第2章 3.1 向量的数乘运算 3.2 向量的数乘与向量共线的关系-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

3．1　向量的数乘运算 3．2　向量的数乘与向量共线的关系 知识点一　向量的数乘运算 1．化简：(1)2＝________； (2)2(a＋b)＋3(a＋b)＝________； (3)(a＋b)＋(a＋b)＝________________； (4)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＋2(c－3b)＝________； (5)＝________． 答案　(1)a＋6b　(2)5a＋5b (3)(a＋b) (4)－a－b　(5)a－b 解析　(1)原式＝2×a＋2×3b＝a＋6b. (2)原式＝2a＋2b＋3a＋3b＝5a＋5b. (3)原式＝(a＋b)＝(a＋b)． (4)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＋2c－6b＝(2－3)a＋(3＋2－6)b＋(－1－1＋2)c＝－a－b. (5)原式＝＝a＋＝＝a－b. [名师点拨]　向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形． 2．(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x； (2)已知其中a，b为已知向量，求x，y. 解　(1)原方程化为3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0. 得2x＋a－4b＝0，即2x＝4b－a. ∴x＝2b－a. (2) 由②，得y＝x－b，代入①， 得3x＋4＝a， ∴3x＋x－b＝a， ∴x＝a＋b. ∴y＝－b＝a＋b－b＝a－b. 综上可得， [名师点拨]　解关于未知向量的方程或方程组，它与解关于未知数的方程或方程组是类似的，在计算过程中应遵守向量加、减法及数乘向量的运算律． 知识点二　共线(平行)向量基本定理及其应用 3．已知向量a，b不共线，设m＝a＋kb，n＝2a－b，若m∥n，则实数k的值为(　　) A．－ B．－1 C． D．1 答案　A 解析　由题意可知m≠0，n≠0，因为m∥n，所以存在实数λ，使得m＝λn，即a＋kb＝λ(2a－b)，整理得(1－2λ)a＝－(k＋λ)b.又a与b不共线，所以解得故选A. 4．判断下列各小题中的向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个非零不共线向量)． (1)a＝5e1，b＝－10e1； (2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2； (3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2. 解　(1)因为b＝－2a， 所以a与b共线． (2)因为a＝b， 所以a与b共线． (3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)， 所以(1－3λ)e1＋(1＋3λ)e2＝0. 因为e1与e2是两个非零不共线向量， 所以1－3λ＝0，1＋3λ＝0. 这样的λ不存在，因此a与b不共线． [规律方法]　向量共线的判定一般是用其判定定理，即给定一个非零向量b，若存在唯一一个实数λ，使得a＝λb，则任意向量a与非零向量b共线．解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线． 5．已知两个非零向量a与b不共线，如果＝a＋b，＝2a＋8b，＝2a－4b，求证：A，B，D三点共线． 证明　因为＝＋＝(2a＋8b)＋(2a－4b)＝4a＋4b＝4(a＋b)＝4， 所以根据共线向量基本定理，知与共线． 又因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线． 6．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0且λ≠1)． (1)求证：A，B，M三点共线； (2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围． 解　(1)证明：因为＝λ＋(1－λ)， 所以＝λ＋－λ，－＝λ－λ， 所以＝λ(λ∈R，λ≠0且λ≠1)． 又AM与AB有公共点A， 所以A，B，M三点共线． (2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，则与同向，且||>||>0， 所以λ>1. 知识点三　向量线性运算的综合应用 7．若P是△ABC内部一点，且满足＋2＝，则△ABP与△ABC的面积之比为________． 答案　 解析　由＋2＝，得＋＝＋＝.取AB的中点为O，则＋＝2，即2＝，则点P为△ABC的重心，根据重心的性质可得，点P到AB的距离是点C到AB的距离的，所以＝. 8．如图所示，正三角形ABC的边长为1，＝＋，＝＋.求证：四边形APQB为梯形． 证明　因为＝＋＋＝－－＋＋＋＝， 所以∥. 又||＝1， 所以||＝， 故||≠||，于是四边形APQB为梯形． 一、选择题 1．下列说法中，正确的是(　　) A．0a＝0 B．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反 C．若b＝λa(a≠0)，则＝λ D．若|b|＝|λa|(a≠0)，则＝λ 答案　B 解析　A错误，0a应该等于0；B正确，当λμ<0时，λ，μ异号，又a≠0，则λa与μa方向一定相反；C错误，向量没有除法；D错误，应等于|λ|.故选B. 2．在△ABC中，如果AD，BE分别为BC，AC上的中线，且＝a，＝b，那么等于(　　) A．a＋b B．a－b C．a－b D．－a＋b 答案　A 解析　由题意，得＝＋＝b＋＝b＋(＋)＝b＋a＋，即＝b＋a＋，解得＝a＋b. 3．在△OAB中，P为线段AB上的一点，4＝3＋，且＝λ，则λ＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　因为4＝3＋，所以－＝3－3，即＝3，又＝＋＝－，所以－＝3，即＝4，则λ＝4. 4．[多选]已知O为直线AB外一点，则能确定P，A，B三点共线的是(　　) A．＝＋ B．＝－2＋3 C．＝－ D．＝＋ 答案　ABD 解析　对于A，∵＋＝1，∴P，A，B三点共线；对于B，∵－2＋3＝1，∴P，A，B三点共线；对于C，∵＋＝≠1，∴P，A，B三点不共线；对于D，∵＋＝1，∴P，A，B三点共线． 5．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定经过△ABC的(　　) A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 答案　B 解析　由＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，得＝λ(＋)，则与△ABC中边BC的中线共线，又由λ∈[0，＋∞)，知点P的轨迹经过△ABC的重心． 二、填空题 6．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 答案　－ 解析　因为b与a方向相反，所以设a＝λb(λ<0)，则|a|＝|λ|·|b|，所以5＝|λ|×7，可得λ＝±，又λ<0，所以λ＝－. 7．设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________． 答案　 解析　由共线向量基本定理可知，存在实数k，使λa＋b＝k(a＋2b)，即(λ－k)a＝(2k－1)b，又a，b不共线，所以解得λ＝k＝. 8．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0，2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝________． 答案　 解析　∵＋＝0，∴点P是线段AC的中点，∵2＋＋＝，∴2＝－－＝－－－＝2，∴点Q是线段AB的中点，∵||＝λ||，∴λ＝. 三、解答题 9．(1)化简：； (2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y. 解　(1)原式＝＝＝a－b. (2)联立 由①×3＋②×2得x＝3a＋2b， 代入①得3(3a＋2b)－2y＝a， 所以y＝4a＋3b. 所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b. 10．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，且＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，； (2)求证：B，E，F三点共线． 解　(1)＝(＋)＝a＋b， ＝＝a＋b，＝＝b， ＝－＝a＋b－a＝b－a. (2)证明：＝－＝b－a， ＝b－a， ∴＝，故∥， 又BF与BE有公共点B， ∴B，E，F三点共线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$