第2章 4.1 平面向量基本定理-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

4．1　平面向量基本定理 知识点一　对基的理解 1．下列关于基的说法正确的是(　　) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基； ②基中的向量可以是零向量； ③平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的． A．① B．② C．①③ D．②③ 答案　C 解析　由平面向量基本定理可知，只有①③是正确的． 2．设e1，e2是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 答案　B 解析　B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基． 知识点二　在基下分解向量 3．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，则在{a，b}下分解向量＝________，＝________． 答案　b＋a　a－b 解析　在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，所以＝＋＝＋＝＋＝b＋a，＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b. [名师点拨]　根据平面向量基本定理，任何一组基都可以表示任意向量．用基表示向量，主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加、减法运算． 4．如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，设＝a，＝b，试以a，b表示 ，. 解　取CF的中点G，连接EG. ∵E，G分别为BC，CF的中点， ∴＝＝b， ∴＝＋＝a＋b. 又＝＝， ∴＝＝＝a＋b. 又＝＝＋＝＋＝＋， ∴＝＝b＋＝a＋b. 知识点三　平面向量基本定理的应用 5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为(　　) A．3 B．－3 C．0 D．2 答案　A 解析　∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b， ∴解得∴x－y＝3. 6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　A 解析　因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝. 7．设a，b不共线，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时，k和m的关系式为________． 答案　km－1＝0 解析　若A，B，C三点共线，则与共线，所以存在唯一实数λ，使＝λ，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，所以 所以km＝1，即km－1＝0. 8．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD，BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________． 答案　 解析　设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b，又＝a＋b，∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝. 9．如图，△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，设＝a，＝c. (1)用a，c表示向量； (2)若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF. 解　(1)∵＝－＝c－a， ∴＝＝(c－a)， ∴＝(＋)＝＋ ＝－a＋(c－a)＝c－a. (2)设＝λ， ∴＝＋＝＋λ＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc. 又＝a＋c，∴λ＝， ∴＝， ∴AF∶CF＝4∶1. 10．如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值． 解　设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1， ＝＋＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得 ∴＝，＝， ∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 一、选择题 1．已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内所有向量基的是(　　) A．， B．， C．， D．， 答案　D 解析　结合图形及基的概念知D正确． 2．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 答案　B 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 答案　A 解析　由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2. 4．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　因为＋＋＝0，所以点M是△ABC的重心．所以＋＝3.所以m＝3.故选B. 5．[多选]下列有关平面向量基本定理的四个命题中，正确的是(　　) A．一个平面内有且只有一组不平行的向量可作为表示该平面内所有向量的基 B．一个平面内有无数多组不平行的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C．基中的两个向量可能互相垂直 D．一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合 答案　BC 解析　一个平面内有无数多组不平行的向量可作为表示该平面内所有向量的基，A错误，B正确；基中的两个向量可能互相垂直，此时这组基为正交基，C正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，若是三个不共线的向量，则表示方法不唯一，D错误． 二、填空题 6．若a与b是一组基，p＝a＋mb，q＝ma＋2b，且p与q不能组成一组基，则实数m＝________． 答案　± 解析　因为p与q不能组成一组基，所以p∥q，所以存在实数λ，使p＝λq，所以有a＋mb＝λ(ma＋2b)，即a＋mb＝λma＋2λb，所以 解得m＝±. 7．已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________． 答案　 解析　＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ，所以则＝. 8．如图，在△ABC中，AD＝2DB，AE＝EC，BE与CD相交于点P，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＝________，y＝________. 答案　　 解析　因为D，P，C三点共线，故设＝λ，同理可设＝μ，由题意可知＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋λ，又＝＋＝＋μ＝＋μ(－)＝＋μ＝μ＋(1－μ)，所以可得解得故＝＋，所以x＝，y＝. 三、解答题 9．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，点E，F分别为AD，DC边的中点，BE与AF相交于点O，记＝a，＝b. (1)以{a，b}为一组基，写出向量在此基下的分解式； (2)若＝λ，求实数λ的值． 解　(1)＝＋＝－＋ ＝－a＋b. (2)因为＝a－b，与共线， 所以设＝μ＝μ， 则＝＋＝b＋μ. 因为＝＋＝b＋a，＝λ， 所以b＋μ＝λ， 即μa＋(1－μ)b＝a＋λb. 因为a，b不共线， 所以解得 故实数λ的值为. 10．如图所示，L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0，求证：l＝m＝n. 证明　令＝a，＝b，取{a，b}作为基底． 根据已知有＝la，＝mb. ∵＝＋＝－a－b，则有＝n＝－na－nb， ∴＝＋＝(l－1)a－b，＝＋＝a＋mb，＝＋＝－na＋(1－n)b，又＋＋＝0， ∴(l－n)a＋(m－n)b＝0. 由平面向量基本定理，知l－n＝m－n＝0. 故l＝m＝n. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$