7.1.2 复数的几何意义-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

7．1．2　复数的几何意义 知识点一　复数与复平面内点的对应 1．复数i2－3i在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：复数i2－3i，即－1－3i在复平面内对应的点的坐标为(－1，－3)，位于第三象限．故选C． 2．(2024·江西南昌模拟)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________． 答案：2＋4i 解析：由题意得A(6，5)，B(－2，3)，∵C为线段AB的中点，∴C(2，4)，则点C对应的复数为2＋4i． 3．实数a取什么值或范围时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点满足下列条件？ (1)位于第二象限； (2)位于直线y＝x上． 解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点为Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)． (1)由点Z位于第二象限，得 解得－2<a<1． 故满足条件的实数a的取值范围为(－2，1)． (2)由点Z位于直线y＝x上，得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1． 故满足条件的实数a的值为1． 知识点二　复数与复平面内向量的对应 4．在复平面内，O是坐标原点，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是5＋4i，则＋对应的复数是(　　) A．10 B．10－8i C．0 D．10＋8i 答案：A 解析：因为向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是5＋4i，所以＝(5，－4)，＝(5，4)，所以＋＝(5，－4)＋(5，4)＝(10，0)，所以＋对应的复数是10．故选A． 5．在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，若⊥，则a＝________． 答案： 解析：因为z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，所以＝(4，3)，＝(2a，－3)．因为⊥，所以8a＝9，即a＝． 知识点三　复数的模与共轭复数 6．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是(　　) A．z1>z2 B．z1<z2 C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2| 答案：D 解析：复数不能比较大小，排除A，B；|z1|＝，|z2|＝，∴|z1|<|z2|．故选D． 7．[多选]设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是(　　) A．|z|＝ B．复数z在复平面内对应的点在第四象限 C．z的共轭复数为－1＋2i D．复数z在复平面内对应的向量＝(－1，2) 答案：AC 解析：|z|＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的向量＝(－1，－2)，D不正确．故选AC． 8．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且||≤2，则实数m的取值范围是________． 答案： 解析：||＝|z|＝≤2，解得－≤m≤． 知识点四　复数的几何意义的应用 9．设z∈C，则满足条件|z|＝|5－12i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？其面积是多少？ 解：由|z|＝|5－12i|得|z|＝13． 这表明向量(O为坐标原点)的长度等于13，即点Z到原点的距离等于13． 因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，13为半径的圆，其面积为πr2＝169π． 一、单项选择题 1．(2024·安徽淮北期中)在复平面内，复数z＝i2＋i，则对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：因为z＝i2＋i＝－1＋i，所以＝－1－i，所以在复平面内对应的点为(－1，－1)，位于第三象限．故选C． 2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－3，1) B．(－1，3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 答案：A 解析：由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1．故选A． 3．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　) A．(1，) B．(1，) C．(1，3) D．(1，5) 答案：B 解析：|z|＝．∵0＜a＜2，∴0＜a2＜4，∴1＜＜，即1＜|z|＜．故选B． 4．在复平面内，O是坐标原点，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为(　　) A．1＋i，1＋i B．2＋i，2＋i C．1＋i，2＋i D．2＋i，1＋i 答案：C 解析：∵表示复数1＋i，∴A(1，1)，将向右平移一个单位，得对应的复数为1＋i，A′(2，1)，∴点A′对应的复数为2＋i．故选C． 5．(2024·荔湾区校级期中)若复数3－5i，1－i和－2＋ai在复平面内对应的点在同一条直线上，则实数a的值为(　　) A．5 B．－2 C．－5 D． 答案：A 解析：设复数3－5i，1－i，－2＋ai对应的向量分别为，，(O为坐标原点)，则＝(3，－5)，＝(1，－1)，＝(－2，a)，∵A，B，C三点共线，∴＝t＋(1－t)，即(3，－5)＝t(1，－1)＋(1－t)(－2，a)，∴解得即实数a的值为5． 二、多项选择题 6．(2024·河南商丘期中)已知复数z＝m2－1＋(m＋1)i(m∈R)，则下列命题正确的是(　　) A．若z为纯虚数，则m＝1 B．若z为实数，则z＝0 C．若z在复平面内对应的点在直线y＝2x上，则m＝ D．z在复平面内对应的点可能在第三象限 答案：AB 解析：对于A，若z为纯虚数，则解得m＝1，故A正确；对于B，若z为实数，则m＋1＝0，所以m＝－1，此时z＝0，故B正确；对于C，z在复平面内对应的点为(m2－1，m＋1)，所以m＋1＝2(m2－1)，即2m2－m－3＝0，解得m＝－1或m＝，故C错误；对于D，若z在复平面内对应的点在第三象限，则无解，所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D错误．故选AB． 7．已知复数z＝1＋cos2θ＋isin2θ(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是(　　) A．复数z在复平面内对应的点可能落在第一象限 B．复数z在复平面内对应的点可能落在实轴上 C．|z|＝2cosθ D．＝－2cos2θ－isin2θ 答案：ABC 解析：z＝1＋cos2θ＋isin2θ＝2cos2θ＋2isinθ·cosθ，∵－<θ<，∴cosθ∈(0，1]，sinθ∈(－1，1)，∴复数z在复平面内对应的点可能落在第一象限内、实轴上或第四象限内，A，B正确；|z|＝＝2|cosθ|＝2cosθ，C正确；＝1＋cos2θ－isin2θ＝2cos2θ－isin2θ，D错误．故选ABC． 三、填空题 8．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为3－4i，若点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为________． 答案：3＋4i 解析：∵点B的坐标为(3，－4)，∴点A的坐标为(－3，4)，∴点C的坐标为(3，4)，∴向量对应的复数为3＋4i． 9．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模的取值范围为________． 答案：(0，2) 解析：|z|＝＝，∵π<α<2π，∴－1<cosα<1，∴0<2＋2cosα<4，∴|z|∈(0，2)． 10．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝a＋2＋(1－2a)i在复平面内对应的点为M，则“a>”是“点M在第四象限”的________(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)． 答案：充要条件 解析：由题意得，在复平面内，点M的坐标为(a＋2，1－2a)，当a>时，a＋2>>0，1－2a<0，所以点M在第四象限；当点M在第四象限时，则解得a>．故“a>”是“点M在第四象限”的充要条件． 四、解答题 11．求当实数m为何实数时，复平面内表示复数z＝(1－m)＋(4－m2)i的点位于：(1)虚轴上； (2)第二象限；(3)直线3x－y＋1＝0上． 解：∵m为实数，∴1－m，4－m2都是实数， ∴复数z＝(1－m)＋(4－m2)i在复平面内对应的点的坐标为(1－m，4－m2)． (1)复数z对应的点位于虚轴上，则1－m＝0，解得m＝1． (2)复数z对应的点位于第二象限， 则∴故1＜m＜2． (3)复数z对应的点位于直线3x－y＋1＝0上， 则3(1－m)－(4－m2)＋1＝0，解得m＝0或m＝3． 12．设z＝x＋yi(x，y∈R)，若2≤|z|≤3，判断复数ω＝x＋2y＋(2x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积． 解：|ω|＝ ＝＝|z|， 而2≤|z|≤3，故2≤|ω|≤3． 所以ω的对应点的集合是以原点为圆心，半径为2和3的两圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[(3)2－(2)2]＝25π． 13．[多选](2024·湖北荆州期中)已知复数z1＝1－i，z2＝2－i，z3＝2＋2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，且O为复平面内的原点，则(　　) A．z1在复平面内对应的点位于第二象限 B．|z3|＝2 C．OA⊥OC D．以|OA|，|OB|，|OC|为三边长的三角形为钝角三角形 答案：BCD 解析：对于A，因为z1＝1－i，所以z1在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限，故A错误；对于B，因为z3＝2＋2i，所以|z3|＝＝2，故B正确；对于C，因为＝(1，－1)，＝(2，2)，所以·＝0，所以OA⊥OC，故C正确；对于D，由已知可得|OA|＝|z1|＝，|OB|＝|z2|＝，|OC|＝|z3|＝2，且|OA|2＋|OB|2＝7<8＝|OC|2，所以|OA|2＋|OB|2－|OC|2<0，故D正确．故选BCD． 14．若x∈R，则|2－cosx－(1＋sinx)i|的最小值为________． 答案：－1 解析：|2－cosx－(1＋sinx)i| ＝ ＝ ＝ ＝，设cosθ＝，sinθ＝，则|2－cosx－(1＋sinx)i|＝≥＝－1，当且仅当sin(x－θ)＝－1时，等号成立，此时sinx＝－，cosx＝，所以|2－cosx－(1＋sinx)i|的最小值为－1． 15．(2024·江苏南通期中)已知复数z1＝＋isinβ在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，复数z2＝cos(α＋β)＋i<0． (1)求sinβ，cos(α＋β)的值； (2)求cos(α＋2β)，sinα的值． 解：(1)因为复数z1＝＋isinβ在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上， 所以 可得cosβ＝－，sinβ＝＝． 又因为复数z2＝cos(α＋β)＋i<0， 所以可得sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝－＝－． (2)由(1)可知cosβ＝－，sinβ＝，sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝－， 所以cos(α＋2β)＝cos[(α＋β)＋β]＝cos(α＋β)cosβ－sin(α＋β)sinβ＝－， sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$