6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理的综合应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

第4课时　余弦定理、正弦定理的综合应用 知识点一　三角形的面积问题 1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为(　　) A． B． C． D．2 答案：C 解析：将c2＝a2＋b2－2abcosC与(a＋b)2－c2＝4联立，解得ab＝4，则S△ABC＝absinC＝．故选C． 2．已知半径R为4的圆的内接三角形ABC的面积S是，△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则abc的值为(　　) A．1 B． C．2 D．4 答案：A 解析：由三角形的面积公式S＝absinC＝，得absinC＝．由正弦定理可知＝2R＝8，∴sinC＝c，∴abc＝1．故选A． 3．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝________． 答案： 解析：由三角形的面积公式，得S＝AB·BCsinB＝．又AB＝1，BC＝，∴sinB＝．∵B∈(0，π)，∴B＝或B＝．由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，当B＝时，得AC＝1，这时不符合钝角三角形的要求，故舍去；当B＝时，得AC＝． 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，b＝2，sinA＋sinB＝． (1)求sinB的值； (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积． 解：(1)由正弦定理，sinA＋sinB＝可化为＋＝(R为△ABC外接圆的半径)， 解得2R＝，则sinB＝＝＝． (2)因为△ABC为锐角三角形， 所以cosB＝＝． 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB， 得c2－12c＋5＝0，解得c＝或c＝． 当c＝时，a2>b2＋c2，此时A为钝角，舍去； 当c＝时，a>c且a2<b2＋c2， 所以此时△ABC为锐角三角形． 所以c＝，则△ABC的面积S＝acsinB＝×3××＝． 知识点二　余弦定理、正弦定理在几何图形中的应用 5．如图所示的平面四边形ABCD内接于圆O，内角B>D，对角线AC的长为7，圆O的半径为． (1)若BC＝5，AD＝CD，求四边形ABCD的面积； (2)求△ABC周长的最大值． 解：(1)如图所示，连接OA，OC， 在△AOC中，OA＝OC＝，AC＝7， ∴cos∠AOC＝ ＝＝－， ∵0<∠AOC<π，∴∠AOC＝， 则∠ADC＝， ∵AD＝CD，∴△ACD为等边三角形， ∴S△ACD＝AC2·sin＝×49×＝， ∵∠ABC＋∠ADC＝π，∴∠ABC＝， 在△ABC中，AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcos， 即49＝25＋AB2＋5AB， 又AB>0，∴AB＝3， ∴S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝×3×5×＝， ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝16． (2)设BC＝a，AB＝c， 则在△ABC中，∠ABC＝，AC＝7， 则＝－，即a2＋c2＋ac＝49， 故(a＋c)2＝49＋ac， ∵a>0，c>0，∴ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立， ∴(a＋c)2＝49＋ac≤49＋，当且仅当a＝c时，等号成立， ∴(a＋c)2≤49，则(a＋c)2≤， ∵a＋c>0，故a＋c≤，当且仅当a＝c时，等号成立， ∴a＋c＋AC≤＋7，即△ABC周长的最大值为＋7． 知识点三　余弦定理、正弦定理与三角函数的综合 6．在锐角三角形ABC中，a＝2，________． (1)求角A； (2)求△ABC的周长l的取值范围． 在①m＝，n＝，且m·n＝－；②(2b－c)cosA＝acosC；③f(x)＝cosxcos－，f(A)＝这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并解答． 解：(1)若选①，∵m＝， n＝，且m·n＝－， ∴m·n＝－cos2＋sin2＝－， ∴cosA＝．∵A∈，∴A＝． 若选②，∵(2b－c)cosA＝acosC， ∴2bcosA＝acosC＋ccosA． 由正弦定理，得2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sinB， 又sinB≠0，∴2cosA＝1，即cosA＝． ∵A∈，∴A＝． 若选③，f(x)＝cosx－＝cos2x＋cosxsinx－＝×＋×－＝＝sin， ∵f(A)＝，∴sin＝． ∵A∈，∴A＝． (2)∵＝4， ∴l＝4sin＋4sinB＋2， ∴l＝4sin＋2． ∵△ABC为锐角三角形，且A＝， ∴B∈， ∴B＋∈，∴<sin≤1， ∴l∈(6＋2，6]． 一、单项选择题 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝8，c＝5，且S△ABC＝10，则A＝(　　) A．30° B．90° C．150° D．30°或150° 答案：D 解析：由题意可知bcsinA＝10，因为b＝8，c＝5，所以sinA＝，所以A＝30°或150°．故选D． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，且bsinA＝sinB，则△ABC面积的最大值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由bsinA＝sinB，得ba＝b，∴a＝，在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得3＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c＝时取等号，则S△ABC＝bcsinA≤．故选C． 3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若＝，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 答案：D 解析：＝⇒(a2－b2)sin(A＋B)－(a2＋b2)sin(A－B)＝0⇒a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]－b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝0⇒2a2cosAsinB－2b2sinAcosB＝0⇒2sin2A·cosAsinB－2sin2BsinAcosB＝0，因为sinAsinB≠0，所以2sinAcosA＝2sinBcosB，即sin2A＝sin2B．由于A，B∈(0，π)，因此由sin2A＝sin2B⇒2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B或A＋B＝．因此△ABC是直角三角形或等腰三角形．故选D． 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积．若ccosB＋bcosC＝asinA，S＝(b2＋a2－c2)，则B＝(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 答案：D 解析：由ccosB＋bcosC＝asinA及正弦定理得sinCcosB＋sinBcosC＝sin2A，则sin(C＋B)＝sin2A，即sinA＝sin2A．又sinA≠0，所以sinA＝1．又因为0°<A<180°，所以A＝90°．由余弦定理、三角形面积公式及S＝(b2＋a2－c2)，得absinC＝·2abcosC，整理得tanC＝，又0°<C<90°，所以C＝60°，故B＝30°．故选D． 5．(2024·重庆南岸阶段练习)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝4cosC，则＋的值是(　　) A．2 B． C．4 D． 答案：A 解析：已知＋＝4cosC，由余弦定理，得＝4×，所以a2＋b2＝2c2，＋＝＋＝·＝·＝＝＝＝×＝＝2．故选A． 二、多项选择题 6．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题正确的是(　　) A．若a＝，b＝2，c＝3，则·＝ B．若△ABC为锐角三角形，则sinA＋sinB>cosA＋cosB C．若sin2A＋sin2B＋cos2C>1，则△ABC为锐角三角形 D．若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC是等边三角形 答案：BD 解析：对于A，由余弦定理，知cosA＝＝＝，∴·＝cbcos(π－A)＝3×2×＝－，故A错误；对于B，由题意得A＋B>，则0<－B<A<，0<－A<B<，∴0<sin<sinA<1，0<sin<sinB<1，即0<cosB<sinA<1，0<cosA<sinB<1，∴sinA＋sinB>cosA＋cosB，故B正确；对于C，∵sin2A＋sin2B＋cos2C>1，∴sin2A＋sin2B>1－cos2C＝sin2C，结合正弦定理，得a2＋b2>c2，由余弦定理，知cosC＝>0，∵C∈(0，π)，∴C为锐角，但无法确定A和B的大小，故C错误；对于D，∵A，B，C∈(0，π)，∴A－B∈(－π，π)，B－C∈(－π，π)，C－A∈(－π，π)，可得cos(A－B)∈(－1，1]，cos(B－C)∈(－1，1]，cos(C－A)∈(－1，1]，若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则cos(A－B)＝1，cos(B－C)＝1，cos(C－A)＝1，可得A－B＝0，B－C＝0，C－A＝0，即A＝B＝C，则△ABC是等边三角形，故D正确．故选BD． 7．(2024·山东潍坊期末)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形DEF拼成的一个大等边三角形ABC，则(　　) A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B．若AB＝DF，则BD＝DE C．若AF＝3，sin∠CAF＝，则EF＝2 D．若DE＝BE，则△ABC的面积是△DEF面积的19倍 答案：BCD 解析：对于A，若三个全等的钝角三角形是等腰三角形，则AF＝CF＝BE＝CE＝AD＝BD，从而F，E，D三点重合，不符合题意，故A错误；对于B，在△ABD中，不妨设AB＝DF＝t，由余弦定理，得AB2＝BD2＋(BD＋t)2－2BD·(BD＋t)cos120°，7t2＝BD2＋(BD＋t)2＋BD·(BD＋t)，解得BD＝t，所以BD＝DE，故B正确；对于C，在△ACF中，sin∠CAF＝，而∠AFC＝120°，所以cos∠CAF＝＝，sin∠ACF＝sin(60°－∠CAF)＝sin60°cos∠CAF－cos60°sin∠CAF＝，由正弦定理，得＝，解得CF＝5，又因为AF＝EC＝3，所以EF＝CF－EC＝2，故C正确；对于D，若DE＝BE，设DE＝BE＝m，BE＝AD＝3m，BD＝2m，在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos120°＝19m2，S△ABC＝AB·BCsin60°＝19m2×，S△DEF＝DF·DEsin60°＝m2×，所以S△ABC＝19S△DEF，故D正确．故选BCD． 三、填空题 8．在△ABC中，B＝，AB＝，BC＝3，则sinA的值为________． 答案： 解析：由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos＝2＋9－2××3×＝5，所以AC＝．由正弦定理，得＝，所以sinA＝＝＝． 9．若三角形的一条边长度为14，这条边所对的角为60°，另外两条边长度之比为8∶5，则这个三角形的面积是________． 答案：40 解析：设另外两条边长度分别为8x，5x(x>0)，则cos60°＝，解得x＝2或x＝－2(舍去)，所以另外两条边长度分别是16，10．所以这个三角形的面积S＝×16×10×sin60°＝40． 10．如图所示平面四边形ABCD中，已知B＋D＝180°，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝2，则四边形ABCD的面积为________． 答案：4＋4 解析：连接AC，如图所示．在△ABC与△ADC中分别使用余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD．因为B＋D＝180°，所以cosD＝cos(180°－B)＝－cosB，因此22＋(4)2－2×2×4cosB＝(2)2＋42＋2×2×4cosB，解得cosB＝0，因此cosD＝0，则B＝D＝90°．从而可知四边形ABCD的面积为×2×4＋×4×2＝4＋4． 四、解答题 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosB＋bcosC＝3acosB． (1)求cosB的值； (2)若c＝2，△ABC的面积为2，求b的值． 解：(1)在△ABC中，由正弦定理及ccosB＋bcosC＝3acosB， 得sinCcosB＋sinBcosC＝3sinAcosB， ∴sin(C＋B)＝3sinAcosB． 又sin(C＋B)＝sinA，∴sinA＝3sinAcosB． ∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴cosB＝． (2)∵角B是△ABC的内角， ∴sinB>0，sinB＝＝． 又S△ABC＝acsinB，∴a×2×＝2，解得a＝3． 在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝32＋22－2×3×2×＝9， ∴b＝3． 12．(2024·河北石家庄高一质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，csin＝asinC． (1)求角A的大小； (2)在①sinB＝，②a＋c＝7这两个条件中任选一个，求△ABC的面积． 解：(1)因为csin＝asinC， 所以sinCsin＝sinAsinC， 即sinCsin＝sinAsinC， 即sinCcos＝2sincossinC． 因为0<C<π，0<A<π，所以sinC>0，0<<， 所以cos>0，所以sin＝，所以＝，A＝． (2)选①sinB＝，由正弦定理＝， 得＝，所以a＝． 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA， 得7＝4＋c2－2c， 解得c＝3或c＝－1(舍去)， 所以S△ABC＝bcsinA＝×2×3×＝． 选②a＋c＝7， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA， 得(7－c)2＝4＋c2－2c，解得c＝， 所以S△ABC＝bcsinA＝×2××＝． 13．[多选](2024·湖北期末)著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，且AB＝6，AC＝4，下列结论正确的是(　　) A．·＝－ B．·＝10 C．＝＋＋ D．若||＝2，则·＝－ 答案：ACD 解析：对于A，由△ABC的重心为G，有＝(＋)，且AB＝6，AC＝4，故·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝－，故A正确；对于B，由△ABC的外心为O，有·＝·(－)＝||||cos∠OAC－||||cos∠OAB＝(2－2)＝－10，故B错误；对于C，由欧拉线定理得2＝，即＝3，又＋＋＝0，所以＝3＋＋＋＝＋＋，故C正确；对于D，因为AB＝6，AC＝4，||＝2，所以由余弦定理得cosA＝＝＝，又0<A<π，所以A＝，如图，∠BOC＝，设△ABC外接圆的半径为R．由正弦定理得2R＝＝＝，所以R＝OB＝OC＝，则·＝||||cos∠BOC＝－，故D正确．故选ACD． 14．(2024·天津南开阶段练习)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝3，且满足＝，则的取值范围为________． 答案： 解析：由＝，得－sin2C＝sin2A－sin2B，由正弦定理，得＝a2＋c2－b2，由余弦定理，得cosB＝·，又△ABC为锐角三角形，所以cosB≠0，则sinB＝，即B＝，由正弦定理，得＝＝＝＝2，所以a＝2sinA，c＝2sinC，所以a＋c＝2sinA＋2sinC＝2sinA＋2sin＝2·＝2＝6＝6sin，因为△ABC为锐角三角形，所以即解得A∈，所以A＋∈，则6sin∈(3，6]，所以∈，即∈，所以∈． 15．(2024·江苏无锡阶段练习)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD·sin∠ADC＝2CD·sin∠ABC． (1)求证：BC＝2CD； (2)若AB＝3CD＝3，且∠BDC＝60°，求四边形ABCD的面积． 解：(1)证明：在△ACD中，由正弦定理得 AD·sin∠ADC＝AC·sin∠ACD， 因为AB∥CD，所以∠ACD＝∠CAB， 所以AD·sin∠ADC＝AC·sin∠CAB， 在△ABC中， 由正弦定理得AC·sin∠CAB＝BC·sin∠ABC， 所以AD·sin∠ADC＝BC·sin∠ABC． 又AD·sin∠ADC＝2CD·sin∠ABC， 所以BC·sin∠ABC＝2CD·sin∠ABC， 所以BC＝2CD． (2)因为AB＝3CD＝3，所以CD＝1， 由(1)知BC＝2CD＝2， 因为∠BDC＝60°，则在△BCD中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC， 即22＝BD2＋12－2BD×， 又BD>0，解得BD＝， 此时四边形ABCD的面积 S＝(AB＋CD)×BD×sin60°＝×(3＋1)××＝． 12 学科网（北京）股份有限公司 $$