第2章 2.1 向量的加法-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

2．1　向量的加法 知识点一　已知向量作向量的和 1．(1)如图甲所示，求作向量a＋b； (2)如图乙所示，求作向量a＋b＋c. 解　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b，如图所示． (2)解法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O， 作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝a＋b＋c即为所求． 解法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 知识点二　向量的加法法则及运算律 2．已知向量a，b，c，那么下列结论中正确的是(　　) A．a＋b＝c B．b＋c＝a C．a＋c＝b D．|a|＋|b|＝|c| 答案　B 解析　根据向量加法的三角形法则可得b＋c＝a.故选B. [名师点拨]　利用向量加法的三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量． 3．[多选]如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是(　　) A.＋＝0 B.＋＝ C.＋＝ D.＋＝0 答案　ABD 解析　由||＝||，且与的方向相反，知＋＝＋＝0，故A正确；由向量加法的平行四边形法则知＋＝，故B正确；由向量加法的三角形法则知＋＝，故C错误；由||＝||，且与方向相反，知＋＝＋＝0，故D正确． 4．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝. [名师点拨]　利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量． 5．下列等式错误的是________． ①a＋0＝0＋a＝a；②＋＋＝；③＋＝0；④＋＝＋＋. 答案　② 解析　＋＋＝，②错误． 6．化简：(1)＋＋＋＝________； (2)＋＋＝________； (3)＋＋＋＝________． 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)原式＝(＋)＋(＋)＝＋＝. (2)原式＝(＋)＋＝. (3)原式＝＋＝＋＝. 7．如图，其中a＝，b＝，c＝，d＝，则a＋b＋c＝________，b＋d＋c＝________． 答案　　 解析　a＋b＋c＝＋＋＝.b＋d＋c＝＋＋＝. 知识点三　向量加法的实际应用 8．[易错题]小船在静水中行驶，速度的大小为10 km/h.若小船按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速的大小为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h. 答案　20 解析　如图，设船在静水中的速度大小为|v1|＝10 km/h，河水的流速大小为|v2|＝10 km/h，小船实际航行速度的大小为|v0| km/h，则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝|v0|2，所以|v0|＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h. [易错分析]　(1)向量的和一般不能直接用模作和，要注意向量的方向的合成，如本例中不能用两个速度的大小直接作和． (2)船在静水中的航行速度、水流的速度、船实际的航行速度三者间当航行方向与水流方向不共线时不能直接求实际航行速度，如本例中两个方向垂直，利用勾股定理求实际速度的大小． 9．一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，求两个力的合力的大小． 解　根据向量加法的平行四边形法则，合力的大小为5 N. 一、选择题 1．化简＋＋等于(　　) A． B． C．0 D． 答案　D 解析　＋＋＝＋＝. 2．设a表示“向东走5 km”，b表示“向南走5 km”，则a＋b表示(　　) A．向东走10 km B．向东南走10 km C．向南走10 km D．向东南走5 km 答案　D 解析　如图，借助向量加法的三角形法则，可知选D. 3．[多选]已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论中正确的是(　　) A．a∥b B．a＋b＝a C．a＋b＝b D．|a＋b|<|a|＋|b| 答案　AC 解析　由题意可得a＝0，故A，C正确，B错误；因为|a＋b|＝|0＋b|＝|b|＝|a|＋|b|，故D错误． 4．当a，b满足下列哪种条件时，等式|a＋b|＝|a|－|b|成立(　　) A．a与b同向且|a|≥|b| B．a与b反向且|a|≤|b| C．a与b同向且|a|≤|b| D．a与b反向且|a|≥|b| 答案　D 解析　当a与b反向且|a|≥|b|时，|a＋b|＝|a|－|b|. 5．[多选]已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是(　　) A．＋＝ B．＋＋＝0 C．＋＝ D．＋＝ 答案　ABC 解析　由向量加法的三角形法则，知A，B正确；由向量加法的平行四边形法则，可知＋＝＝≠，故C正确，D错误．故选ABC. 二、填空题 6．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则＋＋＋＋＝________． 答案　 解析　＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝. 7．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________． 答案　20，4 解析　当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20，当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4.当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，即4<|a＋b|<20，所以最大值为20，最小值为4. 8．如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝________． 答案　2 解析　∵＋＋＝＋＋＝，∴|＋＋|＝||＝2. 三、解答题 9．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋. 解　(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝. (2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 10．作用在同一物体上的两个力F1的大小为60 N，F2的大小为60 N，当它们的夹角为120°时，求两个力的合力大小． 解　如图，||＝||＝60 N，∠F1OF2＝120°， 由向量加法的几何意义知，四边形OF1FF2为平行四边形，因为||＝||，所以四边形OF1FF2为菱形，||＝60 N．故两个力的合力大小为60 N. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$