6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

6．3．5　平面向量数量积的坐标表示 知识点一　平面向量数量积的坐标表示 1．设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A．12 B．0 C．－3 D．－11 答案：C 解析：∵a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，∴a＋2b＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3．故选C． 2．已知2a＋b＝(－4，3)，a－2b＝(3，4)，则a·b的值为________． 答案：0 解析：解法一：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，∵2a＋b＝2(x1，y1)＋(x2，y2)＝(2x1＋x2，2y1＋y2)，a－2b＝(x1，y1)－2(x2，y2)＝(x1－2x2，y1－2y2)，∴ 由①③得x1＝－1，x2＝－2；由②④得y1＝2，y2＝－1．∴a＝(－1，2)，b＝(－2，－1)．∴a·b＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0． 解法二：由得两式相加，得5a＝(－8，6)＋(3，4)＝(－5，10)，∴a＝(－1，2)．将a＝(－1，2)代入2a＋b＝(－4，3)，得b＝(－2，－1)．∴a·b＝(－1，2)·(－2，－1)＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0． 知识点二　平面向量的模、夹角及垂直问题 3．(2024·江苏苏州模拟)设向量a＝(－1，x)，向量b＝(2－x，x)，若a⊥b且|a|＝|b|，则x＝(　　) A．－2 B．2 C．1 D．－2或1 答案：C 解析：由a⊥b且|a|＝|b|，得解得x＝1．故选C． 4．设a＝(－3，m)，b＝(4，3)，若a与b的夹角是钝角，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m>4} B．{m|m<4} C． D． 答案：D 解析：a＝(－3，m)，b＝(4，3)，当a与b的夹角是钝角时，a·b<0　①，且a与b不平行　②，由①得－3×4＋3m<0，解得m<4，由②得－3×3－4m≠0，解得m≠－．综上，实数m的取值范围是．故选D． 5．(2024·云南迪庆高一期中)已知向量a＝(2，1)，b＝(3，－1)，c＝(3，m)(m∈R)，且(a－2b)⊥c，则m＝________． 答案：4 解析：因为向量a＝(2，1)，b＝(3，－1)，所以a－2b＝(2，1)－2(3，－1)＝(－4，3)，又c＝(3，m)(m∈R)，(a－2b)⊥c，所以－12＋3m＝0，解得m＝4． 6．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)． (1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ． 解：(1)设c＝(x，y)． 由c∥a和|c|＝2，a＝(1，2)， 可得 解得或 故c＝(2，4)或c＝(－2，－4)． (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即2a2＋3a·b－2b2＝0， ∴2×5＋3a·b－2×＝0， 整理得a·b＝－， ∴cosθ＝＝－1． 又θ∈[0，π]，∴θ＝π． 知识点三　平面向量数量积的应用 7．如图所示，正方形ABCD的边长为2，E，F，G分别是边BC，CD，AD的中点，P是线段EF上的动点，则·的最小值为(　　) A． B．3 C． D．48 答案：A 解析：如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，G(0，1)，E(2，1)，F(1，2)，设P(x，y)，＝λ(λ∈[0，1])，则(x－1，y－2)＝λ(1，－1)，∴∴x－1＝－(y－2)，即y＝3－x，∴＝(x，y－1)，＝(x，y)，∴·＝x2＋y(y－1)＝x2＋(3－x)·(2－x)＝2x2－5x＋6＝2＋，又x＝1＋λ∈[1，2]，∴当x＝时，·取得最小值，为．故选A． 8．若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________． 答案：－2 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，根据题设条件即可知A(0，3)，B(－，0)，C(，0)，则＝(－2，0)，＝(－，3)，则＝＋＝(－，2)，M(0，2)，∴＝－＝(0，1)，＝－＝(－，－2)，∴·＝－2． 9．已知a＝，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b． 解：设向量b＝(x，y)． 根据题意，得·＝0，||＝||， ∴(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|， ∴|a|＝|b|，a·b＝0． 又a＝，∴ 解得或 ∴b＝或b＝． 一、单项选择题 1．已知向量a＝(sinθ，2)，b＝(1，cosθ)，且a⊥b，其中θ∈，则sinθ－cosθ＝(　　) A．－ B． C． D． 答案：D 解析：依题意，知a·b＝0，即sinθ＋2cosθ＝0．又sin2θ＋cos2θ＝1，且θ∈，∴cosθ＝－，sinθ＝，∴sinθ－cosθ＝．故选D． 2．已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则|a－b|＝(　　) A．1 B． C．2 D．2 答案：C 解析：|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－2a·b．又因为a＋b＝(，1)，所以(a＋b)2＝4，即a2＋2a·b＋b2＝4，所以a·b＝0，故|a－b|＝＝2．故选C． 3．若单位向量b与向量a＝(3，4)垂直，则cos〈a－b，b〉＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：B 解析：依题意，(a－b)·b＝a·b－b2＝－1，|a－b|＝＝＝，所以cos〈a－b，b〉＝＝＝－．故选B． 4．已知向量a＝(λ，1)，b＝(－1，μ)，若2a＋3b＝(－3，8)，则cos〈a，a＋b〉＝(　　) A． B．－ C．－ D． 答案：D 解析：∵a＝(λ，1)，b＝(－1，μ)，∴2a＋3b＝(2λ，2)＋(－3，3μ)＝(2λ－3，2＋3μ)，又2a＋3b＝(－3，8)，∴解得则a＝(0，1)，b＝(－1，2)，∴a＋b＝(－1，3)，∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝．故选D． 5．(2024·陕西安康模拟)如图，已知AB是圆O的直径，C是圆O上一点，＝，点P是线段BC上的动点，且△PAB的面积记为S1，圆O的面积记为S2，当·取得最大值时，＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：连接OC，由题意，可知OC⊥AB，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，不妨设OC＝2，则A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，可知直线BC对应的一次函数解析式为y＝2－x，可设P(a，2－a)，0≤a<2，可得＝(－2－a，a－2)，＝(2－a，a－2)，则·＝(－2－a)(2－a)＋(a－2)2＝2(a－1)2－2，且0≤a<2，因为y＝2(a－1)2－2的图象开口向上，对称轴为直线a＝1，且0≤a<2，可知当a＝0，即点P与点C重合时，·取到最大值，此时S1＝×2×4＝4，且S2＝4π，所以＝＝．故选A． 二、多项选择题 6．(2024·辽宁期末)已知A(2，－1)，B(3，2)，C(－1，3)，则(　　) A．＝(－1，－3) B．·＝9 C．cos〈，〉＝ D．在上的投影向量的模为 答案：BCD 解析：因为A(2，－1)，B(3，2)，C(－1，3)，所以＝(1，3)，＝(－3，4)，故A错误；·＝－3＋12＝9，故B正确；||＝，||＝5，cos〈，〉＝＝，故C正确；在上的投影向量的模为＝，故D正确．故选BCD． 7．已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，4)，c＝a＋λb，λ∈R，则下列说法正确的是(　　) A．当λ＝－时，|c|最小 B．当|c|最小时，b⊥c C．当λ＝1时，a与c的夹角最小 D．当a与c的夹角最小时，a＝c 答案：ABD 解析：由a＝(1，2)，b＝(－3，4)，得c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)，|c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25＋4，当λ＝－时，|c|最小，故A正确；当|c|最小时，c＝，b·c＝0，所以b⊥c，故B正确；设向量a与c的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，要使向量a与c的夹角最小，则cosθ最大，由于θ∈[0，π]，所以cosθ的最大值为1，此时θ＝0，＝1，解得λ＝0，c＝(1，2)．所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c，故C错误，D正确．故选ABD． 三、填空题 8．(2024·山东济南高一段考)已知向量a，b满足a＝(2，1)，a－b＝(1，0)，则a·b的值为________． 答案：3 解析：因为a＝(2，1)，a－b＝(1，0)，所以b＝a－(a－b)＝(2，1)－(1，0)＝(1，1)，则a·b＝2×1＋1×1＝3． 9．已知向量a，b不共线，a＝(2，1)，a⊥(b－a)，写出一个符合条件的向量b的坐标为________． 答案：(1，3)(答案不唯一) 解析：由题意得|a|＝，a·b－a2＝0，则a·b＝5，设b＝(x，y)，得2x＋y＝5，且x≠2y，满足条件的向量b的坐标可以为(1，3)(答案不唯一)． 10．已知a＝(6，－8)，b与a垂直，|b|＝5，且b与c＝(1，0)的夹角是钝角，则b在c上的投影向量为________． 答案：(－4，0) 解析：设b＝(x，y)，∵a＝(6，－8)，b与a垂直，∴6x＋(－8)y＝0，即3x＝4y，又|b|＝5，∴＝5，即x2＋y2＝25，解得或∵b与c＝(1，0)的夹角是钝角，∴b·c＝x<0，∴b＝(－4，－3)，则b在c上的投影向量为·＝(－4，0)． 四、解答题 11．已知a＝(1，0)，b＝(0，1)，当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？证明你的结论． 解：假设m与n的夹角能为60°，则 cos60°＝． ∴m·n＝|m||n|．① 又a＝(1，0)，b＝(0，1)，∴|a|＝|b|＝1，且a·b＝0． ∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k，② |m||n| ＝·＝k2＋1．③ 由①②③，得2k＝(k2＋1)， ∴k2－4k＋1＝0． ∵该方程无整数解， ∴m与n的夹角不能为60°． 12．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1，0)． (1)求向量b＋c的模的最大值； (2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值． 解：(1)b＋c＝(cosβ－1，sinβ)， 则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)． 因为－1≤cosβ≤1，所以0≤|b＋c|2≤4， 即0≤|b＋c|≤2． 当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2， 所以向量b＋c的模的最大值为2． (2)若α＝，则a＝． 又由b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1，0)， 得a·(b＋c)＝·(cosβ－1，sinβ)＝cosβ＋sinβ－． 因为a⊥(b＋c)，所以a·(b＋c)＝0，即cosβ＋sinβ＝1， 所以sinβ＝1－cosβ，平方后化简得cosβ(cosβ－1)＝0， 解得cosβ＝0或cosβ＝1． 经检验，cosβ＝0或cosβ＝1即为所求． 13．[多选](2024·安徽阶段练习)如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，＝，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若＝x＋y，则(　　) A．＝＋ B．x＋y的最大值为1＋ C．·的最大值为9 D．·＝ 答案：ACD 解析：因为＝，AD的中点为O，所以OA＝OD＝DC＝AC＝1，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故A正确；＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝＝(－)＝－，则·＝·＝2－2－·＝2－1－×3×3×＝，故D正确；如图，以O为原点建立平面直角坐标系，则A(－1，0)，B，C(2，0)，因为点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，且在x轴的下半部分，所以设P(cosα，sinα)，α∈[π，2π]，则＝，＝，＝，所以·＝cosα－－sinα＋＝3cos＋6，因为α∈[π，2π]，所以α＋∈，所以当α＋＝2π时，·取得最大值9，故C正确；因为＝x＋y，所以＝x＋y，即＝，所以sinα－＝－(x＋y)，所以x＋y＝－sinα＋1，因为α∈[π，2π]，所以当α＝时，x＋y取得最大值＋1，故B错误．故选ACD． 14．(2024·新疆乌鲁木齐二模)已知A1，A2，A3，A4，A5五个点，满足·＝0(n＝1，2，3)，||||＝n(n＝1，2，3)，则||的最小值为________． 答案：1 解析：因为||·||＝n(n＝1，2，3)，所以||||＝1，||||＝2，||||＝3，由题意，设||＝x，则||＝，||＝2x，||＝，设A1(0，0)，如图，因为求||的最小值，则A2(x，0)，A3，A4，A5，所以||2＝x2＋≥2＝1，当且仅当x2＝，即x＝时取等号，所以||的最小值为1． 15．(2024·浙江杭州期中)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝1，P是线段AD(包括端点)上的一个动点． (1)当AD＝时，求·的值； (2)在(1)的条件下，若·＝，求||； (3)求|＋|的最小值． 解：(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． 当AD＝时，∵AB＝2，CD＝1，∴＝(2，0)，＝(1，)， 因此·＝2×1＋0×＝2． (2)设||＝t，即点P的坐标为(0，t)， 则＝(2，－t)，＝(1，－t)， ·＝2×1＋(－t)×(－t)＝t2－t＋2＝＋， 当t＝时，·＝，即||＝． (3)设C(1，c)，P(0，t)，又B(2，0)，则＋＝(2，－t)＋(1，c－t)＝(3，c－2t)， ∴|＋|＝≥3，当t＝时取等号，因此|＋|的最小值为3． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$