第2章 4.2 第1课时 平面向量及运算的坐标表示-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

4．2　平面向量及运算的坐标表示 第1课时　平面向量及运算的坐标表示 知识点一　平面向量的坐标表示 1．已知a的方向与x轴的正方向所成的角为120°，且|a|＝2，则a的坐标为________． 答案　(－1，)或(－1，－) 解析　如图所示，向量a即为或，设A(x1，y1)，由三角函数的定义，得x1＝2cos120°＝－1，y1＝2sin120°＝，∴A(－1，)．同理可得B(－1，－)．所以a的坐标为(－1，)或(－1，－)． 2．在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标． 解　设点A(x，y)，B(x0，y0)， ∵|a|＝2，且∠AOx＝45°， ∴x＝2cos45°＝，且y＝2sin45°＝. 又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°， ∴x0＝3cos120°＝－，y0＝3sin120°＝. 故a＝＝(，)，b＝＝. 知识点二　平面向量的坐标运算 3．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　) A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) 答案　A 解析　＝(3，1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 4．(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－4)，c＝(－2，6)，试求a＋3b，3a－2b＋c； (2)已知平面上三个点A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求，，＋，－，2＋. 解　(1)因为a＝(1，2)，b＝(3，－4)，c＝(－2，6)，所以a＋3b＝(1，2)＋3(3，－4)＝(1，2)＋(9，－12)＝(10，－10)， 3a－2b＋c＝3(1，2)－2(3，－4)＋(－2，6)＝(3，6)－(6，－8)＋(－1，3)＝(－4，17)． (2)因为A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)， 所以＝(7，5)－(4，6)＝(3，－1)， ＝(1，8)－(4，6)＝(－3，2)． 所以＋＝(3，－1)＋(－3，2)＝(0，1)， －＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)， 2＋＝2(3，－1)＋(－3，2)＝. 5．[易错题](1)已知O为坐标原点，点A(3，－1)，B(1，－2)，＝－2，求线段OD的中点M的坐标； (2)在△ABC中，已知＝(2，8)，＝(－3，2)，若＝，求的坐标． 解　(1)∵A(3，－1)，B(1，－2)， ∴＝(－2，－1)， ∴＝(4，2)， ∵O为坐标原点， ∴D(4，2)， ∴M，即M(2，1)． (2)∵＝，∴M是线段BC的中点， ∴＝(＋)＝. [易错分析]　注意向量坐标与点的坐标有区别，当且仅当向量的始点为坐标原点时，向量坐标与其终点坐标相同． 知识点三　平面向量坐标运算的应用 6．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　) A．－2，1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1，2 答案　D 解析　因为c＝λ1a＋λ2b，所以(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)．所以解得λ1＝－1，λ2＝2. 7．已知点A(1，2)，B(4，5)，O(0，0)及＝m＋. (1)当m为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第四象限？ (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的m的值；若不能，说明理由． 解　(1)因为点A(1，2)，B(4，5)，O(0，0)及＝m＋， 所以＝m(1，2)＋(3，3)＝(m＋3，2m＋3)． 若P在x轴上，则2m＋3＝0，解得m＝－； 若P在y轴上，则m＋3＝0，解得m＝－3； 若P在第四象限，则 解得－3<m<－. 综上所述，当m＝－时，P在x轴上；当m＝－3时，P在y轴上；当－3<m<－时，P在第四象限． (2)假设四边形OABP能构成平行四边形，则＝. 因为＝(1，2)，＝(1－m，2－2m)， 所以解得m＝0. 所以m＝0时，四边形OABP能构成平行四边形． 一、选择题 1．已知＝(－2，4)，则下列说法正确的是(　　) A．点A的坐标是(－2，4) B．点B的坐标是(－2，4) C．当点B是原点时，点A的坐标是(－2，4) D．当点A是原点时，点B的坐标是(－2，4) 答案　D 解析　由任一向量的坐标的定义可知．当点A是原点时，点B的坐标是(－2，4)． 2．设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b＝(　　) A．(7，3) B．(7，7) C．(1，7) D．(1，3) 答案　A 解析　a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)． 3．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基{a，b}表示c，则(　　) A．c＝3a－2b B．c＝－3a＋2b C．c＝－2a＋3b D．c＝2a－3b 答案　A 解析　如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则a＝(1，1)，b＝(－2，3)，c＝(7，－3)，设向量c＝ma＋nb，则解得所以c＝3a－2b. 4．设向量a＝(1，2)，b＝(－2，2)，c＝(3，4)，若表示向量2a－b，3a＋c，b－c，d的有向线段首尾相接刚好构成一个四边形，则向量d的坐标为(　　) A．(－5，10) B．(5，－10) C．(－5，－10) D．(5，10) 答案　C 解析　设d＝(x，y)，因为表示向量2a－b，3a＋c，b－c，d的有向线段首尾相接刚好构成一个四边形，则(2a－b)＋(3a＋c)＋(b－c)＋d＝(5＋x，10＋y)＝0，所以x＝－5，y＝－10，即d＝(－5，－10)． 5．若将＝绕原点O逆时针旋转120°得到，则的坐标是(　　) A． B． C．(－1，－) D． 答案　D 解析　因为＝，所以tan∠AOx＝＝，可得∠AOx＝30°，设＝(x，y)，则x＝cos(120°＋30°)＝－，y＝sin(120°＋30°)＝.所以的坐标是. 二、填空题 6．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2，1)，B(1，3)，则点C的坐标为________． 答案　(－1，2) 解析　设点C的坐标为(x，y)，因为四边形OABC为平行四边形，则＝，即(2，1)＝(1－x，3－y)，所以1－x＝2且3－y＝1，解得x＝－1，y＝2，所以点C的坐标为(－1，2)． 7．已知2025个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8，15)，则其余2024个向量的和为________． 答案　(－8，－15) 解析　设其余2024个向量的和向量的坐标为(x，y)，则(x，y)＋(8，15)＝(0，0)，解得(x，y)＝(－8，－15)．所以，其余2024个向量的和向量为(－8，－15)． 8．平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________． 答案　 解析　设坐标原点为O，∵＝，∴－＝(－)．∴＝2－＝(3，－6)．∴点C的坐标为(3，－6)．又||＝||，且E在DC的延长线上，∴＝－.设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－·(4－x，－3－y)，得解得∴点E的坐标为. 三、解答题 9．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，求c. 解　由题意得－2b＝(8，6)，3c＝(3x，3y)，因为a－2b＋3c＝0，所以⇒故c＝. 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形． (1)求向量a，b的坐标； (2)求向量的坐标； (3)求点B的坐标． 解　(1)如图，作AM⊥x轴于点M， 则OM＝OAcos45°＝4×＝2，AM＝OAsin45°＝4×＝2. ∴A(2，2)，故a＝(2，2)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°. 又OC＝AB＝3， ∴C， ∴＝＝， 即b＝. (2)＝－＝. (3)＝＋＝(2，2)＋＝， 即点B的坐标为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$