6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

6．3．4　平面向量数乘运算的坐标表示 知识点一　向量数乘运算的坐标表示 1．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：∵c＝(2b－a)＝b－a，∴(x，y)＝(－4，－3)－(5，－2)＝＝．故选D． 2．平面内给定三个向量a＝(6，1)，b＝(－2，3)，c＝(2，2)． (1)求a＋2b－c； (2)是否存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb? 解：(1)a＋2b－c＝(6，1)＋2(－2，3)－(2，2)＝(0，5)． (2)假设存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb， 则(2，2)＝λ(6，1)＋μ(－2，3)⇒⇒即存在实数λ＝μ＝满足等式． 知识点二　向量共线问题 3．(2024·江苏镇江实验高级中学高一期中)下列各组向量中，共线的一组是(　　) A．a＝(－2，3)，b＝(4，6) B．a＝(2，3)，b＝(3，2) C．a＝(1，－2)，b＝(7，14) D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4) 答案：D 解析：对于A，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；对于B，2×2－3×3＝－5≠0，∴a与b不平行；对于C，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；对于D，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b．故选D． 4．(2024·福建德化一中、永安一中、漳平一中三校协作高一联考)已知a＝(k＋3，3－k)，b＝(－1，2)，若a∥b，则实数k的值为(　　) A．2 B．9 C．－9 D．－2 答案：C 解析：∵a∥b，∴2(k＋3)－(3－k)×(－1)＝0，解得k＝－9．故选C． 5．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　) A． B． C．1 D．2 答案：B 解析：由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，解得λ＝．故选B． 6．(2024·河南商丘第一高级中学高一月考)已知平面内的三点A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1)． (1)若＝，求点D的坐标； (2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值． 解：(1)设D(x，y)，因为A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1)， 所以＝(1，－5)，＝(x－4，y－1)， 因为＝，所以 解得所以D(5，－4)． (2)由题意得，a＝(1，－5)，b＝(2，3)， 所以ka－b＝(k－2，－5k－3)，a＋3b＝(7，4)． 因为ka－b与a＋3b平行， 所以4(k－2)－7(－5k－3)＝0， 解得k＝－．所以实数k的值为－． 知识点三　三点共线问题 7．(2024·河北省名校联盟高一4月联考)已知平面内的三点A(2，3)，B(－1，m)，C(－7，n)，若A，B，C三点共线，则3m－n＝(　　) A．6 B．－6 C．3 D．－3 答案：A 解析：由题意得＝(－3，m－3)，＝(－9，n－3)，因为A，B，C三点共线，所以－3(n－3)＝－9(m－3)，得3m－n＝6．故选A． 8．已知＝(1，1)，＝(3，－1)，＝(a，b)． (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系； (2)若＝2，求点C的坐标． 解：由题意知＝－＝(2，－2)， ＝－＝(a－1，b－1)． (1)若A，B，C三点共线，则∥， 即2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0，故a＋b＝2． (2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝(4，－4)， ∴∴ 即点C的坐标为(5，－3)． 一、单项选择题 1．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝(　　) A．(5，7) B．(5，9) C．(3，7) D．(3，9) 答案：A 解析：因为a＝(2，4)，b＝(－1，1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5，7)．故选A． 2．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为(　　) A．－1 B．－ C． D．1 答案：B 解析：因为u＝a＋kb＝(1，2＋k)，v＝2a－b＝(2，3)，u∥v，所以3－2(2＋k)＝0，解得k＝－．故选B． 3．(2024·江西临川一中高一期中)已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝－2，则点P的坐标是(　　) A．(2，4) B．(－14，16) C．(6，1) D．(2，－11) 答案：A 解析：设P(x，y)，则＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x，7－y)，由＝－2，得解得所以点P的坐标为(2，4)．故选A． 4．(2024·河南省名校联盟高一质量检测)若P1(2，4)，P2(5，1)，且P是线段P1P2上靠近点P1的一个三等分点，则点P的坐标为(　　) A．(2，1) B．(2，2) C．(3，1) D．(3，3) 答案：D 解析：∵P是线段P1P2上靠近点P1的一个三等分点，∴＝．设P(x，y)，则＝(x－2，y－4)，＝(3，－3)，∴解得∴P(3，3)．故选D． 5．(2024·山东东营期末)如图，已知||＝||＝1，||＝，⊥，∠AOC＝30°，则(　　) A．＝2＋ B．＝2－ C．＝＋ D．＝＋2 答案：A 解析：建立如图所示的直角坐标系，∵||＝||＝1，||＝，⊥，∠AOC＝30°，∴B(0，1)，C(，0)，A，设＝λ＋μ，∴(，0)＝λ＋μ(0，1)，∴解得所以＝2＋．故选A． 二、多项选择题 6．(2024·广东湛江期末)已知向量＝(1，2)，＝(2，3)，＝(m＋2，3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　) A．0 B．1 C．－1 D．－2 答案：BCD 解析：因为＝(1，2)，＝(2，3)，＝(m＋2，3－m)，所以＝(1，1)，＝(m，－m)，若点A，B，C能构成三角形，即A，B，C不共线，则，不共线，可得－m≠m，即m≠0．故选BCD． 7．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且＝＋t，下列结论正确的是(　　) A．若点P在x轴上，则t＝－ B．若点P在y轴上，则t＝－ C．若点P在第二象限，则－＜t＜－ D．存在t，使得四边形OABP为平行四边形 答案：ABC 解析：由已知得＝(1，2)，＝(4，5)，＝(3，3)，＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．对于A，若点P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－，A正确；对于B，若点P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－，B正确；对于C，若点P在第二象限，则有解得－<t<－，C正确；对于D，＝－＝(4，5)－(1＋3t，2＋3t)＝(3－3t，3－3t)，若四边形OABP是平行四边形，则有＝，即有3－3t＝1，且3－3t＝2，这显然是不可能的，因此四边形OABP不可能是平行四边形，D错误．故选ABC． 三、填空题 8．已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________． 答案：或 解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b．由得又点B在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以点B的坐标为或． 9．(2024·江西临川一中高一月考)已知向量a＝(m，2)，b＝(3，2m＋1)方向相同，那么实数m的值为________． 答案： 解析：由向量a＝(m，2)，b＝(3，2m＋1)共线，得m(2m＋1)－6＝0，即2m2＋m－6＝0，解得m＝－2或m＝．当m＝－2时，a＝(－2，2)，b＝(3，－3)＝－a，a与b方向相反，不符合题意；当m＝时，a＝，b＝(3，4)＝2a，a与b方向相同，符合题意．所以实数m的值为． 10．已知△ABC的顶点A(2，3)和重心G(2，－1)，则BC边上的中点的坐标是________． 答案：(2，－3) 解析：设BC边上的中点为D(x，y)，则＝2，∴解得 四、解答题 11．在平面直角坐标系中，已知A，B，C(7－m，0)，t，m∈R，t≠0． (1)若m＝4，P为x轴上的一动点，点A′(1，－2)．当A′，P，B三点共线时，求点P的坐标； (2)若t＝sinθ，θ∈(0，π)，且与的夹角α∈，求m的取值范围． 解：(1)设P(x，0)，∵A′(1，－2)， ∴＝(x－1，2)， ∵m＝4，∴B(4，2)，＝(3，4)， ∵A′，P，B三点共线，即与共线， ∴4(x－1)＝6，解得x＝， 则点P的坐标为． (2)∵t＝sinθ，∴A，＝，＝， ∵与的夹角α∈， ∴·>0恒成立， ∴·＝sinθ＋m－7＋·>0， 又θ∈(0，π)，∴sinθ>0， ∴sin2θ－7sinθ＋msinθ＋16－3m>0， 即(3－sinθ)m<sin2θ－7sinθ＋16， ∵3－sinθ>0， ∴m< ＝恒成立， 令3－sinθ＝k，θ∈(0，π)，则m<， ∵sinθ∈(0，1]，∴2≤k<3， ∵＝k＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当k＝，即k＝2时取等号，即的最小值为5， ∴m<5，则m的取值范围是(－∞，5)． 12．设四边形ABCD的四个顶点分别为A(4，8)，B，C(－2，－1)，D，求AC与BD的交点M的坐标． 解：设M(x，y)，则＝(x－4，y－8)，＝，＝(x＋2，y＋1)，＝． 因为A，M，C三点共线， 所以(x－4)(y＋1)＝(x＋2)(y－8)， 即3x－2y＋4＝0； 因为B，M，D三点共线， 所以(x＋1)(y－7)＝， 即4x＋2y－11＝0， 由得 所以点M的坐标为． 13．[多选](2024·湖北襄阳模拟)在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，＝2，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，P为线段BD上任意一点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值可能是(　　) A．1 B． C． D．3 答案：AB 解析：如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，不妨设AB＝6，AD＝3m，m>0，则A(0，0)，B(6，0)，D(0，3m)，E(3，0)，M(2，m)，N(1，2m)，则＝(2，m)，＝(1，2m)，＝(－6，3m)，＝(6，0)．设＝x，0≤x≤1，则＝＋x＝(6－6x，3mx)，∵＝λ＋μ，∴(6－6x，3mx)＝λ(2，m)＋μ(1，2m)＝(2λ＋μ，mλ＋2mμ)，∴整理得λ＋μ＝2－x，∵x∈[0，1]，∴λ＋μ＝2－x∈[1，2]．故选AB． 14．(2024·江苏盐城阶段练习)已知s，t是正实数，△ABC的三边长为CA＝3，CB＝4，AB＝5，点P是边AB(P与点A，B不重合)上任一点，且＝s·＋t·．若不等式2s＋3t≥mst恒成立，则实数m的取值范围是________． 答案： 解析：以C为原点，CB，CA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则＝(0，1)，＝(1，0)，则＝s·＋t·＝(0，s)＋(t，0)＝(t，s)(0<t<4，0<s<3)，则P(t，s)，又点P在直线AB：y＝－x＋3上，则s＝－t＋3，由2s＋3t≥mst恒成立，可得m≤＝＝恒成立，由0<t<4，可得4<t＋4<8，则(t＋4)＋≥2＝8(当且仅当t＝4－4时，等号成立)，又4＋＝12，8＋＝12，则8≤(t＋4)＋<12，则8－12≤(t＋4)＋－12<0，则≤，则≥＝＋，则实数m的取值范围是． 15．(2024·甘肃定西阶段练习)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线． (1)求实数λ的值； (2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐标； (3)已知D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 解：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2． 因为A，E，C三点共线， 所以存在实数k，使得＝k， 即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)， 得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2． 因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量， 所以解得 (2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)． (3)因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以＝． 设A(x，y)，则＝(3－x，5－y)， 因为＝(－7，－2)，所以 解得即点A的坐标为(10，7)． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$