z)))) 5.在平面直角坐标系中，α＝－eq \f(2π,3)，当角β的终边与角α的终边分别有如下关系时，求β： (1)角α，β的终边关于x轴对称； (2)角α，β的终边关于y轴对称； (3)角α，β的终边关于原点对称. 解：(1)如图①，可得β＝eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z. (2)如图②，可得β＝－eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z. (3)如图③，可得β＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z. 解：(1)∵－1480°＝－1480×eq \f(π,180)＝－eq \f(74π,9)，∴－eq \f(74π,9)＝－10π＋eq \f(16π,9)＝eq \f(16π,9)＋(－5)×2π，其中α＝eq \f(16π,9). (2)330°＝360°－30°＝2π－eq \f(π,6)，而60°＝eq \f(π,3)， 它所表示的区域位于－eq \f(π,6)与eq \f(π,3)之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分内的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ＜θ＜\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)))). 解析：由题意，得S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)l×1＝1，∴l＝2，∴扇形所对圆心角的弧度数为eq \f(l,r)＝eq \f(2,1)＝2. 8.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝eq \f(π,6)，则劣弧eq \o(AB,\s\up15(︵))的长为(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.4 D.eq \f(4π,3) 解析：连接OA，OB.因为∠ACB＝eq \f(π,6)，所以∠AOB＝eq \f(π,3)，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧eq \o(AB,\s\up15(︵))的长为eq \f(π,3)×r＝eq \f(4π,3). 9.如图，在半径为10，圆心角为eq \f(π,3)的扇形铁皮ADE上截去一个半径为4的小扇形ABC，求留下部分环形的面积. 解：如图，因为圆心角α＝eq \f(π,3)， 所以S扇形ADE＝eq \f(1,2)α·AD2＝eq \f(50π,3)， S扇形ABC＝eq \f(1,2)α·AB2＝eq \f(8π,3)， 所以环形BCED的面积为S＝eq \f(50π,3)－eq \f(8π,3)＝eq \f(42π,3)＝14π. 一、单选题 1.现行的二十四节气是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度 数为(　　) A.－eq \f(π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(5π,12) D.eq \f(π,2) 解析：根据题意，从立冬到立春对应地球在黄道上逆时针运动所对圆心角的度数为6×15°＝90°，即弧度数为eq \f(π,2).故选D. 解析：因为eq \f(π,2)<3<π，所以－π<－3<－eq \f(π,2)，故角α的终边在第三象限. 3.下列与角eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋eq \f(9π,4)(k∈Z) C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z) 解析：对于A，B，2kπ＋45°(k∈Z)，k·360°＋eq \f(9π,4)(k∈Z)中角度和弧度混用，A，B错误；对于C，因为eq \f(9π,4)＝2π＋eq \f(π,4)与－315°是终边相同的角，故与角eq \f(9π,4)的终边相同的角可表示为k·360°－315°(k∈Z)，C正确；对于D，kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)，不妨取k＝0，则表示角eq \f(5π,4)，故与角eq \f(9π,4)的终边不相同，D错误.故选C. 4.若角α与角x＋eq \f(π,4)有相同的终边，角β与角x－eq \f(π,4)有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　) A.α＋β＝0 B.α－β＝0 C.α＋β＝2kπ(k∈Z) D.α－β＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z) 解析：∵α＝x＋eq \f(π,4)＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－eq \f(π,4)＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝eq \f(π,2)＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z).∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z，∴α－β＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z). 5.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环.已知某纸扇的扇环如图所示，其中外弧线长与内弧线长之和为95 cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为eq \f(50,3) cm，且该扇形的中心角的弧度数为2.7，则该扇环的外弧线长为(　　) A.70 cm B.75 cm C.68 cm D.72 cm 解析：如图，设弧长AB为l1，弧长CD为l2，因为该扇形的 中心角的弧度数为2.7，所以l1＝2.7OA，l2＝2.7OC，即OA＝eq \f(l1,2.7)， OC＝eq \f(l2,2.7)，因为AC＝OA－OC＝eq \f(l1－l2,2.7)＝eq \f(50,3)，所以l1－l2＝45，又因为l1＋l2＝95，所以l1＝70，所以该扇环的外弧线长为70 cm.故选A. 二、多选题 6.下列弧度与角度的转化正确的是(　　) A.－240°＝－eq \f(4π,3) B.eq \f(5π,3)＝330° C.225°＝eq \f(5π,4) D.－eq \f(7π,4)＝－310° 解析：对于A，－240°＝－eq \f(4π,3)，A正确；对于B，eq \f(5π,3)＝300°，B错误；对于C，225°＝eq \f(5π,4)，C正确；对于D，－eq \f(7π,4)＝－315°，D错误.故选AC. 解析：设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6，,\f(1,2)αr2＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,α＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝2，,α＝1.))可得圆的半径为1或2，圆心角的弧度数是4或1.故选ABC. 解析：设最小角为α，则α＝eq \f(2,15)×π＝eq \f(2π,15). eq \f(2π,15) 解析：设扇形的半径为r，则弧长l＝4－2r，∴扇形的面积S＝eq \f(1,2)lr＝(2－r)r＝－(r－1)2＋1，当r＝1时，S最大，最大值为1.此时l＝2，扇形的圆心角α＝eq \f(2,1)＝2. 四、解答题 11.已知α＝－800°. (1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))). 解：(1)因为－800°＝－3×360°＋280°， 280°＝eq \f(14π,9)， 所以α＝eq \f(14π,9)＋(－3)×2π. 因为角α与角eq \f(14π,9)的终边相同，所以角α是第四象限角. (2)因为与角α终边相同的角可写为2kπ＋eq \f(14π,9)，k∈Z的形式，而γ与α终边相同，所以γ＝2kπ＋eq \f(14π,9)，k∈Z. 又γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))， 所以－eq \f(π,2)<2kπ＋eq \f(14π,9)<eq \f(π,2)，k∈Z， 解得k＝－1，所以γ＝－2π＋eq \f(14π,9)＝－eq \f(4π,9). 解：(1)因为圆O的半径为10，弦AB的长为10， 所以△AOB为等边三角形，所以α＝∠AOB＝eq \f(π,3). (2)因为α＝eq \f(π,3)，所以l＝αr＝eq \f(10π,3). S扇形＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×eq \f(10π,3)×10＝eq \f(50π,3). 又因为S△AOB＝eq \f(1,2)×10×10×eq \f(\r(3),2)＝25eq \r(3)， 所以弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝eq \f(50π,3)－25eq \r(3). 13.如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是(　　) A.eq \f(3π,4) B.eq \f(3π,2) C.eq \f(9π,2) D.3π 解析：由题意，扇形B′AB的圆心角为α＝45°＝eq \f(π,4)，且∠BAC＝60°，AC＝3，所以AB＝AB′＝6，所以S扇形B′AB＝eq \f(1,2)α·AB2＝eq \f(1,2)×eq \f(π,4)×36＝eq \f(9π,2)，又S△ABC＝S△AB′C′，所以阴影部分的面积为S扇形B′AB＋S△AB′C′－S△ABC＝eq \f(9π,2).故选C. 解：设弧AB的长度为l1厘米，弧CD的长度为l2厘米. (1)因为OD＝2OA，所以eq \f(l1,l2)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(1,2)， 所以l1＝eq \f(1,2)l2. 因为OD＝2OA＝80厘米，所以AD＝BC＝40厘米. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以l1＋l2＝240， 所以eq \f(1,2)l2＋l2＝240，解得l2＝160，即曲边CD的长度为160厘米. (2)因为AD＝2OA，所以eq \f(OA,OD)＝eq \f(1,3)， 所以eq \f(l1,l2)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(1,3)， 则扇形OCD的面积 S1＝eq \f(1,2)OD·l2＝eq \f(9,2)OA·l1， 扇形OAB的面积S2＝eq \f(1,2)OA·l1， 故该扇形玉雕壁画的扇面面积S＝S1－S2＝4OA·l1. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以l1＋l2＋AD＋BC＝4l1＋4OA＝320， 所以l1＋OA＝80， 则2eq \r(OA·l1)≤OA＋l1＝80，从而OA·l1≤1600，当且仅当OA＝l1＝40时，等号成立， 故S＝4OA·l1≤6400，即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6400平方厘米. $$