第6章 平面向量及其应用 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

第六章　单元质量测评 时间：120分钟　 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，F是AE的中点，则＝(　　) A．＋ B．－＋ C．＋ D．－＋ 答案：B 解析：因为F是AE的中点，所以＝，因为E是边CD的中点，所以＝＝，所以＝－＝－＝(＋)－＝(＋)－＝－＋．故选B． 2．(2024·大庆市铁人中学高一月考)已知向量a＝(2，2)，b＝(1，x)，若a∥(a＋2b)，则|b|＝(　　) A．10 B．2 C． D． 答案：D 解析：因为a＋2b＝(4，2x＋2)，且a∥(a＋2b)，所以2(2x＋2)－2×4＝0，解得x＝1，所以b＝(1，1)，|b|＝．故选D． 3．(2024·江苏常熟中学高一月考)设λ为实数，已知向量m＝(1，λ)，n＝(2，－1)．若m⊥n，则向量m－n与n的夹角为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为m⊥n，所以m·n＝2－λ＝0，解得λ＝2，所以m＝(1，2)，m－n＝(－1，3)，所以(m－n)·n＝－2－3＝－5，|m－n|＝，|n|＝，所以cos〈m－n，n〉＝＝＝－，又〈m－n，n〉∈[0，π]，所以m－n与n的夹角为．故选D． 4．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(b－c)sinB＝2csinC且a＝，cosA＝，则△ABC的面积为(　　) A． B． C．3 D．3 答案：A 解析：由正弦定理，得(b－c)b＝2c2，得b2－bc－2c2＝0，得b＝2c或b＝－c(舍去)．由a2＝b2＋c2－2bccosA，得c＝2，则b＝4．由cosA＝，知sinA＝．所以S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝．故选A． 5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由已知得BC＝，∠BCD＝135°，所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝××cos180°＋×1×cos135°＋2××cos45°＋2×1×cos0°＝2．故选B． 6．平行四边形ABCD中，||＝3，若＋＝，则||＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．3 答案：B 解析：因为＋＝，所以四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，因为||＝||＝3，所以||＝3．故选B． 7．已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC的形状是(　　) A．三边均不相等的三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．以上均有可能 答案：C 解析：∵·＝0，∴角A的平分线所在的向量与垂直，∴△ABC为等腰三角形．又·＝，∴cosA＝，∴A＝．故△ABC为等边三角形．故选C． 8．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，则的取值范围是(　　) A．[－6，1] B．[4，8] C．(－∞，1] D．[－1，6] 答案：A 解析：由a＝2b，得所以又cos2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1＝－(sinα－1)2＋2，所以－2≤cos2α＋2sinα≤2．所以－2≤λ2－m≤2．将λ2＝(2m－2)2代入上式，得－2≤(2m－2)2－m≤2，解得≤m≤2，所以＝＝2－∈[－6，1]．故选A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(2024·山东济南高一月考)已知平面向量a＝(1，0)，b＝(1，2)，则下列说法正确的是(　　) A．|a＋b|＝16 B．(a＋b)·a＝2 C．向量a＋b与a的夹角为30° D．向量a＋b在a上的投影向量为2a 答案：BD 解析：由题意，得a＋b＝(2，2)．对于A，|a＋b|＝＝4，故A不正确；对于B，(a＋b)·a＝2×1＋2×0＝2，故B正确；对于C，因为cos〈a＋b，a〉＝＝＝，所以向量a＋b与a的夹角为60°，故C不正确；对于D，向量a＋b在a上的投影向量为·＝2a，故D正确．综上所述，选BD． 10．已知图中∠AOC＋2∠BOC＝180°，||＝||，BC∥OA，P为图中的阴影中(含边界)任意一点，并且＝x＋y，则下列命题正确的是(　　) A．0≤x＋y≤1 B．|x|＋|y|≤x2＋y2 C．x2＋y2≤2 D．存在无数个点P，使得y＝1 答案：ACD 解析：当点P在OB上时，|x|＝|y|，x＋y＝0，当点P在△OBC内时，|x|<|y|，x<0，0<y<1，所以0<x＋y<1，当点P在线段BC上时，y＝1，－x∈[0，1]，故A，C正确；对于B，y＝1，x∈(－1，0)时，|x|＋|y|>x2＋y2，故B错误；对于D，如图，点P可以是线段BC上任意一点，使得y＝1，故D正确．故选ACD． 11．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图2所示．若AB＝7，DE＝2，则(　　) A．BD＝3 B．AD＝5 C．cos∠ABD＝ D．△ABD的面积为 答案：ABD 解析：设BD＝x，则AD＝2＋x．在△ABD中，∠ADB＝180°－60°＝120°，并由余弦定理可得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，即49＝(2＋x)2＋x2－2(2＋x)x·，整理得x2＋2x－15＝0，解得x＝3(－5舍去)，所以BD＝3，AD＝5．则cos∠ABD＝＝＝，所以sin∠ABD＝＝，所以△ABD的面积S＝AB·BDsin∠ABD＝×7×3×＝．故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________． 答案：－3 解析：由向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则解得故m－n＝－3． 13．已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2．点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________． 答案：　 解析：在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝．因为BD＝BC＝2，所以∠BDC＝∠ABC，则cos∠BDC＝＝． 14．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________ m． 答案：35 解析：∵∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∴∠ADC＝150°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∴AD＝CD＝35 m，又∠ACB＝120°，∴∠BCD＝135°，∠CBD＝30°．在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，解得BD＝35 m，在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，∴AB2＝352＋(35)2－2×35×35×，解得AB＝35 m． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000 km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2000 km，求飞机从B地到C地的位移． 解：如图，以A地为原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴． 则A(0，0)，B(－1000cos30°，1000sin30°)， 即B(－500，500)，C(－2000cos30°，－2000sin30°)，即C(－1000，－1000)． ∴＝(－500，－1500)． ∴||＝ ＝1000(km)． 设正南方向的单位向量为j＝(0，－1)， 则与正南方向的夹角θ满足 cosθ＝＝＝， ∴θ＝30°，由图形可知的方向是南偏西30°． ∴飞机从B地到C地的位移大小是1000 km，方向是南偏西30°． 16．(本小题满分15分)已知|a|＝，|b|＝，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b． (1)当b⊥c时，求实数x的值； (2)当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值． 解：(1)∵b⊥c，∴b·c＝b·[xa＋(1－x)b]＝xb·a＋(1－x)b2＝x×(－5)＋(1－x)×5＝0， 解得x＝． (2)|c|2＝|xa＋(1－x)b|2 ＝x2a2＋2x(1－x)a·b＋(1－x)2b2 ＝10x2－10x(1－x)＋5(x－1)2 ＝25x2－20x＋5 ＝252＋1． 当x＝时，|c|2有最小值1，即|c|有最小值1． 此时，c＝a＋b． a·c＝a·＝a2＋a·b＝×10＋×(－5)＝1， 设向量a，c的夹角为θ，当|c|取最小值时，向量a与c的夹角的余弦值为cosθ＝＝＝． 17．(本小题满分15分)设a，b是不共线的两个非零向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值； (3)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值． 解：(1)证明：因为＝－＝a＋2b，＝－＝－a－2b，所以＝－． 又因为A为公共点，所以A，B，C三点共线． (2)设8a＋kb＝λ(ka＋2b)，λ∈R，则 解得或 所以实数k的值为±4． (3)＝＋＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b， 因为A，C，D三点共线，所以与共线． 从而存在实数μ使＝μ，即3a－2b＝μ(2a－kb)， 所以解得 所以k＝． 18．(本小题满分17分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝1，A＝，且△ABC的面积为． (1)求a的值； (2)若D为BC上一点，且____________，求sin∠ADB的值． 从①AD＝1，②∠CAD＝这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 解：(1)因为c＝1，A＝，S△ABC＝bcsinA＝，所以b＝2， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝4＋1－2×2×1×＝7，解得a＝． (2)若选①，当AD＝1时，在△ABC中，由正弦定理，得＝，即＝， 所以sinB＝． 因为AD＝AB＝1，所以∠ADB＝B， 所以sin∠ADB＝sinB， 所以sin∠ADB＝． 若选②，当∠CAD＝时，在△ABC中，由余弦定理，得 cosB＝＝＝． 因为A＝，所以∠DAB＝－＝， 所以B＋∠ADB＝，所以sin∠ADB＝cosB， 所以sin∠ADB＝． 19．(本小题满分17分)在平面直角坐标系Oxy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6，0)，C(1，)，点M满足＝，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图． (1)求∠OCM的余弦值； (2)是否存在实数λ，使(－λ)⊥？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意可得＝(6，0)，＝＝(3，0)，＝(2，－)，＝(－1，－)， 所以cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝． (2)设P(t，)，其中1≤t≤5，λ＝(λt，λ)，－λ＝(6－λt，－λ)，＝(2，－)， 若(－λ)⊥，则(－λ)·＝0， 即12－2λt＋3λ＝0⇒(2t－3)λ＝12， 若t＝，则λ不存在， 若t≠，则λ＝， 因为t∈∪， 故λ∈(－∞，－12]∪． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$