6.4.1 平面几何中的向量方法-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

6．4．1　平面几何中的向量方法 知识点一　平行、垂直的问题 1．已知点A(－2，－3)，B(2，1)，C(0，1)，则下列结论正确的是(　　) A．A，B，C三点共线 B．⊥ C．A，B，C是锐角三角形的顶点 D．A，B，C是钝角三角形的顶点 答案：D 解析：∵＝(－2，0)，＝(2，4)，∴·＝－4<0，－2×4－0×2＝－8≠0，∴∠C是钝角．故选D． 2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 答案：B 解析：因为|－|＝||＝|－|，|＋－2|＝|＋|，所以|－|＝|＋|，则·＝0，所以∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形．故选B． 3．如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H．试用向量法证明：HG∥EF． 证明：∵⊥，⊥，∴∥． 设＝λ(λ≠0)，则＝λ． 同理＝λ． 于是＝－＝λ(－)＝λ， ∴∥，即HG∥EF． 知识点二　长度和夹角的问题 4．在△ABC中，已知顶点A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　) A．2 B． C．3 D． 答案：B 解析：BC的中点为D，＝，∴||＝．故选B． 5．在四边形ABCD中，＝2m－2n，＝－m＋3n，＝2n，其中m，n为不共线的向量． (1)判断四边形ABCD的形状，并给出证明； (2)若|m|＝2，|n|＝1，m与n的夹角为60°，F为BC的中点，求∠FAB． 解：(1)∵＝－m＋3n，＝2n， ∴＝－＝2n－(－m＋3n)＝m－n， 又＝2m－2n，∴＝2， 又A，B，C，D四点不共线， ∴AB∥DC且AB≠DC， ∴四边形ABCD为梯形． (2)∵＝2m－2n， ∴||＝ ＝ ＝2， ∵F为BC的中点，∴＝(＋)＝m，∴||＝|m|＝2， ∴·＝m·(2m－2n)＝2m2－2m·n＝8－2＝6， ∴cos∠FAB＝＝＝， ∵∠FAB∈[0，π]，∴∠FAB＝． 6．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，连接DF．求证：∠ADB＝∠FDC． 证明：如图所示，建立平面直角坐标系，设A(2，0)，C(0，2)，则D(0，1)． 于是＝(－2，1)，＝(－2，2)． 设F(x，y)． 由⊥，得·＝0， 即(x，y)·(－2，1)＝0， ∴－2x＋y＝0．① 又点F在AC上，则∥． 而＝(－x，2－y)， 因此2×(－x)－(－2)×(2－y)＝0， 即x＋y＝2．② 由①②解得x＝，y＝， ∴F，＝，＝(0，1)， 故·＝． 又·＝||||cos∠FDC＝cos∠FDC， ∴cos∠FDC＝， 又cos∠ADB＝＝＝， ∴cos∠ADB＝cos∠FDC， 又∠ADB∈(0，π)，∠FDC∈(0，π)， 故∠ADB＝∠FDC． 一、单项选择题 1．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：因为＝－＝－，所以2＝＝2－·＋2，又AB＝3，BD＝，·＝5，则5＝2－5＋9，即2＝1，所以||＝2，即AC＝2．故选B． 2．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案：A 解析：由＋＋＝0，得＝－，两边平方得2＝2＋2－2·，由于||＝||＝||，则||2＝2||·||cos〈，〉，所以cos〈，〉＝，则∠BOC＝60°，所以∠A＝∠BOC＝30°．故选A． 3．已知△ABC中，(＋)·＝0，＝，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案：B 解析：如图所示，设M为AC的中点，则(＋)·＝2·＝0，∴⊥，即△ABC为等腰三角形，又＝，∴＝3，即＋＋2··＝2＋2cos〈，〉＝3，∴cos〈，〉＝，可得A＝，所以△ABC为等边三角形．故选B． 4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB＝3，BC＝1，CD＝2，则AD的长所在的区间为(　　) A．(2，3) B．(3，4) C．(4，5) D．(5，6) 答案：C 解析：＝＋＋，其中与的夹角为60°，与的夹角为30°，与的夹角为90°，则||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝9＋1＋4＋2×3×1×＋2×1×2×＋0＝17＋2∈(16，25)，所以||∈(4，5)．故选C． 5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a，P为线段AD(含端点)上一个动点，设＝x，x∈[0，1]，·＝y，对于函数y＝f(x)，下列说法中正确的是(　　) A．当a＝1时，函数f(x)在(0，1)上不是单调函数 B．∀a∈(0，＋∞)，函数f(x)的图象恒过两个定点 C．∀a∈(0，＋∞)，函数f(x)都有零点 D．当a＝2时，函数f(x)的值域为[1，4] 答案：B 解析：如图，以B为原点，AB，BC所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(－2，0)，C(0，a)，D(－1，a)，＝(1，a)，＝(2，0)，＝(0，a)．由＝x，得＝(x，ax)，所以＝＋＝(2－x，－ax)，而＝＋＝(2－x，a－ax)，所以y＝·＝(2－x)2－a2x＋a2x2，即f(x)＝(a2＋1)x2－(a2＋4)x＋4．对于A，当a＝1时，f(x)＝2x2－5x＋4，函数f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝>1，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，故A错误；对于B，因为f(x)＝(a2＋1)x2－(a2＋4)x＋4＝a2(x2－x)＋x2－4x＋4，令x2－x＝0，解得x＝0或x＝1，而f(0)＝4，f(1)＝1－4＋4＝1，故函数f(x)的图象恒过两个定点(0，4)，(1，1)，故B正确；对于C，函数f(x)＝(a2＋1)x2－(a2＋4)x＋4为二次函数，其图象开口向上，因为其对称轴为直线x＝＝＝＋>，x∈[0，1]，令Δ＝(a2＋4)2－16(a2＋1)＝a4－8a2<0，则0<a2<8⇒－2<a<2，故∃a0∈(0，＋∞)，使函数f(x)没有零点，故C错误；对于D，当a＝2时，f(x)＝5x2－8x＋4，函数f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝，函数f(x)的最小值为f＝，故D错误．故选B． 二、多项选择题 6．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　) A．|b|＝2 B．|a|＝1 C．a∥b D．(4a＋b)∥ 答案：AB 解析：如图，因为＝－＝(2a＋b)－2a＝b，所以|b|＝2，故A正确；因为|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，故B正确；因为＝2a，＝b，与不共线，所以a与b不共线，故C错误；设BC的中点为D，连接AD，则＋＝2，即2＝4a＋b，显然与不共线，故4a＋b与不共线，故D错误．故选AB． 7．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式正确的是(　　) A．||2＝· B．||2＝· C．||2＝· D．||2＝ 答案：ABD 解析：·＝·(＋)＝2＋·＝2＝||2，A正确；同理||2＝·成立，B正确；||2＞0，·＜0，||2≠·，C错误；＝＝＝||2，D正确．故选ABD． 三、填空题 8．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝________． 答案： 解析：因为||＝5，点A(0，1)在y轴上，所以可取点D(0，5)，则点C在∠BOD的平分线上，且|OB|＝|OD|，所以与向量＋同向，＋＝(－3，4)＋(0，5)＝(－3，9)，设＝λ(＋)＝λ(－3，9)(λ>0)．又||＝2，所以λ＝，所以＝． 9．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△APB的面积与△APC的面积之比为________． 答案：1∶2 解析：由题意，得5＝＋2，得2－2＝－－2，得－2(＋)＝．如图所示，以PA，PB为邻边作▱PAEB，则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则＝2＝4，所以＝＝＝． 10．(2024·山东济宁高一期中)已知E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，且AB＝3，CD＝2，∠ABC＝45°，∠BCD＝75°，则线段EF的长为________． 答案： 解析：作AH∥CD，交BC于点H，则∠BHA＝∠BCD＝75°，∴∠BAH＝180°－45°－75°＝60°，则cos〈，〉＝cos〈，〉＝cos∠BAH＝．∵＝＋＋，＝＋＋，又＝－，＝－，∴2＝＋＋＋＋＋＝＋，∴||2＝(＋)2＝||2＋||2＋||||cos〈，〉＝＋1＋＝，∴||＝． 四、解答题 11．如图所示，正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，AE与CD交于点P．求证：BP⊥DC． 证明：设＝λ，△ABC的边长为a， 则＝＋＝λ＋＝λ＋＝(2λ＋1)－λ， 又＝－． ∵∥， ∴(2λ＋1)－λ＝k－k． 于是有 解得λ＝，∴＝． ∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 又＝－， 从而·＝· ＝a2－a2－a2cos60°＝0． ∴⊥，即BP⊥DC． 12．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4．点D在边BC上，且＝t． (1)若t＝，A＝，求||； (2)若t＝，AD恰为BC边上的高，求角A； (3)若AD＝3，求t的取值范围． 解：(1)∵t＝，∴＝，即D为边BC的中点， ∴＝(＋)， ∵A＝，AC＝2，AB＝4， ∴||＝ ＝＝． (2)∵t＝，∴＝＝(－)， ∵AD恰为BC边上的高，∴⊥， ∵＝＋＝＋(－)＝＋，＝－， 且AC＝2，AB＝4， ∴·＝·(－)＝2－·＋·－2＝×22－×2×4×cosA－×42＝0， ∴cosA＝0，则A＝． (3)由题意知，＝t， 则＝＋＝＋t＝＋t(－)＝t＋(1－t)， ∵AD＝3，且AC＝2，AB＝4， ∴2＝t22＋(1－t)22＋2t·(1－t)， 则9＝16t2＋4(1－2t＋t2)＋(16t－16t2)cosA， ∴cosA＝， ∵－1<cosA<1，则－1<<1， ∵0<t<1，则16t2－16t<0， 解得<t<，∴t的取值范围为． 13．[多选](2024·重庆九龙坡期中)△ABC所在平面内一点O满足3＋2＋4＝0，则下列说法正确的是(　　) A．＝＋ B．延长AO交BC于点M，则BM＝2CM C．若BC＝3，且·＝·，则·＝－6 D．若||＝||＝||＝1，则·＝－ 答案：BCD 解析：对于A，3＝2＋4＝2(－)＋4(－)，＝＋，故A错误；对于B，延长AO交BC于点M，设BM＝λCM，＝m，所以＝＋，由3＋2＋4＝0，得＝＋，所以＝＋＝m＝＋，即解得则BM＝2CM，故B正确；对于C，因为·－·＝0，所以·＝0，延长AO交BC于点M，所以AM⊥BC，因为BC＝3，由B项分析知BM＝2CM＝2，所以·＝－||||＝－6，故C正确；对于D，由||＝||＝||＝1，3＝2＋4，两边平方得9＝4＋16＋16·，所以·＝－，所以·＝－(＋2)·(－)＝－(2－1－·)＝－，故D正确．故选BCD． 14．(2024·北京东城阶段练习)折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OC＝2，OA＝4，点E在上(包含端点)，则·的取值范围是________． 答案：[－12，－8] 解析：设F是的中点，连接OF，AF，BF，EA，EB，OE，由于∠AOB＝120°，所以△AOF和△BOF是等边三角形，则四边形AOBF是菱形，则＋＝，·＝(－)·(－)＝·－·(＋)＋2＝4×4×cos120°－·＋22＝16×－2×4×cos∠EOF＋4＝－4－8cos∠EOF，由于0°≤∠EOF≤60°，所以≤cos∠EOF≤1，4≤8cos∠EOF≤8，所以－4－8cos∠EOF∈[－12，－8]，所以·的取值范围是[－12，－8]． 15．已知在△ABC中，M是BC边上靠近点B的四等分点，点N在AB边上，且＝，设AM与CN相交于点P．记＝m，＝n． (1)请用m，n表示向量； (2)若|n|＝2|m|，设m，n的夹角为θ，若cosθ＝，求证：⊥． 解：(1)＝－＝n－m， 由题意得＝＝(n－m)， ∴＝＋＝m＋(n－m)＝m＋n． (2)证明：由题意，得＝＋＝－＋＝m－n． ∵|n|＝2|m|，cosθ＝， ∴m·n＝|m||n|cosθ＝|m|2． ∴·＝·m＝m2－n·m＝|m|2－|m|2＝0，∴⊥． 12 学科网（北京）股份有限公司 $$