2.5.1 向量的数量积 教案-2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

向量的数量积 【教学目标】 【核心素养】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义。(难点) 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系。(重点) 3.掌握数量积的运算性质,并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题。(重点) 1.通过向量的夹角、向量数量积概念的学习,培养学生的数学抽象核心素养。 2.通过向量数量积的应用,培养学生的数学运算核心素养。 【教学过程】 一、问题导入 我们在物理课中学过,力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功。如图所示,如果作用在小车上的力F的大小为|F| N,小车在水平面上位移s的大小为|s|·m,力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ,那么这个力所做的功为W=|F||s|cos θ。 (1)显然,功W与力向量F及位移向量s有关,这三者之间有什么关系? (2)给定任意两个向量a,b,能确定出一个类似的标量吗?如果能,请指出确定的方法;如果不能,说明理由。 二、新知探究 1.与向量数量积有关的概念 【例1】(1)以下四种说法中正确的是_。(填序号) ①如果a·b=0,则a=0或b=0; ②如果向量a与b满足a·b<0,则a与b所成的角为钝角; ③△ABC中,如果·=0,那么△ABC为直角三角形; ④如果向量a与b是两个单位向量,则a2=b2 (2)已知|a|=3,|b|=5,且a·b=-12,则a在b方向上的投影的数量为_,b在a方向上的投影的数量为_。 (3)已知等腰△ABC的底边BC长为4,则·=_。 思路探究:根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答。 (1)③④;(2)-;-4;(3)8;[(1)由数量积的定义知a·b=|a||b|·cos θ(θ为向量a,b的夹角)。 ①若a·b=0,则θ=90°或a=0或b=0,故①错; ②若a·b<0,则θ为钝角或θ=180°,故②错; ③由·=0知B=90°,故△ABC为直角三角形,故③正确; ④由a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,故④正确。 (2)设a与b的夹角为θ,则有 a·b=|a|·|b|·cos θ=-12, 所以向量a在向量b方向上的投影的数量为|a|·cos θ===-;向量b在向量a方向上的投影的数量为|b|·cos θ===-4. (3)如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D. 因为AB=AC, 所以BD=BC=2, 于是||cos ∠ABC=||