6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

6．3．2　平面向量的正交分解及坐标表示 6．3．3　平面向量加、减运算的坐标表示 知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示 1．给出下列四种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．故选C． 2．如图所示，向量a，b的坐标分别是(　　) A．(3，4)，(2，－2) B．(2，3)，(－2，－3) C．(2，3)，(2，－2) D．(3，4)，(－2，－3) 答案：C 解析：根据平面直角坐标系，可知a＝2e1＋3e2，b＝2e1－2e2，所以a＝(2，3)，b＝(2，－2)．故选C． 3．在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)． ①＝2i＋3j；②＝3i＋4j；③＝－5i＋j；④＝5i－j． 答案：①③④ 解析：i，j互相垂直，故可构成一个基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故①③④正确． 知识点二　平面向量加、减运算的坐标表示 4．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为(　　) A．2i＋3j B．4i＋2j C．2i－j D．－2i＋j 答案：C 解析：记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j．故选C． 5．(2024·重庆市万州高级中学高一月考)已知＝(5，5)，A(2，3)，则点B的坐标为(　　) A．(8，7) B．(－3，－2) C．(7，8) D．(3，2) 答案：C 解析：设B(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)．又＝(5，5)，所以x＝7，y＝8．所以点B的坐标为(7，8)． 6．已知向量a，b的坐标，求a＋b，a－b的坐标． (1)a＝(－2，4)，b＝(2，3)； (2)a＝(4，3)，b＝(－2，8)； (3)a＝(2，4)，b＝(0，3)． 解：(1)因为a＝(－2，4)，b＝(2，3)，所以a＋b＝(－2，4)＋(2，3)＝(0，7)，a－b＝(－2，4)－(2，3)＝(－4，1)． (2)因为a＝(4，3)，b＝(－2，8)，所以a＋b＝(4，3)＋(－2，8)＝(2，11)，a－b＝(4，3)－(－2，8)＝(6，－5)． (3)因为a＝(2，4)，b＝(0，3)，所以a＋b＝(2，4)＋(0，3)＝(2，7)，a－b＝(2，4)－(0，3)＝(2，1)． 知识点三　平面向量加、减坐标运算的应用 7．(2024·河南南阳一中高一月考)已知点A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，则满足＋＋＝0的点G的坐标为________． 答案： 解析：设点G(x，y)，则＋＋＝(－1－x，4－y)＋(2－x，6－y)＋(3－x，0－y)＝(4－3x，10－3y)＝(0，0)，所以解得即点G的坐标为． 8．已知点A(2，4)，B(5，－3)，＝(2λ＋1，λ－3)．若＝－(λ∈R)，试求λ为何值时： (1)点P在第二、四象限的角平分线上？ (2)点P在第四象限内？ 解：设点P的坐标为(x，y)， 则＝(x，y)－(2，4)＝(x－2，y－4)，－＝(5，－3)－(2，4)－(2λ＋1，λ－3)＝(－2λ＋2，－λ－4)． ∵＝－， ∴则 (1)若点P在第二、四象限的角平分线上， 则－2λ＋4－λ＝0，λ＝． (2)若点P在第四象限内， 则 ∴0<λ<2． 一、单项选择题 1．(2024·福建厦门同安实验中学高一月考)已知平行四边形ABCD中，＝(1，2)，C(5，3)，则点D的坐标为(　　) A．(2，－1) B．(－4，－1) C．(4，1) D．(6，5) 答案：C 解析：设点D的坐标为(x，y)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝，即(1，2)＝(5－x，3－y)，解得即D(4，1)． 2．向量＝(7，－5)，将按向量a＝(3，6)平移后得向量，则的坐标为(　　) A．(10，1) B．(4，－11) C．(7，－5) D．(3，6) 答案：C 解析：与方向相同且长度相等，故＝＝(7，－5)．故选C． 3．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，已知A(1，2)和B(3，2)，则x的值为(　　) A．－1 B．－1或4 C．4 D．1或－4 答案：A 解析：＝(2，0)，由于向量a与相等，所以解得x＝－1．故选A． 4．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　) A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) 答案：A 解析：设C(x，y)，∵A(0，1)，＝(－4，－3)，∴解得∴C(－4，－2)，又B(3，2)，∴＝(－7，－4)．故选A． 5．(2024·江苏常州期末)已知扇形AOB的半径为5，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，＝(5，0)，＝(4，3)，弧的中点为C，则＝(　　) A． B． C．(4，2) D．(2，) 答案：B 解析：令∠AOC＝α，则∠AOB＝2α，tan2α＝＝，解得tanα＝，即＝，又sin2α＋cos2α＝1，α∈，所以sinα＝，cosα＝，C，即C，所以＝．故选B． 二、多项选择题 6．已知＝(－2，4)，则下列说法错误的是(　　) A．点A的坐标是(－2，4) B．点B的坐标是(－2，4) C．当B是原点时，点A的坐标是(－2，4) D．当A是原点时，点B的坐标是(－2，4) 答案：ABC 解析：由题意，向量＝(－2，4)与终点、始点的坐标差有关，∴点A的坐标不一定是(－2，4)，故A错误；同理点B的坐标不一定是(－2，4)，故B错误；当B是原点时，点A的坐标是(2，－4)，故C错误；当A是原点时，点B的坐标是(－2，4)，故D正确．故选ABC． 7．(2024·安徽合肥阶段练习)在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是(　　) A．＝2i＋3j B．＝3i＋4j C．＝－5i＋j D．＝5i＋j 答案：AC 解析：由题图知，＝2i＋3j，＝－3i＋4j，故A正确，B不正确；＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故C正确，D不正确．故选AC． 三、填空题 8．在平面直角坐标系内，已知i，j是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，若a＝i－2j，则向量a用坐标表示为________． 答案：(1，－2) 解析：不妨设i＝(1，0)，j＝(0，1)，则a＝(1，－2)． 9．设x，y为实数，已知点A(－1，3)，B(2，3)，向量a＝(2x＋1，x－3y－4)与相等，则x＝________，y＝________． 答案：1　－1 解析：∵A(－1，3)，B(2，3)，∴＝(3，0)，又向量a＝(2x＋1，x－3y－4)与相等，∴解得 10．(2024·山西怀仁一中高一期中)如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________，＝________，＝________． 答案：(1，－1)　(1，1)　(－1，1) 解析：根据题意，知点A与点B关于y轴对称，与点C关于原点对称，与点D关于x轴对称，又＝(－1，－1)，O为坐标原点，∴A(－1，－1)，∴B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)，∴＝(1，－1)，＝(1，1)，＝(－1，1)． 四、解答题 11．已知a＋b＝(2，－3)，a－b＝(－6，7)，求a和b． 解：设a＝(m，n)，b＝(p，q)， 则有解得 所以a＝(－2，2)，b＝(4，－5)． 12．已知M(0，1)，N(5，8)，A(a，b)，B(x，y)，当A，B两点的坐标满足什么条件时，有＝成立？ 解：∵M(0，1)，N(5，8)，A(a，b)，B(x，y)， ∴＝(5－0，8－1)＝(5，7)，＝(x－a，y－b)． 令＝，得 ∴当且仅当时，＝成立． 13．[多选](2024·河北邢台期末)已知点A(2，5)，B(－1，7)，C(4，－2)，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是(　　) A．(－3，14) B．(－1，0) C．(7，－4) D．(1，0) 答案：ACD 解析：设点D的坐标为(x，y)，当平行四边形为ABCD时，＝，则(－3，2)＝(4－x，－2－y)，解得D(7，－4)；当平行四边形为ABDC时，＝，则(－3，2)＝(x－4，y＋2)，解得D(1，0)；当平行四边形为ADBC时，＝，则(x－2，y－5)＝(－5，9)，解得D(－3，14)．综上，点D的坐标可以是(7，－4)，(1，0)，(－3，14)．故选ACD． 14．已知点A(1，1)，B，且＝(sinα，cosβ)，α，β∈，则α＋β＝________． 答案：或－ 解析：因为＝＝(sinα，cosβ)，所以sinα＝－，cosβ＝．又α，β∈，所以α＝－，β＝或－，所以α＋β＝或－． 15．(2024·福建泉州期中)如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥AC，E为DC上靠近点D的三等分点，G为BC上靠近点C的三等分点，且HI∶IB恰为3∶5，若以A为原点，AD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，，分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量． (1)求的坐标； (2)求的坐标． 解：(1)作EK∥CG交DG于点K， 又AD∥CG，则EK∥AD， ∴＝＝，EK＝CG＝BC＝AD， ∴＝＝9，AH＝AE， ∵＝＋＝＋＝＋(－)， ∴＝＋， ∴＝＝＝＋， ∴的坐标为． (2)∵＝＋＝＋ ＝＋(－)， ∴＝＋＝＋(－)＝， ∴的坐标为． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$