第1章 8 三角函数的简单应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

知识点一　利用已知三角函数模型解决实际问题 1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin. (1)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？ (2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆来回摆动一次需要多少时间？ 解　(1)当t＝0时，s＝6sin＝6×＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm. (2)s＝6sin的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm. (3)s＝6sin的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s. 2．[易错题]如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)． (1)求这一天的最大用电量和最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解　(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h. (2)观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象， ∴A＝×(50－30)＝10， b＝×(50＋30)＝40. ∵×＝14－8，∴ω＝. ∴y＝10sin＋40. 将x＝8，y＝30代入上式， 又0<φ<π，∴解得φ＝. ∴所求函数解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14]． [易错分析]　本题易错的地方是未准确理解题意，没能由图象得到正确的函数的最小正周期，求第(2)问时，认为T＝14－8＝6，则ω＝.结合A＝10，b＝40，及当x＝8时，y取最小值30，得φ＝.从而得到错误的函数解析式y＝10sin＋40. 知识点二　建立三角函数模型解决实际问题 3．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(单位：cm)表示成时间t(单位：s)的函数，则d＝________，其中t∈[0，60]． 答案　10sin 解析　函数解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin. 4．如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间． (1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？ 解　(1)如图所示，建立平面直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角． OP每秒钟所转过的角为＝. 则OP在时间t(s)内所转过的角为t. 由题意可知水轮逆时针转动， 得z＝4sin＋2. 当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－， 即φ＝－. 故所求的函数关系式为z＝4sin＋2. (2)令z＝4sin＋2＝6， 得sin＝1， 令t－＝，得t＝4， 故点P第一次到达最高点大约需要4 s. 一、选择题 1．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：分钟)，则此人每分钟心跳的次数为(　　) A．60 B．70 C．80 D．90 答案　C 解析　因为T＝＝，所以f＝＝80. 2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则下列时间段中，人流量增加的是(　　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] 答案　C 解析　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]．因为[10，15]⊆[3π，5π]，故选C. 3．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　) A．－5安 B．5安 C．5安 D．10安 答案　A 解析　由图象知A＝10，＝－＝，∴ω＝＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)．又为五点中的第二个点，∴100π×＋φ＝.∴φ＝，∴I＝10sin，当t＝秒时，I＝－5安． 4．如图所示，某风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O距离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．则h与t满足的函数关系式为(　　) A．h＝sin＋2.5 B．h＝2sin＋1.5 C．h＝－2cost＋2.5 D．h＝2cost＋2.5 答案　C 解析　最大值M＝4.5 m，最小值m＝0.5 m，所以A＝＝2，b＝＝2.5，因为T＝12，所以ω＝＝，又风车从最低点开始运动，所以×0＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，不妨设φ＝，所以h与t满足的函数关系为h＝2sin＋2.5＝－2cost＋2.5. 5．[多选]降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种．其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声(如图所示)．已知某噪声的声波曲线是f(x)＝Asin(A>0，0<φ<π)，其中振幅为2，且经过点(1，－2)，则(　　) A．该噪声声波曲线的解析式为f(x)＝2sin B．该噪声声波曲线的解析式为f(x)＝2sin C．降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式为g(x)＝－2sin D．降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式为g(x)＝－2sin 答案　BD 解析　由f(x)＝Asin(A＞0，0＜φ＜π)的振幅为2，知A＝2，∴f(x)＝2sin，代入(1，－2)，有2sin＝－2，∴＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，而0＜φ＜π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.而f(x)与g(x)的图象关于x轴对称，∴g(x)＝－f(x)＝－2sin.故选BD. 二、填空题 6．如图，某港口一天6时到18时的水深(单位：m)变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深的最大值为________m. 答案　8 解析　由题图可知－3＋k＝2，得k＝5，∴y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8. 7．某城市一年中12个月的平均气温与月份x的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________． 答案　20.5 ℃ 解析　由题意，可求得函数解析式为y＝23＋5cos，将x＝10代入解析式，可得y＝23＋5cos＝20.5，即10月份的平均气温值为20.5 ℃. 8．如图所示，某摩天轮建筑，其旋转半径为50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约________米． 答案　85 解析　设人与地面的距离f(t)与时间t的关系为f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，φ∈[0，2π))，由题意可知A＝50，B＝110－50＝60，T＝＝21，∴ω＝，即f(t)＝50sin＋60.又f(0)＝110－100＝10，即sinφ＝－1，故φ＝，∴f(t)＝50sin＋60，∴f(7)＝50sin＋60＝85. 三、解答题 9．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体的位移的正方向，已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距平衡位置最远处点A时开始计时． (1)求物体相对于平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式； (2)求该物体在5 s时的位置． 解　(1)由题意，可设x＝3sin(ωt＋φ)(ω>0，0≤φ<2π)， 则由T＝＝3，得ω＝. 当t＝0时，x＝3，有3＝3sinφ，即sinφ＝1. 而0≤φ<2π，所以φ＝. 故所求函数关系式为x＝3sin， 即x＝3cost. (2)当t＝5时，x＝3cos＝3cos＝－1.5. 故该物体在5 s时的位置是在点O左侧且距点O 1.5 cm处． 10．小张以10元一股的价格购买了一支股票，他将股票当天的最高价格y(元)与第t个交易日(其中0≤t≤24)进行了记录，得到有关数据如表(不考虑股票交易涨跌停规律)： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/元 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.0 7.0 10.0 他经过研究后认为单支股票当天的最高价格y(元)是第t个交易日的函数y＝f(t)，并且认为y＝f(t)的曲线可近似地看作函数f(t)＝Asinωt＋b的图象，请根据小张的观点解决下列问题： (1)试根据以上数据，求出函数f(t)＝Asinωt＋b的振幅、最小正周期和表达式； (2)小张认为当股票价格不低于11.5元时抛售股票比较合理，请问在股票最高价格波动的一个周期内小张有几天可以抛售股票？ 解　(1)根据表中数据得 ∴A＝3，b＝10， T＝15－3＝12，ω＝， ∴函数的表达式为 y＝3sint＋10(0≤t≤24)． (2)当股票价格不低于11.5元时， 即3sint＋10≥11.5⇒2kπ＋≤t≤2kπ＋⇒12k＋1≤t≤12k＋5. ∵T＝12， ∴在股票最高价格波动的一个周期内小张有5天可以抛售股票． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$