6.4.3 第2课时 正弦定理-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

第2课时　正弦定理 知识点一　已知两边及一边的对角解三角形 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝(　　) A．± B． C．－ D． 答案：D 解析：根据正弦定理＝，得sinB＝＝，又a＞b，所以角B为锐角，所以cosB＝．故选D． 2．(1)在△ABC中，b＝10，c＝5，C＝60°，求边a的值； (2)在△ABC中，a＝2，b＝6，A＝30°，求角B，C和边c的值． 解：(1)由正弦定理，得 sinB＝＝＝， 又b<c，∴B<C， ∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°， ∴a＝＝ ＝＝5(＋1)． (2)由正弦定理，得sinB＝＝＝， ∴B＝60°或B＝120°，均满足条件， 当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4； 当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2． 故B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2． 知识点二　已知两角及一边解三角形 3．一个三角形的两内角分别为45°与60°，如果45°角所对的边的长是6，那么60°角所对的边的长是(　　) A．3 B．3 C．3 D．2 答案：A 解析：设60°角所对的边的长为x，由＝，得x＝＝＝3．故选A． 4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝________． 答案：2 解析：由A＋B＋C＝180°，知C＝30°，由＝，得c＝＝＝2． 知识点三　正弦定理的应用 5．△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是(　　) A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 答案：B 解析：∵b＝30，c＝15，C＝26°，∴c＝bsin30°>bsinC，又c<b，如图，∴此三角形有两解．故选B． 6．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：A 解析：由正弦定理，得acosB＝bcosA⇒sinA·cosB＝sinBcosA⇒sin(A－B)＝0，由于－π<A－B<π，故必有A－B＝0，即△ABC为等腰三角形．故选A． 知识点四　正弦定理与余弦定理的综合应用 7．[多选]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a，3csinB＝4asinC，则下列说法中正确的是(　　) A．b＝a B．sinB＝ C．cos2B＝－ D．sin＝－ 答案：ACD 解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得bsinC＝csinB，又由3csinB＝4asinC，得3bsinC＝4asinC，∵sinC≠0，∴3b＝4a．又b＋c＝2a，得到b＝a，c＝a，故A正确；由余弦定理可得cosB＝＝＝－，从而sinB＝＝，故B错误；cos2B＝cos2B－sin2B＝－，故C正确；sin2B＝2sinB·cosB＝－，sin＝sin2Bcos＋cos2Bsin＝－×－×＝－，故D正确．故选ACD． 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosA＝ccosA＋acosC． (1)求角A的大小； (2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值． 解：(1)由正弦定理，得2bcosA＝ccosA＋acosC⇒2cosAsinB＝cosAsinC＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB， ∵sinB≠0，∴cosA＝， ∵0°＜A＜180°，∴A＝60°． (2)由余弦定理，得7＝a2＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 把b＋c＝4代入，得bc＝3． 一、单项选择题 1．(2024·北京师大附中高一月考)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，sinB＝，c＝7，则a＝(　　) A．2 B．4 C．5 D．10 答案：C 解析：由题意可知，在锐角三角形ABC中，sinB＝，则cosB＝，故sinC＝sin(A＋B)＝sinA·cosB＋cosAsinB＝×＋×＝，则由正弦定理＝，得a＝＝＝5．故选C． 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a＝(　　) A． B．2 C． D． 答案：D 解析：由正弦定理＝，得sinC＝＝．又c<b，∴C为锐角，∴C＝30°，∴A＝180°－120°－30°＝30°，∴△ABC为等腰三角形，∴a＝．故选D． 3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 答案：C 解析：由正弦定理＝，得sinB＝＝＝>1，所以B不存在．即满足条件的三角形不存在．故选C． 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 答案：D 解析：由＝及余弦定理，得＝，即＝，由正弦定理，得＝，所以sin2A＝sin2B，从而2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝．故选D． 5．(2024·河南郑州模拟)如图，在平面四边形ABCD中，若BC＝2AB＝4，AC＝2，AB⊥BD，∠BCD＝，则BD＝(　　) A． B．2 C．2－2 D．4－4 答案：D 解析：在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC＝＝＝－，所以∠ABC＝，因为AB⊥BD，所以∠CBD＝，在△BCD中，∠BDC＝π－－＝，由正弦定理，得＝，所以BD＝＝＝4－4．故选D． 二、多项选择题 6．下列说法中正确的是(　　) A．在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，则＝ B．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件 C．在△ABC中，若＝，则三角形为等腰三角形 D．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形ABCD为菱形 答案：ABD 解析：利用正弦定理可得＝＝，故A正确；在△ABC中，A>B⇔sinA>sinB，故B正确；若＝⇒sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝，则三角形为等腰或直角三角形，故C错误；在四边形ABCD中，＋＝0，则四边形ABCD为平行四边形，又·＝0，则平行四边形ABCD的对角线垂直，则四边形ABCD为菱形，故D正确．故选ABD． 7．(2024·重庆期末)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，b＝2，A＝，则(　　) A．c＝3 B．sinB＝ C．sinC＝ D．△ABC中BC边的中线长为 答案：ABD 解析：因为a＝，b＝2，A＝，由余弦定理，得a2＝7＝4＋c2－2×2c×，所以c＝3，故A正确；由正弦定理，得＝＝，所以sinB＝＝，sinC＝＝，故B正确，C错误；设△ABC中BC边的中线为AD，则＝(＋)，故||＝＝＝，故D正确．故选ABD． 三、填空题 8．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________． 答案：1 解析：设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得＝＝＝1． 9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝75°，B＝45°，c＝3，则边b的值为________． 答案：2 解析：因为A＝75°，B＝45°，所以C＝60°，由正弦定理可得b＝＝＝2． 10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcosC＝(3a－c)cosB．若·＝4，则ac的值为________． 答案：12 解析：由正弦定理，得sinBcosC＝(3sinA－sinC)cosB．化简，得sinA＝3sinAcosB，又sinA≠0，则cosB＝．又·＝accosB＝4，所以ac＝＝12． 四、解答题 11．在△ABC中，tanB＝，·＝2·． (1)求sinA； (2)设AC＝，求AC边上的高． 解：(1)由·＝2·， 得||||cos(π－B)＝2||||cosC， 即－||cosB＝2||cosC， 由正弦定理可得－sinCcosB＝2sinBcosC， 所以tanC＝－2tanB＝－1， 又因为0<C<π，所以C＝， 因为tanB＝，所以sinB＝，cosB＝， 所以sinA＝sin(C＋B)＝sinCcosB＋cosCsinB＝×－×＝． (2)设AC边上的高为h，在△ABC中， 由正弦定理可得＝， 所以AB＝＝＝， 所以h＝ABsinA＝×＝． 12．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝b，b2＋c2＋bc＝a2． (1)求B； (2)若a＝4，在BC边上存在一点D，使得DA⊥AC，求AD的长． 解：(1)由余弦定理得cosA＝＝＝－，因为A∈(0，π)，所以A＝． 因为a＝b，所以sinA＝sinB，解得sinB＝， 因为a＝b>b，所以B＝． (2)因为a＝4，a＝b，所以AC＝b＝4． 设AD＝x，在△ABD中，由正弦定理， 得＝， 则BD＝x，CD＝4－x， 由x2＋16＝(4－x)2， 解得x＝8－4或8＋4(舍去)， 故AD的长为8－4． 13．[多选](2024·福建福州期中)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，下列四个结论正确的是(　　) A．若a2＋b2－c2<0，则△ABC是钝角三角形 B．若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3 C．若asin＝bsinA，则B＝ D．若B＝，a＝2，且△ABC有两解，则b的取值范围是(3，2) 答案：ACD 解析：对于A，由余弦定理可得cosC＝<0，所以C为钝角，则△ABC是钝角三角形，故A正确；对于B，由A∶B∶C＝1∶2∶3，A＋B＋C＝π，可得A＝，B＝，C＝，由正弦定理可得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝∶∶1＝1∶∶2，故B错误；对于C，因为asin＝bsinA，由正弦定理可得sinAsin＝sinBsinA，即sinAsin＝sinBsinA，又A∈(0，π)，所以sinA>0，所以sin＝sinB，即cos＝sinB＝2sincos，又B∈(0，π)，则∈，所以cos>0，所以sin＝，则＝，所以B＝，故C正确；对于D，如图，因为B＝，a＝2，若△ABC有两解，则asinB<b<a，即2×<b<2，所以3<b<2，则b的取值范围是(3，2)，故D正确．故选ACD． 14．在△ABC中，已知＝，且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C，则＝________． 答案： 解析：由正弦定理，得＝＝，所以b2－a2＝ab，即－＝1，解得＝，由cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C，所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C，即2sinAsinB＝2sin2C，由正弦定理，得ab＝c2，所以＝＝． 15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csinB＝bsin． (1)求C； (2)若点D在CB的延长线上，CB＝BD，AD＝1，求a＋b的取值范围． 解：(1)csinB＝bsin，由正弦定理， 得sinCsinB＝sinBsin， ∵B∈(0，π)，∴sinB≠0， 故sinC＝sin，即2sincos＝sin， ∵∈，∴sin≠0，故cos＝， ∵∈，∴＝，故C＝． (2)在△ACD中，CD＝2a，设∠CAD＝α，则α∈， 由正弦定理，得＝＝， 即＝＝， 解得b＝，a＝， 故a＋b＝＋＝＝cosα， ∵α∈，∴a＋b＝cosα∈， ∴a＋b的取值范围是． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$