6.4.3 第1课时 余弦定理-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

6．4．3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 知识点一　已知两边及其夹角解三角形 1．(2024·福建德化一中、永安一中、漳平一中三校协作高一联考)在△ABC中，AC＝2，BC＝3，C＝60°，则AB＝(　　) A．4 B． C．7 D． 答案：D 解析：∵AC＝2，BC＝3，C＝60°，∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝7，∴AB＝．故选D． 2．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求角A，B和边c的值． 解：由余弦定理，知c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2×2×2×＝8－4， ∴c＝＝＝－． ∴cosA＝ ＝＝， ∵0°<A<180°，∴A＝30°， ∴B＝180°－A－C＝135°， ∴c＝－，A＝30°，B＝135°． 知识点二　已知两边及一边对角解三角形 3．(2024·北京第二中学高一段测)在△ABC中，b＝7，c＝5，B＝，则a＝________． 答案：3 解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得72＝a2＋52－2a×5cos，即a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍去)． 4．在△ABC中，若a＝3，c＝7，C＝60°，则角B的余弦值为________． 答案：－ 解析：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝9＋b2－3b⇒(b－8)(b＋5)＝0．∵b＞0，∴b＝8．∴cosB＝＝＝－． 知识点三　已知三边解三角形 5．在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C． 解：根据余弦定理， 得cosA＝ ＝＝， cosC＝ ＝＝． ∵A∈(0，π)，∴A＝． ∵C∈(0，π)，∴C＝． ∴B＝π－A－C＝π－－＝． ∴A＝，B＝，C＝． 知识点四　余弦定理及其推论的应用 6．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 答案：B 解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，又b2＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c．∵B＝60°，∴A＝C＝60°．故△ABC是等边三角形．故选B． 7．(2024·贵州凯里第一中学高一月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac，则B的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意，得cosB＝＝＝＝＋≥，当且仅当a＝c时取等号，又B∈(0，π)，所以B∈．故选A． 8．若钝角三角形ABC的内角A，B，C满足A＋C＝2B，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是(　　) A．(1，2) B．(2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(3，＋∞) 答案：B 解析：设三角形的三边从小到大依次为a，b，c，因为A＋C＝2B，则A＋B＋C＝3B＝180°，故可得B＝60°，根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，因为△ABC为钝角三角形，所以a2＋b2－c2<0，于是2a2－ac<0，即>2，则m＝>2，即m的取值范围是(2，＋∞)．故选B． 9．在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，求最大边c的取值范围． 解：∵在钝角三角形ABC中，c为最大边， ∴cosC＜0，即a2＋b2－c2＜0． ∴c2＞a2＋b2＝5，∴c＞． 又c＜b＋a＝3，∴＜c＜3， 即c的取值范围是(，3)． 一、单项选择题 1．在△ABC中，若AB＝－1，BC＝＋1，AC＝，则B的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 答案：C 解析：∵cosB＝＝＝，0°<B<180°，∴B＝60°．故选C． 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－2ac－3c2＝0，且c＝b，则角A的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由a2－2ac－3c2＝0，得(a－3c)(a＋c)＝0，所以a＝3c或a＝－c(舍去)，又c＝b，所以b＝3c．由余弦定理，得cosA＝＝＝．故选A． 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bc＝3a2，b＋c＝a，则sinA＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：cosA＝＝＝＝，因为A∈(0，π)，所以sinA＝＝．故选B． 4．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　) A．10 B．9 C．8 D．5 答案：D 解析：∵23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，∴cos2A＝，∴cosA＝±．∵△ABC为锐角三角形，∴cosA＝，又a＝7，c＝6，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得49＝b2＋36－b，∴b＝5或b＝－(舍去)，∴b＝5．故选D． 5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：如图所示，在△ACD中，设CD＝a，由CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠DAC，得a2＝(a)2＋(a)2－2a·acos∠DAC，解得cos∠DAC＝．故选B． 二、多项选择题 6．(2024·山西朔州阶段练习)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：BD 解析：由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，又A＝30°，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，整理得c2－12c＋32＝0，解得c＝4或c＝8．故选BD． 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是(　　) A．在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则C是锐角 B．在△ABC中，若a2<b2＋c2，则A>B＋C C．在△ABC中，若4sinAcosA＝0，则△ABC一定是直角三角形 D．任何三角形的三边之比不可能是1∶2∶3 答案：ACD 解析：对于A，由a2＋b2－c2>0及余弦定理可得cosC＝>0，又C∈(0，π)，∴C∈，∴C是锐角，故A正确；对于B，由a2<b2＋c2及余弦定理可得cosA＝>0，又A∈(0，π)，∴A∈，∴A是锐角，∴B＋C>>A，故B错误；对于C，∵4sinAcosA＝0，A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴cosA＝0，则A＝，∴△ABC一定是直角三角形，故C正确；对于D，若三角形的三边之比是1∶2∶3，不妨设三边分别为x，2x，3x(x>0)，则两短边之和为3x，不满足三角形两边之和大于第三边，故任何三角形的三边之比不可能是1∶2∶3，故D正确． 三、填空题 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋accosB＋abcosC的值是________． 答案： 解析：∵cosA＝，∴bccosA＝(b2＋c2－a2)．同理，accosB＝(a2＋c2－b2)，abcosC＝(a2＋b2－c2)，∴bccosA＋accosB＋abcosC＝(a2＋b2＋c2)＝． 9．在△ABC中，设三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，b＝，A＝30°，则c＝________． 答案：1或2 解析：已知a＝1，b＝，A＝30°，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得1＝3＋c2－3c，即c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2，经检验都符合题意，所以c的值为1或2． 10．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________． 答案： 解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝． 四、解答题 11．在△ABC中，已知cos2＝，判断△ABC的形状． 解：在△ABC中，由已知cos2＝， 得＝，所以cosA＝． 根据余弦定理，得＝， 所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2， 所以△ABC是直角三角形． 12．已知在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc． (1)求角A的大小； (2)若a＝2，b＝2，求边c的值． 解：(1)由已知可得 cosA＝＝＝－， ∵0<A<π，∴A＝． (2)∵a2＝b2＋c2－2bccosA， 将a＝2，b＝2，cosA＝－代入可得12＝4＋c2－4c·，即c2＋2c－8＝0， ∴c＝－4(舍去)或c＝2， ∴边c的值为2． 13．[多选]在△ABC中，已知AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，D为AC的中点，E为BC的中点，AE与BD相交于点M，下列结论中正确的是(　　) A．BC＝4 B．ME＝ C．BD＝2 D．cos∠DBC＝ 答案：ABD 解析：对于A，在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝48，所以BC＝4，故A正确；对于B，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，E为BC的中点，所以AE⊥BC，∠BAE＝60°，所以AE＝ABcos60°＝2，易知M是△ABC的重心，所以ME＝AE＝，故B正确；对于C，在△ABD中，由余弦定理，得BD＝＝＝2，故C错误；对于D，在△DBC中，由余弦定理，得cos∠DBC＝＝＝，故D正确．故选ABD． 14．若钝角三角形的三边长为a＋1，a＋2，a＋3，则a的取值范围是________． 答案：(0，2) 解析：因为a＋1<a＋2<a＋3，所以此三角形的最大边为a＋3，设此边所对应的角为α，则α为钝角，由余弦定理可得cosα＝<0，即有(a＋1)2＋(a＋2)2－(a＋3)2<0，整理得a2－4<0，解得－2<a<2．又因为解得a>0．综上，a的取值范围为(0，2)． 15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝4，b＝5，c＝7． (1)求cosA的值； (2)若点D在边BC上，且BD＝3CD，求AD． 解：(1)如图，在△ABC中，因为a＝4，b＝5，c＝7， 所以cosA＝ ＝＝． (2)解法一：因为点D在边BC上，且BD＝3CD， 所以BD＝3，CD＝， 又因为cosB＝＝， 所以在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝c2＋BD2－2c·BDcosB＝72＋(3)2－2×7×3×＝25，可得AD＝5． 解法二：因为＝3， 所以＝＋， 所以||2＝2＋2＋· ＝×25＋×49＋×5×7cos∠BAC ＝＋＋×5×7× ＝25， 所以||＝5，即AD＝5． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$