第1章 5.2 余弦函数的图象与性质再认识-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

5．2　余弦函数的图象与性质再认识 知识点一　余弦函数图象的画法 1．用“五点法”作出下列函数图象． (1)y＝3＋2cosx，x∈[0，2π]； (2)y＝1－cosx，x∈[－2π，2π]． 解　(1)①列表： x 0 π 2π y＝cosx 1 0 －1 0 1 y＝3＋2cosx 5 3 1 3 5 ②描点、连线，如图所示． (2)①列表： x 0 π 2π y＝cosx 1 0 －1 0 1 y＝1－cosx 1 1 ②描点、连线，作出函数y＝1－cosx在x∈[0，2π]上的图象，由于该函数为偶函数，再作出关于y轴对称的图象即可． 知识点二　余弦函数图象的应用 2．满足cosx>0，x∈[0，2π]的x的取值范围为________． 答案　∪ 解析　画出函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象，如图所示．由图象，可知满足cosx>0，x∈[0，2π]的x的取值范围为∪. 3．函数y＝cosx＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为________． 答案　， 解析　作出函数y＝cosx＋4，x∈[0，2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y＝4的交点坐标为，. 知识点三　余弦函数的单调性与最大、最小值(值域)问题 4．使y＝sinx和y＝cosx均为减函数的一个区间是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由y＝sinx，x∈[0，2π]与y＝cosx，x∈[0，2π]的图象(图略)知均为减函数的一个区间是. 5．已知函数y＝3cos(π－x)，则当x＝________时，函数取得最大值．当x＝________时，函数取得最小值． 答案　2kπ＋π，k∈Z　2kπ，k∈Z 解析　y＝3cos(π－x)＝－3cosx，当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，y有最大值3；当cosx＝1，即x＝2kπ，k∈Z时，y有最小值－3. 6．求下列函数的单调区间． (1)y＝1＋cos； (2)y＝1－sin. 解　(1)y＝1＋cos(x＋π)＝1－cosx， ∵－<0，∴y＝1－cosx的单调性与y＝cosx的单调性相反． ∵y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)． ∴y＝1＋cos(x＋π)的单调递增区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)． (2)y＝1－sin＝1＋cosx，且y＝1＋cosx的单调性与y＝cosx的单调性相同． ∵y＝cosx在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减， ∴y＝1－sin的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)． 7．比较大小． (1)cos15°与cos35°； (2)cos与cos； (3)cos与cos. 解　(1)0°<15°<35°<90°，且y＝cosx在0°≤x≤90°时单调递减，∴cos15°>cos35°. (2)∵－<－<－<0且y＝cosx在上单调递增，∴cos<cos. (3)cos＝cos＝cos， cos＝cos＝cos＝cos. ∵y＝cosx在[0，π]上单调递减， 又<， ∴cos>cos，即cos<cos. 8．求下列函数的定义域． (1)y＝； (2)y＝＋lg (2sinx－1)． 解　(1)要使函数有意义，只需2cosx－≥0，即cosx≥.由余弦函数图象(如图)及余弦函数的最小正周期为2π，知所求定义域为，k∈Z. (2)要使函数有意义， 只要即 正弦函数及余弦函数的图象如图所示． cosx≤的解集为， sinx>的解集为， 它们的交集为，即为函数的定义域． 9．求下列函数的值域． (1)y＝；(2)y＝cos2x－4cosx＋5. 解　(1)y＝＝－1. ∵－1≤cosx≤1， ∴1≤2＋cosx≤3， ∴≤≤1， ∴≤≤4， ∴≤－1≤3，即≤y≤3. ∴函数y＝的值域为. (2)y＝cos2x－4cosx＋5， 令t＝cosx， 则－1≤t≤1，y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1. 当t＝－1时，函数取得最大值10； 当t＝1时，函数取得最小值2. ∴函数y＝cos2x－4cosx＋5的值域为[2，10]． [规律方法]　求形如y＝acos2x＋bcosx＋c(或y＝asin2x＋bsinx＋c)，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝cosx(或sinx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意余弦函数(或正弦函数)的有界性． 知识点四　余弦函数的周期性和奇偶性问题 10．求下列函数的周期． (1)y＝1－2cosx，x∈R；(2)y＝|cosx|. 解　(1)令z＝x，由x∈R得z∈R，且y＝1－2cosz的周期为2π， 即1－2cos(z＋2π)＝1－2cosz， 于是1－2cos＝1－2cosx， 所以1－2cos＝1－2cosx. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为4. (2)先作出y＝|cosx|的图象如图． 由图象可知，周期为π. 11．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x2＋cosx； (2)f(x)＝sincos； (3)f(x)＝. 解　(1)因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＋cos(－x)＝x2＋cosx＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数． (2)因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝sincos＝－sincos＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． (3)函数应满足1－sinx≠0，即函数f(x)的定义域为，显然定义域不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． 一、选择题 1．函数y＝3cos的最小正周期是(　　) A． B． C．2π D．5π 答案　D 解析　因为y＝3cos＝3cos＝3cos，所以y＝3cos的最小正周期为5π. 2．函数y＝－3cos(x－π)的一条对称轴方程是(　　) A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝－π 答案　D 解析　因为函数y＝－3cos(x－π)＝3cosx，所以对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)，故选D. 3．函数y＝cosx的最小值、最大值分别为(　　) A．0，1 B．－1，1 C．－，1 D．－1， 答案　D 解析　由y＝cosx的图象(如图)可知，当x＝时，y＝cosx有最大值；当x＝π时，y＝cosx有最小值－1.故选D. 4．[多选]对于函数y＝sin，x∈R，下列说法不正确的是(　　) A．值域是[－1，0] B．是奇函数 C．最小正周期是2π D．在区间[0，π]上单调递减 答案　ABD 解析　因为y＝sin＝－cosx，所以函数的值域是[－1，1]，是偶函数；函数的最小正周期是2π；函数在区间[0，π]上单调递增． 5．函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]上的图象可能是(　　) 答案　A 解析　令f(x)＝xcosx＋sinx，所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＋sin(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D；又f(π)＝－π<0，排除B.故选A. 二、填空题 6．若cosx＝m－1有意义，则m的取值范围是________． 答案　[0，2] 解析　因为－1≤cosx≤1，所以要使cosx＝m－1有意义，则－1≤m－1≤1，解得0≤m≤2.所以m的取值范围是[0，2]． 7．cos，cos，cos三个数的大小关系为________． 答案　cos<cos<cos 解析　因为cos＝cos，0<<<<π，且余弦函数y＝cosx在(0，π)上单调递减，所以cos<cos<cos.所以cos<cos<cos. 8．已知f(x)的定义域为[0，1)，则f(cosx)的定义域为________． 答案　∪，k∈Z 解析　由题可得0≤cosx<1，所以由余弦函数基本性质可得2kπ－≤x≤2kπ＋，且x≠2kπ，k∈Z.所以所求函数的定义域为∪，k∈Z. 三、解答题 9．作函数y＝－2cosx＋3在区间[0，2π]内的图象，并求函数的最大值及取得最大值时x的值． 解　列表： x 0 π 2π y＝－2cosx －2 0 2 0 －2 y＝－2cosx＋3 1 3 5 3 1 描点、连线得出函数y＝－2cosx＋3在区间[0，2π]内的图象如图所示， 由图可得，当x＝π时，函数取得最大值，ymax＝5. 10．已知函数f(x)＝ (1)作出该函数的图象； (2)若f(x)＝，求x的值． 解　(1)作出函数f(x)＝的图象，如图①所示． (2)因为f(x)＝，所以在图①的基础上再作直线y＝，如图②所示，由图象知当－π≤x<0时，x＝－， 当0≤x≤π时，x＝或x＝. 综上可知，x的值为－或或. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$