8.5.3 平面与平面平行-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

8．5．3　平面与平面平行 知识点一　平面与平面平行的判定 1．[多选]设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 答案：CD 解析：对于A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，B的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故C的内容是α∥β的一个充分条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D的内容是α∥β的一个充分条件．故选CD． 2．在三棱台A1B1C1－ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是(　　) A．平面 B．直线 C．线段，但只含1个端点 D．圆 答案：C 解析：过D作DN∥A1C1，交B1C1于点N，连接BN，由于A1C1⊂平面A1C，DN⊄平面A1C，∴DN∥平面A1C．∵在三棱台A1B1C1－ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，且AA1⊂平面A1C，BD⊄平面A1C，∴BD∥平面A1C．∵AA1∩A1C1＝A1，BD∩DN＝D，∴平面BDN∥平面A1C，∵点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，∴点M的轨迹是线段DN，且M与D不重合，∴动点M的轨迹是线段，但只含1个端点．故选C． 3．如图，四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，G是AE与DF的交点，H，R分别是BE，AD的中点．求证：平面GHR∥平面CDE． 证明：∵G是AE与DF的交点，四边形ADEF是正方形，∴G是AE，DF的中点． 又H是BE的中点，∴GH∥AB． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，∴GH∥CD． 又CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，∴GH∥平面CDE． 又R为AD的中点，∴GR∥ED． 又GR⊄平面CDE，ED⊂平面CDE， ∴GR∥平面CDE． ∵GH∩GR＝G，且GH⊂平面GHR，GR⊂平面GHR，∴平面GHR∥平面CDE． 知识点二　平面与平面平行的性质 4．[多选]如果平面α∥平面β，那么下列命题中正确的是(　　) A．平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β B．平面α内仅有两条相交直线平行于平面β C．对于平面α内的任意一条直线，都能在平面β内找到一条直线与它平行 D．平面α内的任意一条直线都不与平面β相交 答案：ACD 解析：根据两平面平行的定义，知平面α内的任意一条直线与平面β都平行，无公共点，故A，D正确，B不正确；对于C，过平面α内的任意一条直线b都能作出一个平面与平面β相交，其交线与b平行，故C正确．故选ACD． 5．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________． 答案：24或 解析：如图①，当点P在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24；如图②，当平面α和平面β在点P同侧时，可求得BD＝． 6．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E．求证：EC∥A1D． 证明：因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D． 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D． 又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D． 又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D． 7．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点． 求证：(1)PQ∥平面DCC1D1； (2)EF∥平面BB1D1D． 证明：如图所示， (1)证法一：连接AC，CD1， ∵P，Q分别是AD1，AC的中点， ∴PQ∥CD1． 又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1， ∴PQ∥平面DCC1D1． 证法二：取AD的中点G，连接PG，GQ． 则有PG∥D1D． 又PG⊄平面DCC1D1，D1D⊂平面DCC1D1． ∴PG∥平面DCC1D1，同理GQ∥平面DCC1D1． 又PG∩GQ＝G，∴平面PGQ∥平面DCC1D1． 又PQ⊂平面PGQ，∴PQ∥平面DCC1D1． (2)证法一：取B1D1的中点O1，连接BO1，FO1，则有FO1綊B1C1． 又BE綊B1C1，∴BE綊FO1． ∴四边形BEFO1为平行四边形，∴EF∥BO1， 又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D， ∴EF∥平面BB1D1D． 证法二：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1， 则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1， 又FE1，EE1⊂平面EE1F，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D，FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1， ∴平面EE1F∥平面BB1D1D． 又EF⊂平面EE1F，∴EF∥平面BB1D1D． 一、单项选择题 1．已知平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是(　　) A．互相平行 B．交于一点 C．互相异面 D．不能确定 答案：A 解析：由面面平行的性质定理，可知答案为A． 2．已知a，b表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列推理正确的是(　　) A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 答案：D 解析：α∩β＝a，b⊂α，直线a，b可能相交，故A错误；α∩β＝a，a∥b，直线b可能在两个平面内，故B错误；a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，直线a，b如果不相交，则α，β可能相交，故C错误；根据面面平行的性质定理可知D正确． 3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 答案：D 解析：分别在两个互相平行的平面内的两条直线没有公共点，故平行或异面．故选D． 4．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(　　) A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G C．平面F1H1H与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G 答案：A 解析：易得E1F∥H1G，E1G1∥EG，E1F∩E1G1＝E1，H1G∩EG＝G，从而易得平面E1FG1∥平面EGH1；F1G与FG1相交，则平面FHG1与平面F1H1G相交；HH1∩FH＝H，则平面F1H1H与平面FHE1相交；EH1与E1H相交，则平面E1HG1与平面EH1G相交．故选A． 5．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与P，R，Q三点所在平面平行的是(　　) 　　 答案：D 解析：由题意可知，经过P，Q，R三点的平面如图1，截面为六边形PQEFRS(E，F，S为所在棱的中点)．对于A，由图可知MC1与QE是相交直线，故A不符合题意；对于B，C，由图1可知，N在经过P，Q，R三点的平面上，故B，C不符合题意；对于D，因为S，P，Q，E分别为AA1，AB，BC，CC1的中点，所以SP∥A1B，QE∥BC1，因为SP，QE⊄平面A1BC1，A1B，BC1⊂平面A1BC1，所以SP∥平面A1BC1，QE∥平面A1BC1，因为SP，QE⊂平面PQEFRS，所以平面PQEFRS∥平面A1BC1，故D符合题意．故选D． 二、多项选择题 6．如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则(　　) A．AB∥DE B．BF∥平面ACGD C．CF∥平面ABED D．平面ABED∥平面CGF 答案：AB 解析：取DG的中点M，连接AM，FM，如图所示．则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，∴DE綊FM．∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM．又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，∴BF∥AM．又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，∴BF∥平面ACGD．故选AB． 7．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，在此几何体中，下列结论正确的是(　　) A．平面EFGH∥平面ABCD B．BC∥平面PAD C．AB∥平面PCD D．平面PAD∥平面PAB 答案：ABC 解析：如图所示，把平面展开图还原为四棱锥．对于A，由EF∥AB，EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，得EF∥平面ABCD，又EH∥AD，同理可证EH∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确；对于B，因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，故B正确；对于C，因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，故C正确；对于D，由平面PAD与平面PAB有公共点P，知平面PAD与平面PAB不平行，故D错误．故选ABC． 三、填空题 8．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ． 答案：①或③ 解析：由面面平行的性质定理可知①可以；对于③，∵α∩β＝m，n⊂γ，m⊂γ，∴m∥n或m∩n＝P．假设m∩n＝P，则P∈m，P∈n，又α∩β＝m，∴P∈β，这与n∥β相矛盾，因此m∩n＝P不成立，故m∥n，∴③可以． 9．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，若过直线BD′的平面与该正方体的面相交，交线围成一个菱形，则该菱形的面积为________． 答案： 解析：取AA′，CC′的中点为E，F，则四边形BED′F为菱形，则BE＝＝．在△BED′中，因为BD′＝，BD′边上的高为＝，所以菱形BED′F的面积为×××2＝． 10．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝________，ED与AF相交于点H，则GH＝________． 答案：1　 解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，且AB＝CD．又E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH．因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1．因为PA＝AB＝PB＝2，所以PE＝，GH＝PE＝． 四、解答题 11．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC． 证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， ∴MQ∥AD，NQ∥BP． ∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC， ∴NQ∥平面PBC． 又底面ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD，∴MQ∥BC． ∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC， ∴MQ∥平面PBC． 又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC． 12．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点． 求证：MN∥平面BDE． 证明：取AB的中点F，连接MF，NF， ∵M为AD的中点， ∴MF∥BD， ∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE， ∴MF∥平面BDE． ∵N为BC的中点， ∴NF∥AC， 又D，E分别为PA，PC的中点， ∴DE∥AC，∴NF∥DE． ∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE， ∴NF∥平面BDE． 又MF∩NF＝F，根据平面与平面平行的判定定理， 得平面MFN∥平面BDE， 又MN⊂平面MFN，∴MN∥平面BDE． 13．[多选](2024·山西太原阶段练习)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，G为线段B1C上一个动点，则(　　) A．存在点G，使BG∥EF B．存在点G，使平面EFG∥平面BDC1 C．存在点G，使EG∥平面ABCD D．平面EFG截正方体所得截面的最大面积为 答案：AC 解析：对于A，存在点G为B1C与BC1的交点，使得BG∥EF，理由如下：如图1，设点G为B1C与BC1的交点，则B，G，C1三点共线，由正方体的性质可得，AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，因为E，F分别为A1D1，AA1的中点，所以EF∥AD1，所以BC1∥EF，即BG∥EF，故A正确；对于B，如图2，连接A1D，令A1D∩EF＝P，H为侧面CB1的中心，则平面A1DCB1与平面EFG和平面BDC1分别交于PG，DH，若存在点G使平面EFG∥平面BDC1，则PG∥DH，又A1D∥CB1，则四边形PGHD为平行四边形，即PD＝GH，而PD>＝B1H，此时G应在CB1的延长线上，故B错误；对于C，当点G在B1处时，因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EG⊂平面A1B1C1D1，所以EG∥平面ABCD，故C正确；对于D，若点G离点C远，如图3所示，过点G作QR∥EF，即截面为四边形EFQR，显然该截面在G为侧面CB1的中心时最大，最大面积为，若点G离点C近，如图4，过点G作KJ∥EF，延长EF分别交DD1，DA延长线于M，H，连接MK，HJ分别交D1C1，AB于L，I，则截面为六边形EFIJKL，当K，J分别为CC1，BC的中点时最大，最大面积为，>，故D错误．故选AC． 14．(2024·江西南昌阶段练习)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，Q是侧面BCC1B1内一点，若A1Q∥平面AEF，则线段A1Q长度的最大值与最小值之和为________． 答案： 解析：如图，分别取棱BB1，B1C1的中点M，N，连接MN，BC1，A1N，A1M，NE，∵M，N，E，F分别为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF．∵N，E分别为B1C1，BC的中点，∴NE∥CC1，NE＝CC1，又AA1∥CC1，AA1＝CC1，∴AA1∥NE，AA1＝NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN＝N，A1N，MN⊂平面A1MN，∴平面A1MN∥平面AEF，Q是侧面BCC1B1内一点，且A1Q∥平面AEF，则Q必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M＝＝＝，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N＝，∴△A1MN为等腰三角形，当Q在MN的中点O时，A1Q⊥MN，此时A1Q最短，当Q位于M，N处时，A1Q最长，A1O＝＝＝，A1M＝A1N＝，∴线段A1Q长度的最大值与最小值之和为＋＝． 15．如图1，直角梯形ABCD中，AB＝CD，AD⊥CD，AB∥CD，将直角梯形ABCD绕AD旋转一周得到如图2的圆台，EF为圆台的母线，M是BC的中点．在线段CF上是否存在点N，使MN∥平面AEFD？说明理由． 解：在线段CF上存在点N，使MN∥平面AEFD． 理由如下：过M作MG⊥CD，垂足为G，过B作BH⊥CD，垂足为H， 因为M为BC的中点，AB＝CD， 所以G为DC上靠近点C的四等分点． 取CF靠近点C的四等分点N，连接GN，MN，则GN∥DF， 又MG∥BH，BH∥AD，所以MG∥AD，而AD⊂平面AEFD，MG⊄平面AEFD，所以MG∥平面AEFD． 同理，GN∥平面AEFD， 又MG∩NG＝G，MG，NG⊂平面MGN，所以平面MGN∥平面AEFD， 又MN⊂平面MGN，所以MN∥平面AEFD， 故在线段CF上存在点N，使MN∥平面AEFD，且＝． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$