第1章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 知识点一　正弦函数、余弦函数的定义及应用 1．(1)若角θ的终边与单位圆的交点是P，求sinθ与cosθ的值； (2)在单位圆中，若角α＝，求sinα与cosα的值． 解　(1)由三角函数的定义可知sinθ＝，cosθ＝－. (2)由于α＝，其终边在第三象限，设终边与单位圆的交点坐标为(x，x)(x<0)，则2x2＝1，x＝－，即交点坐标是. 因此sinα＝－，cosα＝－. 2．已知角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求α的正弦值和余弦值． 解　因为点P的坐标是(4t，－3t)且t≠0， 所以点P到原点O的距离 r＝|PO|＝＝5|t|. 当t>0时，α是第四象限角，r＝|PO|＝5t， sinα＝＝－，cosα＝＝； 当t<0时，α是第二象限角，r＝|PO|＝－5t， sinα＝＝，cosα＝＝－. 3．[易错题]已知角α的终边在直线y＝x上，求sinα，cosα的值． 解　因为角α的终边在直线y＝x上， 所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点，则r＝＝2|a|(a≠0)． 若a>0，则α为第一象限角，r＝2a， 所以sinα＝＝，cosα＝＝； 若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a， 所以sinα＝＝－，cosα＝＝－. [易错分析]　在利用定义求三角函数值时，若角α的终边上点的坐标是以参数形式给出的或角的终边落在直线上时，要根据实际情况对参数或对角的终边位置进行分类讨论． 4．在单位圆中，已知α＝. (1)画出角α； (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值． 解　(1)因为α＝＝2π＋，所以角α的终边与的终边相同． 以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角α如图所示． (2)因为α＝，所以点P在第二象限，由(1)知∠AOP＝，过点P作PM⊥x轴于点M. 则在Rt△OMP中，∠OMP＝，∠MOP＝，OP＝1， 由直角三角形的边角关系， 得OM＝，MP＝， 所以点P的坐标为. (3)根据正弦函数的定义有sinα＝. 知识点二　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质及应用 5．(1)余弦函数u＝cosα，α∈的单调递增区间为____________，单调递减区间为________． (2)正弦函数y＝sinα，α∈的单调递增区间为________，单调递减区间为____________． 答案　(1)[－π，0]　 (2)　 解析　(1)由图①可知，当x由－π到时，u＝cosα由－1增大到1，再由1减小到，所以它的单调递增区间为[－π，0]，单调递减区间为. (2)由图②可知，y＝sinα，α∈在区间上单调递减，在区间上单调递增． 6．求下列函数的定义域． (1)y＝4－cosx；(2)y＝； (3)y＝；(4)y＝ln sinx. 解　(1)函数y＝4－cosx的定义域为R. (2)由题意知2sinx＋1≥0，即sinx≥－.在内满足上述条件的角为x∈，由此可以得到函数的定义域为(k∈Z)． (3)由2＋cosx≠0知cosx≠－2， 又cosx∈[－1，1]，故定义域为R. (4)由题意知sinx>0，在[0，2π]内解得0<x<π，所以函数的定义域为(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)． 7．比较大小． (1)sin，sin；(2)cos，cos. 解　(1)因为－<－<－<0且y＝sinx在区间上是增函数， 所以sin>sin. (2)因为0<<<且y＝cosx在上单调递减，所以cos>cos. 8．求下列函数的值域，并说明取得最大值和最小值时自变量的值． (1)y＝－sinx，x∈； (2)y＝cosα，α∈. 解　(1)y＝－sinx，x∈，当x＝时，ymin＝－1；当x＝π时，ymax＝0，故函数y＝－sinx，x∈的值域为[－1，0]． (2)由图可知，当α＝π时，y＝cosα取得最小值，为－1；当α＝时，y＝cosα取得最大值，为，故函数y＝cosα，α∈的值域为. 9．求函数y＝2cosx－4的定义域、值域、最值、周期以及单调区间． 解　由余弦函数u＝cosx的基本性质可知函数y＝2cosx－4的性质如下： 定义域：R. 值域：[－6，－2]． 最值：当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值，为－2；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，取得最小值，为－6. 周期：周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期为2π. 单调区间：由余弦函数u＝cosx的单调性可知，y＝2cosx－4在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减． 知识点三　正弦函数、余弦函数值符号的判定 10．点P(sin2024°，cos2024°)位于第________象限． 答案　三 解析　∵2024°＝5×360°＋224°，∴2024°是第三象限角，∴sin2024°<0，cos2024°＜0，∴点P位于第三象限． 11．确定下列各式的符号． (1)sin700°；(2)cos(－30°)； (3)sin；(4)cos； (5)sin100°cos200°；(6)sincos. 解　(1)∵700°＝360°＋340°， ∴700°是第四象限角，故sin700°<0. (2)∵－30°是第四象限角，∴cos(－30°)>0. (3)∵是第三象限角，∴sin<0. (4)∵是第三象限角，∴cos<0. (5)∵100°是第二象限角，∴sin100°>0， ∵200°是第三象限角，∴cos200°<0， ∴sin100°cos200°<0. (6)∵－＝－4π＋， ∴－为第三象限角，∴sin<0. 又＝4π－， ∴为第四象限角，∴cos>0， ∴sincos<0. 一、选择题 1．cos＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　B 解析　如图，以原点为角的顶点，x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P.设点P(u，v)，则u＝－，v＝－，所以cos＝u＝－. 2．已知角α的终边经过点P(sin60°，cos120°)，则sinα＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　A 解析　由题意可知P，则sinα＝＝－. 3．[多选]下列各三角函数值符号为负的是(　　) A．sin10° B．cos(－220°) C．sin(－10) D．cosπ 答案　BD 解析　因为10°角是第一象限角，所以sin10°>0；因为－220°角是第二象限角，所以cos(－220°)<0；因为－10∈，所以－10角是第二象限角，所以sin(－10)>0；cosπ＝－1<0. 4．当α为第二象限角时，－的值是(　　) A．1 B．0 C．2 D．－2 答案　C 解析　∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0.∴－＝－＝2. 5．[多选]在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式一定为正的是(　　) A．sinα＋cosα B．cosα－sinα C．sinαcosα D．cosα 答案　BD 解析　∵角α以Ox为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，∴α是第四象限角，∴sinα<0，cosα>0，故D正确；sinα＋cosα不一定是正数，故A错误；cosα－sinα>0，故B正确；sinαcosα<0，故C错误． 二、填空题 6．函数y＝＋的定义域为________． 答案　(0，3] 解析　由得所以x∈(0，3]，即函数的定义域为(0，3]． 7．y＝cosx，x∈的最大值为________． 答案　0 解析　结合单位圆知，当x∈时，y∈.故y＝cosx的最大值为0. 8．函数y＝cos2x－4cosx＋5的值域为____________． 答案　[2，10] 解析　令t＝cosx，由于x∈R，故－1≤t≤1.则y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，当t＝－1，即cosx＝－1时，函数有最大值10；当t＝1，即cosx＝1时，函数有最小值2.所以该函数的值域是[2，10]． 三、解答题 9．已知角α的终边过点M(x，－1)(x<0)，且cosα＝x，求sinα. 解　设r＝，由三角函数的定义， 可得cosα＝＝＝x， 整理可得＝， 所以sinα＝＝＝－. 10．已知函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)是否为周期函数； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)若x∈，求f(x)的取值范围． 解　(1)因为－1≤sinx≤1，所以1≤2－sinx≤3，所以f(x)的定义域是R. 又f(x＋2π)＝＝＝f(x)，故函数f(x)是周期函数． (2)要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数y＝2－sinx的单调递减区间，即求函数y＝sinx的单调递增区间． 由正弦函数的基本性质，可知函数y＝sinx的单调递增区间为(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)． (3)设t＝sinx，x∈， 则t∈， 所以1≤2－t<，则<≤1， 故f(x)的取值范围为. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$