7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

7．1．1　数系的扩充和复数的概念 知识点一　复数的概念 1．下列命题中正确的是(　　) A．0是实数不是复数 B．实数集与复数集的交集是实数集 C．复数集与虚数集的交集是空集 D．若实数a与ai对应，则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应 答案：B 解析：对于A，0是实数也是复数，故A不正确；对于B，实数集与复数集的交集是实数集，故B正确；对于C，复数集与虚数集的交集是虚数集，故C不正确；对于D，当a＝0时，ai＝0，所以实数0在纯虚数集中没有对应元素，故D不正确．故选B． 2．(1＋)i的实部与虚部分别是(　　) A．1， B．1＋，0 C．0，1＋ D．0，(1＋)i 答案：C 解析：(1＋)i的实部为0，虚部为1＋．故选C． 知识点二　复数的分类 3．已知a，b∈R，则“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：若a＝b＝0，则(a－b)＋(a＋b)i不是纯虚数；若(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，则即a＝b且a≠－b．故“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的必要不充分条件．故选C． 4．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋m－12)i，当m为何值时，复数z满足下列条件？ (1)z为实数； (2)z为虚数； (3)z为纯虚数． 解：(1)要使z为实数，m需满足m2＋m－12＝0，且有意义，即m－3≠0，解得m＝－4． (2)要使z为虚数，m需满足m2＋m－12≠0，且有意义，即m－3≠0，解得m≠3且m≠－4． (3)要使z为纯虚数，m需满足＝0，且m2＋m－12≠0，解得m＝0或m＝－1． 知识点三　复数相等 5．下列说法中正确的个数是(　　) ①如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等；②复数a＋i与b＋3i(a，b∈R)不可能相等；③虚数1＋2ai与1＋3ai(a∈R)不可能相等． A．0 B．1 C．2 D．3 答案：D 解析：两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等，①正确；②中两个复数的虚部不相等，又a，b∈R，所以这两个复数不可能相等，②正确；1＋2ai与1＋3ai(a∈R)均为虚数，所以a≠0，所以1＋2ai与1＋3ai(a∈R)不可能相等，③正确．故选D． 6．已知复数z1＝(a＋2b)＋(a－b)i，z2＝－4b＋(2a＋1)i(a，b∈R)，当z1＝z2时，a＋b＝________． 答案：－1 解析：依题意，得解得所以a＋b＝－＋＝－1． 7．已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a＝________，b＝________． 答案：1　2 解析：设(x0，y0)是方程组的实数解． 由已知及复数相等，得 由①②得代入③④，得 8．求满足下列条件的实数x，y的值： (1)xi－i2＝y＋2i； (2)(x2＋y2)＋2xyi＝6－6i； (3)(2x－1)－(3－y)i＝0． 解：(1)由i2＝－1可得xi＋1＝y＋2i，根据复数相等的充要条件可得 (2)根据复数相等的充要条件可得 解得或 (3)由于0＝0＋0i，则根据复数相等的充要条件可得解得 一、单项选择题 1．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则(　　) A．M∪R＝I B．(∁IM)∪R＝I C．(∁IM)∩R＝R D．M∩(∁IR)＝∅ 答案：C 解析：根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示，所以M∪RI，(∁IM)∪R＝∁IM，M∩(∁IR)＝M，故A，B，D均错误．故选C． 2．已知a∈R，则“a＝－1”是“a2－1＋(a－2)i为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：当a2－1＋(a－2)i为纯虚数时，有解得a＝±1，故“a＝－1”是“a2－1＋(a－2)i为纯虚数”的充分不必要条件．故选A． 3．以－＋2i的虚部为实部，i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　) A．2－2i B．－＋i C．2＋i D．＋i 答案：A 解析：因为－＋2i的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i的实部为－2，所以新复数的实部为2，虚部为－2，即2－2i．故选A． 4．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi为(　　) A．－1＋2i B．－1－2i C．1－2i D．1＋2i 答案：D 解析：∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，∴解得∴复数x＋yi＝1＋2i．故选D． 5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1＞z2，则a的值为(　　) A．0 B．－1 C．－ D． 答案：A 解析：由z1＞z2，得即解得a＝0．故选A． 二、多项选择题 6．若sin2θ－1＋(cosθ＋1)i是纯虚数，则θ的值可以为(　　) A．－ B． C． D． 答案：BC 解析：由得(k∈Z)，所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．故选BC． 7．复数z满足z＝a＋bi(a，b∈R)且3a－bi＝9＋4i，则(　　) A．z＝3＋4i B．z＝3－4i C．z的虚部为－4 D．z的实部为－3 答案：BC 解析：因为3a－bi＝9＋4i，所以解得所以z＝3－4i，其虚部为－4，实部为3．故选BC． 三、填空题 8．给出下列复数：①－2i，②3＋，③8i2，④isinπ，⑤4＋i．其中表示实数的是________(填序号)． 答案：②③④ 解析：②显然为实数；③8i2＝－8为实数；④isinπ＝0为实数． 9．已知(1＋i)m2＋(7－5i)m＋10－14i＝0，则实数m＝________． 答案：－2 解析：把原式整理得，(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，∵m∈R，∴解得m＝－2． 10．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，且z1＝z2，则λ的取值范围为________． 答案： 解析：由z1＝z2，得消去m，得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4－．由于－1≤sinθ≤1，故－≤λ≤7． 四、解答题 11．(2024·重庆月考)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实数a的值． 解：设方程的实根为x＝m， 则3m2－m－1＝(10－m－2m2)i， 所以 解得或 故实数a的值为11或－． 12．求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6． (1)复数z是实数的充要条件是 即 即m＝－2． ∴当m＝－2时，复数z为实数． (2)复数z是虚数的充要条件是 即m≠－3且m≠－2． ∴当m≠－3且m≠－2时，复数z为虚数． (3)复数z是纯虚数的充要条件是 即 即m＝3． ∴当m＝3时，复数z为纯虚数． 13．[多选]下列命题中不正确的是(　　) A．若z＝a＋bi，a，b∈R，则仅当b≠0时z为纯虚数 B．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 C．若a∈R，则ai为纯虚数 D．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0 答案：ABC 解析：对于A，当a＝0且b≠0时，z为纯虚数，故A不正确；对于B，当实部等于零，虚部不等于零时才是纯虚数，故B不正确；对于C，当a≠0时，ai为纯虚数，故C不正确；对于D，z∈R，则a＋|a|＝0，所以a≤0，故D正确．故选ABC． 14．已知x，y，θ为实数，且x＋yi＝1＋5cosθ＋(－1＋5sinθ)i，则x2＋y2的最大值为________． 答案：27＋10 解析：因为x＋yi＝1＋5cosθ＋(－1＋5sinθ)i，所以x2＋y2＝(1＋5cosθ)2＋(－1＋5sinθ)2＝27＋10(cosθ－sinθ)＝27＋10cos，又－1≤cos≤1，所以(x2＋y2)max＝27＋10． 15．若实数m，n满足log2(1＋m)＋[log(3－m)]i>log2(n＋2)＋[log2(n2－3n－3)]i，求实数m，n． 解：由log2(1＋m)＋[log(3－m)]i>log2(n＋2)＋[log2(n2－3n－3)]i， 可知复数log2(1＋m)＋[log(3－m)]i与复数log2(n＋2)＋[log2(n2－3n－3)]i均为实数， 所以 解得或 当时，两复数为log23和log21＝0，满足log2(1＋m)＋[log(3－m)]i>log2(n＋2)＋[log2(n2－3n－3)]i； 当时，两复数为log23和log26，log26>log23， 不满足log2(1＋m)＋[log(3－m)]i>log2(n＋2)＋[log2(n2－3n－3)]i． 综上所述，m＝2，n＝－1． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$