第6章 专项训练1 与平面向量有关的新定义问题-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

专项训练1　与平面向量有关的新定义问题 一、单项选择题 1．(2024·河南信阳阶段练习)定义向量一种运算“⊗”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊗b＝mq－np，下列说法错误的是(　　) A．若a与b共线，则a⊗b＝0 B．(a⊗b)2＋(a·b)2＝|a|2·|b|2 C．对任意的λ∈R，有(λa)⊗b＝λ(a⊗b) D．a⊗b＝b⊗a 答案：D 解析：对于A，因为若a与b共线，则mq＝np，所以a⊗b＝mq－np＝0，故A正确；对于B，a⊗b＝mq－np，a·b＝mp＋nq，(a⊗b)2＋(a·b)2＝(mq－np)2＋(mp＋nq)2＝(mq)2＋(np)2－2mnqp＋(mp)2＋(nq)2＋2mnqp＝m2(q2＋p2)＋n2(q2＋p2)＝(m2＋n2)(q2＋p2)＝|a|2·|b|2，故B正确；对于C，因为(λa)⊗b＝λmq－λnp＝λ(a⊗b)，故C正确；对于D，因为a⊗b＝mq－np，b⊗a＝pn－qm，故D错误．故选D． 2．(2024·辽宁辽阳期中)人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，定义余弦相似度为cos(A，B)＝cos〈，〉，余弦距离为1－cos(A，B)．已知P(cosα，sinα)，Q(1，－)，若P，Q的余弦距离为，则cos＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：D 解析：由于P，Q的余弦距离为，所以1－cos(P，Q)＝，故cos(P，Q)＝cos〈，〉＝，cos〈，〉＝＝⇒＝，所以cos＝，因此cos＝2cos2－1＝2×－1＝－．故选D． 3．(2024·广东佛山期中)互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，且〈e1，e2〉＝，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记P(a，b)，则该坐标系中M(3，3)和N(2，1)两点间的距离为(　　) A．3 B．2 C． D． 答案：D 解析：由题意可得＝3e1＋3e2，＝2e1＋e2，则＝－＝e1＋2e2，所以||2＝(e1＋2e2)2＝|e1|2＋4|e2|2＋4e1·e2＝1＋4＋4×cos＝5＋2＝7，所以||＝．故选D． 4．(2024·河北邯郸二模)对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b＝，a⊙b＝．若平面向量a，b满足|a|>|b|>0，且a⊕b和a⊙b都在集合中，则a⊕b＋a⊙b＝(　　) A．1 B． C．1或 D．1或 答案：D 解析：因为＝，设向量a和b的夹角为θ，因为|a|>|b|>0，所以|a|2＋|b|2>2|a||b|，得到a⊕b＝＝<＝，又θ∈[0，π]，所以≤，又a⊕b在集合中，所以>，即cosθ>，得到a⊕b＝，又a⊙b＝＝＝cosθ>cosθ>，所以a⊙b＝或1，所以a⊕b＋a⊙b＝1或．故选D． 5．(2024·山东聊城期中)设向量a与b的夹角为θ，定义a⊕b＝|asinθ－bcosθ|，已知|a|＝，|a＋b|＝，|b|＝1，则a⊕b＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：∵|a|＝，|b|＝1，|a＋b|＝，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5，即2＋2a·b＋1＝5，则a·b＝1，故a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ＝1，得cosθ＝，∵θ∈[0，π]，∴sinθ＝＝，∴a⊕b＝|asinθ－bcosθ|＝＝＝＝．故选D． 二、多项选择题 6．(2024·湖北武汉期中)对非零向量a，b，定义运算“(*)”：a(*)b＝|a|cosθ＋|b|sinθ，其中θ为a与b的夹角，则(　　) A．若a∥b，则|a(*)b|＝|a| B．若a＝(－1，2)，b＝(－3，1)，则(a－b)(*)a＝ C．若Rt△ABC中，C＝，AC＝2，BC＝1，则(*)＝ D．若△ABC中，(*)＝(*)＝0，则△ABC是等腰三角形或有内角为135°的三角形 答案：ABD 解析：对于A，因为a∥b，所以〈a，b〉＝0或π，所以|a(*)b|＝||a|cos〈a，b〉＋|b|sin〈a，b〉|＝|a|，故A正确；对于B，因为a＝(－1，2)，b＝(－3，1)，所以a－b＝(2，1)，|a－b|＝，|a|＝，cos〈a－b，a〉＝＝0，所以〈a－b，a〉＝，(a－b)(*)a＝×0＋×1＝，故B正确；对于C，若Rt△ABC中，C＝，AC＝2，BC＝1，则AB＝，cosA＝，sinA＝，所以(*)＝||cosA＋||sinA＝×＋2×＝2＋，故C错误；对于D，在△ABC中，(*)＝(*)＝0，所以－ccosB＋asinB＝－acosB＋csinB＝0，所以(c－a)(sinB＋cosB)＝0，当c－a＝0，即c＝a时，△ABC是等腰三角形；当sinB＋cosB＝0时，B＝135°，故D正确．故选ABD． 7．(2024·山东菏泽期中)对于非零向量a＝(x，y)，定义变换F(a)＝(x＋y，x－y)以得到一个新的向量．则关于该变换，下列说法正确的是(　　) A．若a∥b，则F(a)∥F(b) B．若a⊥b，则F(a)⊥F(b) C．存在a，b，使得cos〈F(a)，F(b)〉＝cos〈a，b〉＋3 D．设a0＝(－5，2)，a1＝F(a0)，a2＝F(a1)，…，a2025＝F(a2024)，则a0·a2025＝21012 答案：ABD 解析：设b＝(m，n)，则F(b)＝(m＋n，m－n)，因为a＝(x，y)，所以F(a)＝(x＋y，x－y)．对于A，若a∥b，则nx＝my，所以(x＋y)(m－n)－(x－y)(m＋n)＝mx－nx＋my－ny－mx－nx＋my＋ny＝－2nx＋2my＝0，所以F(a)∥F(b)，所以A正确；对于B，若a⊥b，则a·b＝mx＋ny＝0，所以F(a)·F(b)＝(x＋y)(m＋n)＋(x－y)(m－n)＝mx＋nx＋my＋ny＋mx－nx－my＋ny＝2mx＋2ny＝0，所以F(a)⊥F(b)，所以B正确；对于C，cos〈F(a)，F(b)〉＝＝＝，cos〈a，b〉＝＝，所以cos〈F(a)，F(b)〉＝cos〈a，b〉，所以C错误；对于D，当an＝(x，y)时，an＋1＝F(an)＝(x＋y，x－y)，an＋2＝F(an＋1)＝(2x，2y)，所以an＋2＝2an，因为a0＝(－5，2)，所以a2024＝21012a0＝(－5×21012，2×21012)，所以a2025＝F(a2024)＝(－3×21012，－7×21012)，所以a0·a2025＝15×21012－14×21012＝21012，所以D正确．故选ABD． 三、填空题 8．向量a，b的夹角为θ，定义运算“⊗”：a⊗b＝|a|·|b|sinθ，若a＝(，1)，b＝(－，1)，则a⊗b的值为________． 答案：2 解析：由a＝(，1)，b＝(－，1)，得a·b＝×(－)＋1×1＝－2，|a|＝＝2，|b|＝＝2，cos〈a，b〉＝＝－，〈a，b〉∈[0，π]，则sin〈a，b〉＝，所以a⊗b＝2×2×＝2． 9．(2024·广东广州阶段练习)若非零向量a，b的夹角为锐角θ，且＝cosθ，则称a被b“同余”．已知b被a“同余”，且|a|＝，|b|＝1，则a－b在a上的投影向量的模为________． 答案： 解析：b被a“同余”，则|b|＝|a|cosθ，所以a·(a－b)＝a2－|a||b|cosθ＝a2－|b|2，a－b在a上的投影向量的模为＝＝＝． 10．(2024·江西吉安期末)直角坐标系和斜坐标系都是法国数学家笛卡儿发明的．设Ox，Oy是平面内相交成θ(0<θ<π)角的两条数轴，e1，e2分别是与x，y轴方向相同的单位向量．若＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)θ叫做向量在斜坐标系Oxy下的坐标．设a＝(2，－1)θ，b＝(3，2)θ． (1)若θ＝，则|a|＝________； (2)若a·b＝，则θ＝________． 答案：(1)　(2) 解析：(1)因为a＝(2，－1)θ，所以a＝2e1－e2，若θ＝，则e1·e2＝1×1×cos＝－，所以|a|＝＝＝＝． (2)因为a＝(2，－1)θ，b＝(3，2)θ，所以a＝2e1－e2，b＝3e1＋2e2，若a·b＝，则a·b＝(2e1－e2)·(3e1＋2e2)＝6e＋e1·e2－2e＝，所以6＋cosθ－2＝，即cosθ＝，因为θ∈(0，π)，所以θ＝． 四、解答题 11．(2024·辽宁抚顺开学考试)现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊗b＝(x1，y1)·(x2，y2)＝(x1x2－y1y2，x1y2＋x2y1)．请按这种运算，解答如下问题． (1)已知a＝(1，2)，b＝(2，3)，求a⊗b； (2)已知a＝(1，2)，a⊗b＝(6，5)，求b． 解：(1)因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，a⊗b＝(x1，y1)·(x2，y2)＝(x1x2－y1y2，x1y2＋x2y1)， 所以a⊗b＝(1×2－2×3，1×3＋2×2)＝(－4，7)． (2)设b＝(x，y)，因为a＝(1，2)，a⊗b＝(x1，y1)·(x2，y2)＝(x1x2－y1y2，x1y2＋x2y1)， 所以a⊗b＝(x－2y，2x＋y)， 因为a⊗b＝(6，5)，所以(x－2y，2x＋y)＝(6，5)， 所以解得 所以b＝． 12．(2024·吉林长春期中)已知O为坐标原点，对于函数f(x)＝asinx＋bcosx，称向量＝(a，b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量的伴随函数． (1)设函数g(x)＝2sin(x＋π)＋sin，试求函数g(x)的伴随向量； (2)记向量＝(1，)的伴随函数为f(x)，若f(x)＝且x∈，求cosx的值． 解：(1)∵g(x)＝2sin(x＋π)＋sin＝－2sinx－cosx， ∴函数g(x)的伴随向量＝(－2，－)． (2)∵＝(1，)， ∴f(x)＝sinx＋cosx＝2sin， 由f(x)＝，得2sin＝， ∴sin＝，∵x∈， ∴x＋∈，故cos＝， ∴cosx＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝． 13．[多选](2024·四川自贡期中)定义两个非零平面向量的一种新运算a*b＝|a||b|sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的是(　　) A．a在b上的投影向量为asin〈a，b〉 B．(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2·|b|2 C．λ(a*b)＝(λa)*b D．若a*b＝0，则a与b平行 答案：BD 解析：对于A，a在b上的投影向量为|a|·cos〈a，b〉·，可知|a|cos〈a，b〉·与b共线，但asin〈a，b〉与a共线，两者方向不一定相同，所以a在b上的投影向量不是asin〈a，b〉，故A不成立；对于B，(a*b)2＋(a·b)2＝(|a|·|b|sin〈a，b〉)2＋(|a||b|cos〈a，b〉)2＝|a|2·|b|2，故B成立；对于C，λ(a*b)＝λ|a||b|·sin〈a，b〉，(λa)*b＝|λ||a||b|sin〈a，b〉，显然当λ<0时，λ(a*b)＝(λa)*b不成立，故C不成立；对于D，由a*b＝0，得|a||b|sin〈a，b〉＝0，则〈a，b〉＝0或π，即a∥b，故D成立．故选BD． 14．(2024·北京海淀期中)设平面中所有向量组成集合C，e为C中的一个单位向量，定义F(x)＝－x＋2(x·e)e．则下列结论中正确的是________(只需填写序号)． ①若m，n∈C，则F(m)·F(n)＝m·n；②若x∈C，〈x，e〉＝，则F(F(x))＝x；③若u＝(1，0)，v＝(0，1)，F(u)＝v，则e有唯一解． 答案：①② 解析：对于①，因为F(x)＝－x＋2(x·e)e，所以F(m)＝－m＋2(m·e)e，F(n)＝－n＋2(n·e)e，所以F(m)·F(n)＝[－m＋2(m·e)e]·[－n＋2(n·e)e]＝m·n－2(m·e)e·n－2(n·e)e·m＋4(m·e)e·(n·e)e＝m·n－2(m·e)(e·n)－2(n·e)(e·m)＋4(m·e)(n·e)·(e·e)＝m·n－2(m·e)(e·n)－2(n·e)·(e·m)＋4(m·e)(n·e)＝m·n，即F(m)·F(n)＝m·n，故①正确；对于②，x∈C，〈x，e〉＝，F(x)＝－x＋2(x·e)e＝－x＋|x|e，所以F(F(x))＝－(－x＋|x|e)＋2[(－x＋|x|e)·e]e＝－(－x＋|x|e)＋2(－x·e＋|x|e·e)e＝－(－x＋|x|e)＋2e＝x－|x|e＋|x|e＝x，故②正确；对于③，设e＝(x，y)，则x2＋y2＝1，u＝(1，0)，v＝(0，1)，所以u·e＝x，所以F(u)＝－u＋2(u·e)e＝－(1，0)＋2x(x，y)＝(2x2－1，2xy)，因为F(u)＝v，所以(2x2－1，2xy)＝(0，1)，所以解得x＝y＝或x＝y＝－，所以e＝或e＝，故③错误． 15．(2024·贵州安顺期末)如图，在斜坐标系Oxy中，e1，e2分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，且e1与e2的夹角为60°，定义向量＝xe1＋ye2在该斜坐标系Oxy中的坐标为有序数对(x，y)，记为＝xe1＋ye2＝(x，y)．在斜坐标系Oxy中，完成如下问题： (1)若斜坐标系Oxy中，a＝(2，4)，b＝(5，m)，且a⊥b，求实数m的值； (2)若斜坐标系Oxy中，m＝(4，－5)，n＝(－2，3)，求向量m与n的夹角θ的余弦值． 解：(1)依题意，e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝，由a＝(2，4)，b＝(5，m)，得a＝2e1＋4e2，b＝5e1＋me2， 由a⊥b，得a·b＝(2e1＋4e2)·(5e1＋me2)＝0， 即10e＋(2m＋20)e1·e2＋4me＝0， 整理得10＋m＋10＋4m＝0，所以m＝－4． (2)由(1)知，e1·e2＝，由m＝(4，－5)，n＝(－2，3)，得m＝4e1－5e2，n＝－2e1＋3e2， 则m·n＝(4e1－5e2)·(－2e1＋3e2)＝－8e＋22e1·e2－15e＝－8＋11－15＝－12， |m|＝＝＝＝， |n|＝＝＝＝， 所以向量m与n的夹角θ的余弦值为 cos〈m，n〉＝＝＝－． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$