6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 知识点一　测量距离问题 1．两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离分别为a n mile，2a n mile，灯塔A在观测站的北偏东35°的方向上，灯塔B在观测站的南偏东25°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　) A．3a n mile B．a n mile C．a n mile D．a n mile 答案：B 解析：由题可知，∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理，得AB＝＝a(n mile)．故选B． 2．一船在海面A处望见两灯塔P，Q在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达B处，望见灯塔P在正西方向，灯塔Q在西北方向，则两灯塔的距离为________海里． 答案：12－4 解析：如图，在△ABP中，AB＝4，∠ABP＝45°，∠BAP＝60°，∴∠APB＝75°．∴PA＝＝＝4(－1)．又在△ABQ中，∠ABQ＝45°＋45°＝90°，∠PAB＝60°，∴AQ＝2AB＝8．于是PQ＝AQ－PA＝12－4，∴两灯塔的距离为(12－4)海里． 3．太湖中有一小岛，沿太湖有一条南北方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km． 答案： 解析：如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km．由正弦定理得＝，∴BC＝·sin15°＝(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BCsin75°＝×＝(km)． 知识点二　测量高度问题 4．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000 m到达点S，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　) A．500 m B．200 m C．1000 m D．1000 m 答案：D 解析：由题意，得∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°．在△ABS中，∠ASB＝180°－30°－15°＝135°，AB＝＝＝1000(m)，∴BC＝ABsin45°＝1000×＝1000(m)．故选D． 5．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________． 答案：20 m， m 解析：如图所示，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以h甲＝AB＝20·＝20(m)．在△AEC中，由正弦定理得＝，EC＝(m)，所以h乙＝CD＝ED－EC＝AB－EC＝(m)． 6．如图，某人在塔AB的正东方向上的C处，在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向步行1 min后到达D处，速度的大小为6 km/h，在D处望见塔的底端B在东北方向上．已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°． (1)该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了多长时间？ (2)求塔高． 解：(1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝100 m，D＝180°－135°－30°＝15°， 由正弦定理，得BC＝＝＝＝50(－1)(m)． 在Rt△ABE中，tanα＝， ∵AB为定长， ∴当BE的长最小时，α取最大值60°，此时BE⊥CD． 当BE⊥CD时，在Rt△BEC中， EC＝BCcos∠BCE＝50(－1)×＝25(3－)(m)． 设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t min， 则t＝＝＝(min)． (2)由(1)知，当α取得最大值60°时，BE⊥CD． 在Rt△BEC中，BE＝BCsin∠BCE＝50(－1)×＝25(－1)(m)， ∴在Rt△ABE中，AB＝BEtan60°＝25(－1)×＝25(3－)(m)， 即所求塔高为25(3－) m． 知识点三　测量角度问题 7．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是a n mile/h，甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇． 答案：北偏东30° 解析：如图，设经过t h两船在C处相遇，则在△ABC中，BC＝at n mile，AC＝at n mile，B＝180°－60°＝120°，由＝，得sin∠CAB＝＝＝．∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°．即甲船应沿着北偏东30°方向前进，才能最快与乙船相遇． 8．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向，即沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值． 解：连接BC．在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝2800，∴BC＝20海里． 由正弦定理＝， 得sin∠ACB＝sin∠BAC＝． ∵∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角， ∴cos∠ACB＝． ∴cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝×－×＝． 一、单项选择题 1．某人向正东方向走了x km后，向右转150°，然后朝新方向走了3 km，结果他恰好离出发地 km，那么x的值为(　　) A． B．2 C．或2 D．5 答案：C 解析：由题意及余弦定理，得()2＝32＋x2－2×3xcos30°，解得x＝或2．故选C． 2．如图，货轮在海上沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，速度的大小为40 km/h，为了确定货轮的位置，货轮在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行 h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是(　　) A．10 km B．10 km C．15 km D．15 km 答案：B 解析：在△ABC中，BC＝40×＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A＝180°－(30°＋105°)＝45°．由正弦定理得，AC＝＝＝10(km)．故选B． 3．如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18 km，速度为1000 km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1 min后到达B点处看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(精确到0．1 km，参考数据：≈1．732)(　　) A．11．4 km B．6．6 km C．6．5 km D．5．6 km 答案：B 解析：∵AB＝1000×＝(km)，∠ACB＝180°－30°－(180°－75°)＝45°，∴BC＝·sin30°＝(km)．∴航线离山顶的距离为×sin75°＝×sin(45°＋30°)≈11．4(km)．∴山顶的海拔为18－11．4＝6．6(km)．故选B． 4．某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长(　　) A．100 m B．100 m C．50(＋) m D．200 m 答案：A 解析：如图，由条件知，AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°cos30°＋cos45°·sin30°)＝25(＋)(m)，CD＝100cos75°＝25(－)(m)，BD＝·sin60°＝25(3＋)(m)．所以BC＝BD－CD＝25(3＋)－25(－)＝100(m)．故选A． 5．(2024·重庆期末)某工业园区有A，B，C 3个厂区，其中AB＝6 km，BC＝3 km，∠ABC＝90°，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若∠APB＝90°，则CP的最大值为(　　) A．6 km B．3 km C．6＋3 km D．6 km 答案：C 解析：设∠ABP＝θ(0°<θ<90°)，则∠PBC＝90°＋θ，在△BAP中，BP＝6cosθ，在△PBC中，CP2＝BP2＋BC2－2BP·BCcos∠PBC＝108cos2θ＋18sin2θ＋9＝63＋36sin(2θ＋60°)，所以当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°时，(CP2)max＝63＋36，(CP)max＝6＋3，所以CP的最大值为6＋3 km．故选C． 二、多项选择题 6．海上一艘轮船向正东方向航行，速度的大小为60 n mile/h．在A处测得小岛C在北偏西30°的方向上，小岛D在北偏东30°的方向上，航行20 min后到达B处测得小岛C在北偏西60°的方向上，小岛D在北偏西15°的方向上，则下列说法正确的是(　　) A．B，C之间的距离为20 n mile B．轮船从B处航行至小岛D需 h C．C，D之间的距离与B，D之间的距离相等 D．A，D之间的距离为20(＋) n mile 答案：BC 解析：在△ABC中，由题意得∠CAB＝120°，∠ABC＝30°，∠BCA＝30°，AB＝60×＝20(n mile)．由正弦定理＝，得BC＝＝＝20(n mile)，故A不正确；在△ABD中，∠DAB＝60°，∠ABD＝75°，∠ADB＝45°．由正弦定理＝，得BD＝＝＝10(n mile)，＝ h，故B正确；在△BCD中，由余弦定理得CD2＝(10)2＋(20)2－2×10×20×cos45°＝600，解得CD＝10 n mile，BD＝CD，故C正确；在△ABD中，BD＝10 n mile，∠DAB＝60°，AB＝20 n mile，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos∠DAB，即600＝AD2＋400－2AD×20×，解得AD＝10(＋1) n mile(负值舍去)，故D不正确．故选BC． 7．(2024·广东潮州阶段练习)北江是珠江流域的重要水系之一，发源于江西省信丰县小茅山，流经广东韶关、清远等地，最终在思贤滘与西江相通．如图，在北江的一侧江岸选取两个测量基点A，B，在北江的另一侧江岸选取两个测量基点C，D，若测得CD＝10 km，6∠ABD＝6∠CBD＝3∠ACB＝4∠ACD＝π，则(　　) A．AC＝10 km B．BD＝15 km C．AD＝10 km D．BC＝10 km 答案：ACD 解析：由题意可得，∠ABD＝∠CBD＝，∠ACB＝，∠ACD＝，则∠BCD＝＋＝，∠BDC＝π－－＝，∠ABC＝∠ACB＝，所以△ABC是等边三角形，在△BCD中，由正弦定理，得＝＝，解得BC＝10 km，BD＝15＋5 km，所以AC＝BC＝10 km．在△ACD中，由余弦定理，得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD＝(10)2＋(10)2－2×10×10×＝300，所以AD＝10 km．故选ACD． 三、填空题 8．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1 km，CD＝3 km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠AEC＝150°，则两山顶A，C之间的距离为________ km． 答案：2 解析：依题设，知AB＝1 km，CD＝3 km，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠AEC＝150°．∴AE＝2AB＝2 km，CE＝＝3×＝2(km)．在△ACE中，由余弦定理得AC2＝AE2＋CE2－2AE·CEcos150°＝28，∴AC＝2 km，即两山顶A，C之间的距离为2 km． 9．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿南偏东75°方向向一小岛靠近，速度的大小为每小时9 n mile，舰艇时速的大小为21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是________ h． 答案： 解析：设舰艇和渔船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t h，则AB＝21t n mile，BC＝9t n mile，AC＝10 n mile，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos120°，解得t＝或t＝－(舍去)． 10．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________． 答案： 解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°．由正弦定理，知x＝＝＝． 四、解答题 11．某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D．求AB的长度． 解：在△ABC中，由余弦定理得 cosC＝＝ ＝， 在△ABD中，由余弦定理得 cosD＝＝ ＝． 由∠C＝∠D，得cosC＝cosD， 解得AB＝7，所以AB的长度为7米． 12．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙从岛屿A出发沿正北方向航行，航行速度的大小为10 n mile/h，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上． (1)求渔船甲的速度的大小； (2)求sinα的值． 解：(1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12 n mile，AC＝10×2＝20(n mile)． 由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28 n mile． 所以渔船甲的速度的大小为＝14 n mile/h． (2)在△ABC中，因为AB＝12 n mile，∠BAC＝120°，BC＝28 n mile，∠BCA＝α， 由正弦定理，得＝， 即sinα＝＝＝． 13．[多选](2024·河南开封期末)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高PQ＝(　　) A． B． C．＋asinβ D．＋asinβ 答案：AC 解析：由题意可知，∠PAQ＝α，∠PBC＝γ，∠PAB＝α－β，∠BAQ＝β，在Rt△APQ，Rt△BPC中，∠APQ＝－α，∠BPQ＝－γ，所以∠APB＝∠APQ－∠BPQ＝γ－α，又sin∠ABP＝sin[π－(∠APB＋∠BAP)]＝sin(∠APB＋∠BAP)＝sin(γ－α＋α－β)＝sin(γ－β)，在△ABP中，由正弦定理可得＝，即＝，所以AP＝，在Rt△APQ中，PQ＝APsinα＝，故A正确，B错误；在△ABP中，由正弦定理可得＝，即＝，所以PB＝，在Rt△PBC中，PC＝PBsinγ＝，又CQ＝ABsinβ＝asinβ，所以PQ＝PC＋CQ＝＋asinβ，故C正确，D错误．故选AC． 14．(2024·四川成都期末)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝45°，点C的仰角∠CAB＝30°，以及∠MAC＝75°．从点C测得∠MCA＝45°，已知山高BC＝480 m，则山高MN＝________ m． 答案：960 解析：在△ABC中，因为∠CAB＝30°，∠ABC＝90°，BC＝480 m，所以AC＝＝960 m，在△AMC中，因为∠MAC＝75°，∠MCA＝45°，可得∠AMC＝60°，因为＝，所以AM＝＝960 m，在Rt△AMN中，MN＝AM·sin∠MAN＝960×sin45°＝960 m． 15．(2024·广东肇庆阶段练习)成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道AB一侧规划一个三角形区域ABC做绿化，如图，已知∠CAB＝． (1)若AC＝100米，求BC的长； (2)绿化完成后，某游客在绿道AB的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从A到D，再从D到B，然后从B到D，最终返回D点拍照．已知∠ADB＝，求游客所走路程的最大值． 解：(1)在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠CAB＝1002＋2002－2×100×200×＝30000， 所以BC＝100米． (2)因为∠ADB＝，所以∠DAB∈，记∠DAB＝θ，由正弦定理得＝＝， 即＝＝，所以BD＝sinθ，AD＝sin，AD＋2BD＝sin＋sinθ＝＝sin(θ＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，所以当sin(θ＋φ)＝1时，AD＋2BD的最大值为． 即游客所走路程的最大值为米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$