8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

8．4．2　空间点、直线、平面之间的位置关系 知识点一　空间中直线与直线的位置关系 1．下列说法中正确的个数是(　　) ①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的连线所在的直线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线． A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，故②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的连线所在的直线，与平面内过该点的直线是相交直线，故③不正确；对于④，如图所示，直线AB，AC分别与两异面直线a，b都相交，但AB，AC却是相交直线，故④不正确．故选B． 2．设三条不同的直线l1，l2，l3满足l1⊥l3，l2⊥l3，则l1与l2(　　) A．是异面直线 B．是相交直线 C．是平行直线 D．可能相交，可能平行，也可能是异面直线 答案：D 解析：构造长方体，令l3为一侧棱，可知D正确．故选D． 知识点二　空间中直线与平面的位置关系 3．若直线l与平面α不平行，则(　　) A．l与α相交 B．l⊂α C．l与α相交或l⊂α D．以上结论都不对 答案：C 解析：直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l⊂α．故选C． 4．若一条直线上有两点在已知平面外，则下列结论正确的是(　　) A．直线上所有的点都在平面外 B．直线上有无数多个点都在平面外 C．直线上有无数多个点都在平面内 D．直线上至少有一个点在平面内 答案：B 解析：一条直线上有两点在已知平面外，则直线与平面平行或相交．相交时有且只有一个点在平面内，故A，C错误；直线与平面平行时，直线上没有一个点在平面内，故D错误．故选B． 知识点三　空间中平面与平面的位置关系 5．已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则(　　) A．过P，Q的平面一定与α，β都相交 B．过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行 C．过P，Q的平面不一定与α，β都平行 D．过P，Q可作无数个平面与α，β都平行 答案：C 解析：当过P，Q的直线与α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除B，D；当过P，Q的直线与α，β都平行时，可以作唯一的一个平面与α，β都平行，排除A．故选C． 6．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是(　　) A．三条交线为异面直线 B．三条交线两两平行 C．三条交线交于一点 D．三条交线两两平行或交于一点 答案：D 解析：三个平面两两相交，有三条交线，则三条交线两两平行或交于一点．如三棱柱的三个侧面两两相交，交线是三棱柱的三条侧棱，这三条侧棱是相互平行的；长方体的三个相邻的表面两两相交，交线交于一点，此点就是长方体的顶点．故选D． 知识点四　空间中线、面位置关系的应用 7．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的关系，并证明你的结论． 解：a∥b，a∥β．证明如下： 由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ， 由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ． ∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b无公共点． 又a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b． ∵α∥β，∴α与β无公共点， 又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β． 8．如图，ABCD－A1B1C1D1是正方体，在图1中，E，F分别是C1D1，BB1的中点，证明图1，图2中有阴影的平面与平面ABCD相交，并作出交线． 解：在图1中，∵A∈平面AEF，A∈平面ABCD， ∴平面AEF与平面ABCD相交． 设N为CD的中点，连接NE，NB， 则EN∥BF，∴B，N，E，F四点共面． ∴EF与NB的延长线相交，设交点为M，连接AM． ∵M∈EF，且M∈NB，EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD， ∴M是平面ABCD与平面AEF的公共点， 又点A是平面ABCD与平面AEF的公共点， ∴AM是平面AEF与平面ABCD的交线． 在图2中，∵B∈平面A1BC1，B∈平面ABCD， ∴平面A1BC1与平面ABCD相交． 延长DC到点M，使CM＝DC，连接BM，C1M，D1C， 则C1M∥D1C∥A1B，∴M在平面A1BC1内． 又M在平面ABCD内， ∴M是平面A1BC1与平面ABCD的公共点， 又B是平面A1BC1与平面ABCD的公共点， ∴BM是平面A1BC1与平面ABCD的交线． 一、单项选择题 1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C与C1B的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交 答案：A 解析：体对角线A1C与面对角线C1B不在同一个平面内，且不平行，故体对角线A1C与面对角线C1B的位置关系一定是异面．故选A． 2．a，b是两条异面直线，A是不在直线a，b上的点，则下列结论成立的是(　　) A．过点A有且只有一个平面同时平行于直线a，b B．过点A至少有一个平面同时平行于直线a，b C．过点A有无数个平面同时平行于直线a，b D．过点A且同时平行于直线a，b的平面可能不存在 答案：D 解析：如图所示，作a1∥a，a1与b相交构成平面α，如果点A在平面α内，则此时过点A且平行于异面直线a，b的平面不存在．故选D． 3．“直线a，b互相平行”的一个充分条件是(　　) A．a，b都平行于同一个平面 B．a，b与同一直线相交，形成的锐角相等 C．a，b都垂直于同一个平面 D．a平行于b所在的平面 答案：C 解析：对于A，若a，b都平行于同一个平面，则a，b平行、相交或异面，故A不符合题意；对于B，若a，b为圆锥的两条母线，它们与底面直径相交形成的锐角相等，但它们是相交直线，即a，b与同一直线相交，形成的锐角相等，不能得出直线a，b互相平行，故B不符合题意；对于C，若a，b都垂直于同一个平面，则a，b互相平行，故C符合题意；对于D，若a平行于b所在平面，则a，b平行或异面，故D不符合题意．故选C． 4．下列说法中，正确的个数是(　　) ①若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行； ②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点； ③若直线a在平面α内，直线b不在平面α内，则a与b没有公共点； ④若直线a与平面α交于点A，则a⊄α． A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：①不正确，因为l∥α，所以直线l与平面α没有公共点，则l与平面α内的直线可能平行，也可能异面；②正确；③不正确，a与b也可能相交，有一个公共点；④正确，直线与平面只有一个交点，则直线与平面相交，直线不在平面内．故选C． 5．(2024·山东菏泽阶段练习)在三棱锥D－ABC中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且EF∥GH，则下列说法中正确的是(　　) A．直线EH与FG一定平行 B．直线EH与FG一定相交 C．直线EH与FG可能异面 D．直线EH与FG一定共面 答案：D 解析：如图1，EF∥HG，所以E，F，G，H四点确定一个平面EFGH，因此直线EH与FG一定共面，故D正确，C错误；如图2，只有当EF∥HG，EF＝HG时，四边形EFGH为平行四边形，此时EH∥FG，故A错误；如图3，只有当EF∥HG但EF≠HG时，四边形EFGH为梯形，此时EH，FG相交于一点，故B错误．故选D． 二、多项选择题 6．(2024·河南焦作开学考试)如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形是(　　) 答案：BD 解析：对于B，D，根据异面直线的判定定理可知，直线GH，MN是异面直线；对于A，由G，M均为棱的中点，可知GH∥MN，则GH与MN共面；对于C，∵G，M均为棱的中点，∴四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交．故选BD． 7．下列四个说法中正确的是(　　) A．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α与β相交，则a，b相交 B．若平面α∩平面β＝直线l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝点P，则P∈l C．若平面α∥平面β，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则a与b平行或异面 D．若平面α∩平面β＝直线b，直线a⊂平面α，则a与β一定相交 答案：BC 解析：易知B，C正确；对于A，a，b也可能平行或异面，故A不正确；对于D，a与β也可能平行，故D不正确．故选BC． 三、填空题 8．在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对． 答案：8 解析：以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8对异面直线． 9．已知直线a，平面α，β，且a∥α，a∥β，则平面α与β的位置关系是________． 答案：平行或相交 解析：借助长方体模型即得． 10．已知下列说法： ①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交； ②若两个平面α∥β，a∥α，则a∥β； ③若两个平面α∥β，a∥α，b∥a，则b∥β． 其中正确说法的序号是________(将你认为正确的序号都填上)． 答案：① 解析：①正确，∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点；②错误，a可能在平面β内；③错误，b可能在平面β内． 四、解答题 11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点，求证：平面ACC1A1与平面BEF相交． 证明：∵在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点， ∴AA1与BE不平行， 则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G， ∴G∈AA1，G∈BE． 又AA1⊂平面ACC1A1，BE⊂平面BEF， ∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF， ∴平面ACC1A1与平面BEF相交． 12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线、平面间的位置关系是什么？ (1)AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系； (2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系； (3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系； (4)平面ABCD与平面CDD1C1的位置关系． 解：(1)因为AM⊂平面ABB1A1，N∈平面ABB1A1，C∉平面ABB1A1，且N∉直线AM， 所以直线AM与CN为异面直线． (2)因为C∈平面ABCD，且N∉平面ABCD，所以CN与平面ABCD相交于点C，即直线CN∩平面ABCD＝C，即直线CN与平面ABCD相交． (3)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可得平面ABB1A1∥平面CDD1C1， 因为AM⊂平面ABB1A1，所以AM∥平面CDD1C1． (4)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可得平面ABCD∩平面CDD1C1＝CD，即两平面相交． 13．[多选](2024·河南安阳阶段练习)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体之后，下列结论正确的是(　　) A．HG∥CD B．CD与EF异面 C．EF与AB异面 D．GH∥AB 答案：AC 解析：根据正方体的展开图画出正方体，如图所示，所以HG∥CD，CD与EF相交，EF与AB异面，GH与AB相交．故选AC． 14．如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是________．(填写所有正确结论的序号) ①A，M，O三点共线；②A，M，O，A1四点共面；③A，O，C，M四点共面；④B，B1，O，M四点共面． 答案：①②③ 解析：对于①，因为AA1∥CC1，所以A，C，C1，A1共面，显然平面AB1D1∩平面ACC1A1＝A，所以平面AB1D1与平面ACC1A1有且只有一条过点A的公共直线，设平面AB1D1与平面ACC1A1的交线为l，注意到O是B1D1的中点，矩形对角线互相平分，故O也是A1C1的中点，即O∈A1C1，A1C1⊂平面ACC1A1，故O∈平面ACC1A1，又O∈B1D1，B1D1⊂平面AB1D1，故O∈平面AB1D1，即O∈l．由M∈A1C，A1C⊂平面ACC1A1，即M∈平面ACC1A1，由题意直接可知，M∈平面AB1D1，故M∈l，故A，M，O三点共线，故①正确；对于②，由直线和直线外一点可确定一个平面，结合①正确可知，A，M，O确定的直线和A1共面，故②正确；对于③，类似②，A，M，O确定的直线和C共面，故③正确；对于④，BB1⊄平面AB1D1，OM⊂平面AB1D1，BB1∩平面AB1D1＝B1，且B1∉OM，根据异面直线的定义，直线BB1与直线OM为异面直线，故B，B1，O，M四点不可能共面，故④错误． 15．如图所示，在四面体A－BCD中，E，F分别是线段AD，BC上的点，＝＝．求证：直线EF与BD是异面直线． 证明：取DC上靠近D的三等分点G，则＝＝，故FG∥BD， ∴F，G，B，D四点共面，显然F，B，D不共线，故平面FDB与平面FGDB为同一个平面， 而E∉平面FDB，F∈平面FDB，即EF∩平面FDB＝F，BD⊂平面FDB，F∉BD， ∴直线EF与BD是异面直线． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$