第2章 6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评课件PPT（北师大版2019）

第二章　平面向量及其应用 §6　平面向量的应用 6.2　平面向量在几何、物理中的 应用举例 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 2．如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H.求证：HG∥EF. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 知识点二　有关线段长度与夹角问题 4．正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 5．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 8．在长江南岸某渡口处，江水向东流，速度的大小为12.5 km/h，渡船的速度大小为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 9．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 [名师点拨]　力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|·cosθ(θ为F和s的夹角)． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 40分钟综合练 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 二、填空题 6．已知力F的大小|F|＝10 N，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14 m，F与s的夹角为60°，则F做的功为________ J. 70 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 7．已知△ABC，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝3，则BC的长为________． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 三、解答题 9．四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 10．帆船比赛是借助风帆推动船在规定距离内竞速的一项水上运动．如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度大小为20 km/h，此时水的流向是正东，流速大小为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度大小与方向． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　向量在几何证明中的应用 1．如图，在平行四边形ABCD中，已知DE＝eq \f(1,3)AB，DF＝eq \f(1,4)DB.求证：A，E，F三点共线． 证明　因为DE＝eq \f(1,3)AB，DF＝eq \f(1,4)DB， 所以eq \o(DE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \f(1,4) eq \o(DB,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(FB,\s\up16(→)). 于是eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(DF,\s\up16(→))－eq \o(DE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(FB,\s\up16(→))－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(FB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(FA,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(AF,\s\up16(→))， 因此eq \o(EF,\s\up16(→))∥eq \o(AF,\s\up16(→))，又因为eq \o(EF,\s\up16(→))，eq \o(AF,\s\up16(→))有公共点F， 所以A，E，F三点共线． 证明　∵eq \o(DG,\s\up16(→))⊥eq \o(BE,\s\up16(→))，eq \o(AE,\s\up16(→))⊥eq \o(BE,\s\up16(→))，∴eq \o(GD,\s\up16(→))∥eq \o(AC,\s\up16(→)). 设eq \o(OA,\s\up16(→))＝λeq \o(OD,\s\up16(→))(λ≠0)，则eq \o(AE,\s\up16(→))＝λeq \o(DG,\s\up16(→)). 同理eq \o(AF,\s\up16(→))＝λeq \o(DH,\s\up16(→)). 于是eq \o(FE,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))－eq \o(AF,\s\up16(→))＝λ(eq \o(DG,\s\up16(→))－eq \o(DH,\s\up16(→)))＝λeq \o(HG,\s\up16(→))， ∴eq \o(HG,\s\up16(→))∥eq \o(FE,\s\up16(→))，即HG∥EF. 3．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq \f(1,2)AB，求证：AC⊥BC. 证明　证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，∴AB∥CD. 设eq \o(AD,\s\up16(→))＝e1，eq \o(DC,\s\up16(→))＝e2，|e1|＝|e2|，则eq \o(AB,\s\up16(→))＝2e2. ∴eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))＝e1＋e2，eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2. 而eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝eeq \o\al(2,1)－eeq \o\al(2,2)＝|e1|2－|e2|2＝0， ∴eq \o(AC,\s\up16(→))⊥eq \o(BC,\s\up16(→))，即AC⊥BC. 证法二：如图，建立平面直角坐标系， 设CD＝1， 则A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)． ∴eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－1，1)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(1，1)． ∴eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－1，1)·(1，1)＝－1＋1＝0. ∴AC⊥BC. 解　以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知，eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，eq \o(OE,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故cos∠DOE＝eq \f(\o(OD,\s\up16(→))·\o(OE,\s\up16(→)),\a\vs4\al(|\o(OD,\s\up16(→))||\o(OE,\s\up16(→))|))＝eq \f(1×\f(1,2)＋\f(1,2)×1,\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(4,5). 解　设eq \o(AD,\s\up16(→))＝a，eq \o(AB,\s\up16(→))＝b，则eq \o(BD,\s\up16(→))＝a－b，eq \o(AC,\s\up16(→))＝a＋b， 而|eq \o(BD,\s\up16(→))|＝|a－b|＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4－2a·b)＝eq \r(5－2a·b)＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq \f(1,2). ∴|eq \o(AC,\s\up16(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2×eq \f(1,2)＝6， ∴|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6). 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝eq \f(1,2)DC. 求：(1)AD的长； (2)∠DAC的大小． 解　(1)设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AC,\s\up16(→))＝b， 则eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))) ＝eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b. ∴|eq \o(AD,\s\up16(→))|2＝eq \o(AD,\s\up16(→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b)) eq \s\up12(2)＝eq \f(4,9)a2＋2×eq \f(2,9)a·b＋eq \f(1,9)b2 ＝eq \f(4,9)×9＋2×eq \f(2,9)×3×3×cos120°＋eq \f(1,9)×9＝3. 故AD＝eq \r(3). (2)设∠DAC＝θ，则θ为向量eq \o(AD,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))的夹角． ∵cosθ＝eq \f(\o(AD,\s\up16(→))·\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AD,\s\up16(→))||\o(AC,\s\up16(→))|)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))·b,\r(3)×3)＝eq \f(\f(1,3)b2＋\f(2,3)a·b,3\r(3))＝eq \f(\f(1,3)×9＋\f(2,3)×3×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),3\r(3))＝0， ∴θ＝90°，即∠DAC＝90°. 知识点三　平面向量在物理中的应用 7．(1)已知力F＝(2，3)作用在一物体上，使物体从A(2，0)移动到B(－2，3)，求F对物体所做的功； (2)如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为eq \f(2π,3)，求F3的大小． 解　(1)由已知，位移eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－4，3)， 所以力F做的功为W＝F·eq \o(AB,\s\up16(→))＝2×(－4)＋3×3＝1(焦耳)． (2)因为F1，F2，F3三个力处于平衡状态， 所以F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)， 所以|F3|＝|F1＋F2|＝eq \r(（F1＋F2）2) ＝2,1)eq \r(F＋2F1·F2＋Feq \o\al(2,2)) ＝eq \r(1＋2×1×2×cos\f(2π,3)＋4)＝eq \r(3). 解　如图，设eq \o(AB,\s\up16(→))表示水流的速度，eq \o(AD,\s\up16(→))表示渡船的速度，eq \o(AC,\s\up16(→))表示渡船实际垂直过江的速度． ∵eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))， ∴四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|eq \o(DC,\s\up16(→))|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝12.5，|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝25， ∴∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°. 解　如图建立坐标系，则F1＝(1，eq \r(3))，F2＝(2eq \r(3)，2)，F3＝(－3，3eq \r(3))， 则F＝F1＋F2＋F3＝(2eq \r(3)－2，2＋4eq \r(3))． 又位移s＝(4eq \r(2)，4eq \r(2))，故合力F所做的功为 W＝F·s＝(2eq \r(3)－2)×4eq \r(2)＋(2＋4eq \r(3))×4eq \r(2)＝24eq \r(6)(J)， 所以合力F所做的功为24eq \r(6) J. 一、选择题 1．某物体做斜抛运动，初速度为v0，其大小为10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度大小是(　　) A．5 m/s B．6 m/s C．5eq \r(3) m/s D．8 m/s 解析　设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图，|v2|＝|v0|cos60°＝10×eq \f(1,2)＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度大小是5 m/s. 2．[多选]点P是△ABC所在平面内一点，满足|eq \o(PB,\s\up16(→))－eq \o(PC,\s\up16(→))|－|eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))－2eq \o(PA,\s\up16(→))|＝0，则△ABC的形状不可能是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 解析　因为点P是△ABC所在平面内一点，且|eq \o(PB,\s\up16(→))－eq \o(PC,\s\up16(→))|－|eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))－2eq \o(PA,\s\up16(→))|＝0，所以|eq \o(CB,\s\up16(→))|－|(eq \o(PB,\s\up16(→))－eq \o(PA,\s\up16(→)))＋(eq \o(PC,\s\up16(→))－eq \o(PA,\s\up16(→)))|＝0，即|eq \o(CB,\s\up16(→))|＝|eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))|，所以|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))|＝|eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))|，两边平方并化简得eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝0，所以eq \o(AC,\s\up16(→))⊥eq \o(AB,\s\up16(→))，所以∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形和等边三角形．故选AD. 3．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(　　) (参考数据：取重力加速度大小为g≈10 m/s2，eq \r(3)≈1.732) A．63 kg B．69 kg C．75 kg D．81 kg 解析　设该学生两只胳膊的拉力分别为F1，F2，则|F1|＝|F2|＝400，且F1，F2的夹角为60°，|F1|cos30°＋|F2|cos30°＝400eq \r(3).故该学生的体重m＝eq \f(400\r(3),g)≈eq \f(400\r(3),10)≈69(kg)． 4．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(CO,\s\up16(→))＝0，则△ABC的内角A等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析　∵eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(CO,\s\up16(→))＝0，∴eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))，如图，由O为△ABC外接圆的圆心并结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，∴∠CAO＝60°，∴△ABC的内角A等于30°. 5．[多选]在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式成立的是(　　) A．|eq \o(AC,\s\up16(→))|2＝eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→)) B．|eq \o(BC,\s\up16(→))|2＝eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→)) C．|eq \o(AB,\s\up16(→))|2＝eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→)) D．|eq \o(CD,\s\up16(→))|2＝eq \f(（\o(AC,\s\up16(→))·\o(AB,\s\up16(→))）×（\o(BA,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→))）,|\o(AB,\s\up16(→))|2) 解析　eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))·(eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→)))＝eq \o(AC,\s\up16(→))2＋eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))2＝|eq \o(AC,\s\up16(→))|2，A正确；同理B正确；eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝|eq \o(AC,\s\up16(→))||eq \o(CD,\s\up16(→))|cos(π－∠ACD)<0，|eq \o(AB,\s\up16(→))|2>0，故C不正确；eq \f(（\o(AC,\s\up16(→))·\o(AB,\s\up16(→))）×（\o(BA,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→))）,|\o(AB,\s\up16(→))|2)＝eq \f(|\o(AC,\s\up16(→))|2×|\o(BC,\s\up16(→))|2,|\o(AB,\s\up16(→))|2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\o(AC,\s\up16(→))|×|\o(BC,\s\up16(→))|,|\o(AB,\s\up16(→))|))) eq \s\up12(2)＝|eq \o(CD,\s\up16(→))|2，故D正确． 解析　F做的功为F·s＝|F||s|cos60°＝10×14×eq \f(1,2)＝70(J)． eq \r(7) 解析　因为eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))，所以eq \o(BC,\s\up16(→))2＝(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))2＝eq \o(AC,\s\up16(→))2－2eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))2＝9－2×3×2×cos60°＋4＝7，所以|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝eq \r(7)，即BC的长为eq \r(7). 8．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为eq \f(1,2)，则α与β的夹角θ的取值范围是________． 解析　以α，β为邻边的平行四边形的面积为S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝eq \f(1,2)，所以sinθ＝eq \f(1,2|β|)，又因为|β|≤1，所以eq \f(1,2|β|)≥eq \f(1,2)，即sinθ≥eq \f(1,2)且0≤θ≤π，所以θ的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))). eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))) 证明　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0<λ<eq \r(2))，则A(0，1)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ，\f(\r(2),2)λ))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)λ))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ，0))， ∴eq \o(PA,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ，1－\f(\r(2),2)λ))，eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ－1，－\f(\r(2),2)λ))， ∴|eq \o(PA,\s\up16(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)λ))\s\up12(2))＝eq \r(λ2－\r(2)λ＋1)， |eq \o(EF,\s\up16(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ－1))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ))\s\up12(2)) ＝eq \r(λ2－\r(2)λ＋1)， ∴|eq \o(PA,\s\up16(→))|＝|eq \o(EF,\s\up16(→))|，∴PA＝EF. 解　建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°， 速度大小为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度大小为|v2|＝20(km/h)， 设帆船行驶的速度为v， 则v＝v1＋v2. 由题意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10，10eq \r(3))，向量v2＝(20，0)， 则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10，10eq \r(3))＋(20，0)＝(30，10eq \r(3))， 所以|v|＝eq \r(302＋（10\r(3)）2)＝20eq \r(3)(km/h)． 因为cosα＝eq \f(30,20\r(3))＝eq \f(\r(3),2)(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°. 所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度大小为20eq \r(3) km/h. $$