第1章 4.3 诱导公式与对称-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

4．3　诱导公式与对称 知识点一　给角求值 1．[多选]下列三角函数值计算正确的是(　　) A．cos225°＝ B．sin＝－ C．sin＝ D．tan(－2040°)＝－ 答案　BCD 解析　cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－，A错误；sin＝sin＝－sin＝－，B正确；sin＝－sin＝－sin＝sin＝，C正确；tan(－2040°)＝tan(－360°×6＋120°)＝tan120°＝－tan60°＝－，D正确．故选BCD. [规律方法]　利用诱导公式求任意角的三角函数的步骤：①“负化正”——将负角转化为正角；②“大化小”——将角化为0到2π间的角；③“小化锐”——将大于的角转化为锐角；④“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值． 2．求下列三角函数的值． (1)sin；(2)cos960°； (3)cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos179°＋cos180°. 解　(1)sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－. (2)cos960°＝cos(240°＋2×360°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－. (3)cos179°＝cos(180°－1°)＝－cos1°， cos178°＝cos(180°－2°)＝－cos2°， … cos91°＝cos(180°－89°)＝－cos89°， ∴原式＝(cos1°＋cos179°)＋(cos2°＋cos178°)＋…＋(cos89°＋cos91°)＋cos90°＋cos180°＝0＋(－1)＝－1. 知识点二　给值求值 3．已知cos(π－α)＝－，则cos(－2π－α)的值是(　　) A． B．－ C．－ D． 答案　D 解析　因为cos(π－α)＝－cosα，所以cosα＝，所以cos(－2π－α)＝cos(－α)＝cosα＝. 4．已知sin＝，则sin的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　D 解析　sin＝sin＝sin＝－sin＝－. 5．已知sinβ＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为(　　) A．1 B．－1 C． D．－ 答案　D 解析　因为cos(α＋β)＝－1，所以α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，所以sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sinβ＝－. 知识点三　化简与证明问题 6．化简：＝________． 答案　－1 解析　原式＝＝＝－1. 7．求证： ＝. 证明　∵左边＝ ＝＝ ＝＝， 右边＝＝， ∴左边＝右边，故原式成立． 8．[易错题]化简： cos＋cos(n∈Z)． 解　原式＝cos＋cos. 当n为偶数时， 原式＝cos＋cos＝2cos； 当n为奇数时， 原式＝cos＋cos＝cos＋cos＝－cos－cos＝－2cos. 综上可知，原式＝ [易错分析]　不能对整数n进行“奇数与偶数”的分类讨论，或者讨论后不能正确地利用诱导公式是错误的主要原因． 知识点四　利用诱导公式解决三角形中的问题 9．已知在△ABC中，sinA＝，则sin(2A＋B＋C)＝________． 答案　－ 解析　因为A＋B＋C＝π，所以sin(2A＋B＋C)＝sin(π＋A)＝－sinA＝－. 10．在△ABC中，试判断下列关系式是否恒成立，并说明理由． (1)cos(A＋B)＝cosC； (2)sin(A＋B)＝sinC. 解　(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π， 所以A＋B＝π－C，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，故cos(A＋B)＝cosC不成立． (2)在△ABC中，A＋B＋C＝π， 所以A＋B＝π－C，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC， 故sin(A＋B)＝sinC成立． 一、选择题 1．cos＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　C 解析　cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－. 2．若sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　∵sin(θ＋π)＝－sinθ<0，∴sinθ>0.∵cos(θ－π)＝cos(π－θ)＝－cosθ>0，∴cosθ<0，∴θ为第二象限角． 3．如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是(　　) A．cosα＝cosβ B．cosα＝－cosβ C．sinα＝－sinβ D．sinα＝cosβ 答案　B 解析　因为α＋β＝180°，所以α＝180°－β，cosα＝cos(180°－β)＝－cosβ，故A错误，B正确；sinα＝sin(180°－β)＝sinβ，故C错误；由于sinα＝sinβ，所以sinβ＝cosβ，显然不一定成立，故D错误． 4．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(3)＝3，则f(2024)的值为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．－3 答案　D 解析　f(3)＝asin(3π＋α)＋bcos(3π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝3，所以asinα＋bcosβ＝－3.f(2024)＝asin(2024π＋α)＋bcos(2024π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－3. 5．[多选]在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是(　　) A．sin(A＋B)＋sinC B．cos(A＋B)＋cosC C．sin(2A＋2B)＋sin2C D．cos(2A＋2B)＋cos2C 答案　BC 解析　对于A，sin(A＋B)＋sinC＝2sinC；对于B，cos(A＋B)＋cosC＝－cosC＋cosC＝0；对于C，sin(2A＋2B)＋sin2C＝sin[2(A＋B)]＋sin2C＝sin[2(π－C)]＋sin2C＝sin(2π－2C)＋sin2C＝－sin2C＋sin2C＝0；对于D，cos(2A＋2B)＋cos2C＝cos[2(A＋B)]＋cos2C＝cos[2(π－C)]＋cos2C＝cos(2π－2C)＋cos2C＝cos2C＋cos2C＝2cos2C. 二、填空题 6.＝________． 答案　－2 解析　原式＝ ＝＝ ＝＝＝－2. 7．若cos(π＋α)＝－，<α<2π，则sin(2π＋α)＝________． 答案　－ 解析　由cos(π＋α)＝－，得cosα＝，∵＜α＜2π，∴α＝.故sin(2π＋α)＝sinα＝sin＝－sin＝－. 8．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝，则sinβ＝________． 答案　 解析　α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.∴sinβ＝sin(π－α＋2kπ)＝sinα＝. 三、解答题 9．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－4，3)． (1)求sinα，cosα的值； (2)求f(α)＝的值． 解　(1)因为角α的终边经过点P(－4，3)，由三角函数的定义知sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－. (2)f(α)＝＝＝. 10．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sinα≥；(2)cosα≤－. 解　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB， 则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为. (2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$