6.3.1 平面向量基本定理-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

6．3．1　平面向量基本定理 知识点一　基底的概念 1．[多选]下列说法中正确的是(　　) A．一个平面内只有唯一一对不共线向量可构成表示该平面内所有向量的基底 B．一个平面内有无数多对不共线向量可构成表示该平面内所有向量的基底 C．零向量不可作为基底中的向量 D．一对不共线的单位向量可以构成该平面的一个基底 答案：BCD 解析：只要平面内一对向量不共线，就可以构成表示该平面内所有向量的一个基底，所以A不正确，B，D正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以C正确．故选BCD． 2．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且{a，b}是一个基底，则实数λ的取值范围是________． 答案： 解析：考虑向量a，b共线，则有λ＝，故当λ≠时，向量a，b不共线，满足{a，b}是一个基底． 知识点二　用基底表示向量 3．在△ABC中，D为BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________． 答案：1 解析：∵＝＋＝＋2＝＋2(－)＝－＋2，∴λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝－1＋2＝1． 4．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，则c＝________(用向量a，b表示)． 答案：a－2b 解析：因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb．则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2．又因为e1，e2不共线，所以解得所以c＝a－2b． 5．在▱ABCD中，设＝a，＝b，试用a，b表示，． 解：解法一(转化法)： 如图，设AC与BD交于点O， 则有＝＝＝a， ＝＝＝b． ∴＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝b＋a． 解法二(方程思想)： 设＝x，＝y， 则有＋＝，－＝且＝＝y， 即∴x＝a－b，y＝a＋b， 即＝a－b，＝a＋b． 知识点三　平面向量基本定理的应用 6．设{e1，e2}是平面内的一个基底，如果＝3e1－2e2，＝4e1＋e2，＝8e1－9e2，求证：A，B，D三点共线． 证明：∵＝3e1－2e2，＝＋＋＝15e1－10e2＝5(3e1－2e2)＝5， 即＝5，∴与共线， 又与有公共点A， ∴A，B，D三点共线． 7．如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且＝2．过点D的直线EF与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F(E，F两点不重合)． (1)用，表示； (2)若＝λ，＝μ，求＋的值． 解：(1)∵＝2，∴＝， ∴＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝＋． (2)∵＝λ，＝μ， ∴＝，＝， ∴＝＋＝＋， 又D，E，F三点共线，且点A在线外， ∴＋＝1，即＋＝3． 一、单项选择题 1．如果{a，b}是一个基底，则下列向量不能构成一个基底的是(　　) A．a＋b与a－b B．a＋2b与2a＋b C．a＋b与－a－b D．a与－b 答案：C 解析：由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D中的两个向量都可以构成一个基底，而a＋b与－a－b共线，不能构成一个基底．故选C． 2．(2024·浙江杭州高一段考)在△ABC中，＝2，＝2，P为线段DE上的动点，若＝λ＋μ，λ，μ∈R，则λ＋μ＝(　　) A．1 B． C． D．2 答案：B 解析：∵＝2，＝2，∴＝，＝．则＝λ＋μ＝λ＋μ．∵P为线段DE上的动点，∴λ＋μ＝1，∴λ＋μ＝． 3．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则＝(　　) A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b C．λa＋b D．a＋b 答案：D 解析：∵＝λ，∴－＝λ(－)，∴(1＋λ)＝＋λ，∴＝·＋＝a＋b．故选D． 4．(2024·湖南阶段练习)在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在线段BE上，若＝x＋，则x＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由题意可知，＝＝(＋)，∵点F在BE上，∴＝λ＋(1－λ)(0≤λ≤1)，∴＝＋，又＝x＋，∴解得故选C． 5．如图，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x＋y，则3x－2y＝(　　) A． B． C．1 D．2 答案：C 解析：由题意，得＝＋＝＋＝＋(－＋＋)＝＋＝＋．∵＝x＋y，∴x＋y＝＋．∵与不共线，∴由平面向量基本定理，得∴3x－2y＝3×－2×＝1．故选C． 二、多项选择题 6．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，△ABC内有一点O，满足＝λ＋μ，且λ>0，μ>0，4λ＋3μ＝2，则CO的可能取值为(　　) A．1 B． C． D．2 答案：BC 解析：设＝，＝，则CM＝CN＝2，＝λ＋μ＝2λ·＋μ·＝2λ＋μ，由4λ＋3μ＝2⇒2λ＋μ＝1，故O，M，N共线，等腰直角三角形CMN中，CO的最小值为点C到MN的距离，则CO的最小值为．又CO的长小于CM的长，即CO小于2，所以CO的取值范围是[，2)．结合选项，可知CO的可能取值为，．故选BC． 7．在△ABC中，D为AB上一点且满足＝3．若P为线段CD上一点，且＝λ＋μ(λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是(　　) A．＝＋ B．4λ＋3μ＝2 C．λμ的最大值为 D．＋的最小值为3 答案：AD 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，故A正确；由＝3，得＝，所以＝＋μ，又D，P，C三点共线，所以＋μ＝1，即4λ＋3μ＝3，故B错误；由λ，μ为正实数，4λ＋3μ＝3≥4，得λμ≤，当且仅当λ＝，μ＝时，等号成立，故C错误；＋＝(4λ＋3μ)＝≥＝3，当且仅当3μ＝2λ时，等号成立，故D正确．故选AD． 三、填空题 8．如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以{a，b}为基底表示向量，则＝________． 答案：b＋a 解析：＝＋＝＋＝＋＝b＋a． 9．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0．若∥，则＝________． 答案： 解析：因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ，所以则＝． 10．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 答案： 解析：∵＝，∴＝4．又＝m＋，∴＝m＋．∵P为BN上一点，∴m＋＝1，即m＝． 四、解答题 11．(2024·河南省新密市第一高级中学高一阶段练习)如图，在△ABC中，＝3，＝3． (1)若＝x＋y，求x＋y的值； (2)若＝a，＝b，试用a，b表示． 解：(1)因为＝＋＝－＋， 所以x＝－1，y＝，故x＋y＝－． (2)因为a＝＝＋，b＝＝＋， 所以a－b＝＋－－＝2＋(＋)＝2＋＝， 故＝a－b． 12．如图，在△ABC中，＝2，＝3．过点F的直线与边AB，AC分别交于点D，E．设＝λ，＝μ，其中λ，μ>0． (1)试用与表示，； (2)证明λ＋2μ为定值，并求此定值． 解：(1)∵＝2，则＝，＝＋＝＋(－)＝＋， 即＋2＝3，又－＝， ∴＝－，＝＋． (2)由(1)及已知得＝＝＝＋， ∵＝λ，＝μ， 则＝，＝， ＝－＝－，＝－＝＋， 又D，F，E三点共线，即∥，即有＝t，t∈R，显然t≠0， 于是－＝＋t·，而向量，不共线， 因此 则＝·， 整理得λ＋2μ＝1，∴λ＋2μ为定值，为1． 13．[多选](2024·福建福州期中)在△ABC中，＝2，E为AB的中点，BD，CE交于点M，则(　　) A．＝＋ B．＝ C．四边形AEMD的面积是△ABC面积的 D．△BMC和△CMD的面积相等 答案：AB 解析：对于A，因为＝2，即D为AC上靠近点A的三等分点，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以A正确；对于B，设＝λ，由E为AB的中点，可得＝－＝－，可得＝＋＝＋λ＝＋λ＝＋(1－λ)，因为B，M，D三点共线，所以＝μ＝＋，所以＋(1－λ)＝＋，可得＝且1－λ＝，解得λ＝，μ＝，即＝，所以B正确；对于C，设△ABC的面积为S，因为＝2，所以S△ABD＝S，又因为E为AB的中点，且＝，所以S△BME＝S△ABD＝S，所以四边形AEMD的面积为S四边形AEMD＝S△ABD－S△BME＝S－S＝S，所以C错误；对于D，由＝，可得S△BMC＝S△BCD，所以S△CMD＝S△BCD，所以△BMC和△CMD的面积不相等，所以D错误．故选AB． 14．(2024·宁夏石嘴山期末)已知△ABC中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足＝＋，则的值为________． 答案： 解析：如图，令＝μ，＝λ，于是＝＋＝＋μ＝＋μ(－)＝(1－μ)＋μ＝λ(1－μ)＋μ，而＝＋，且，不共线，因此μ＝，λ(1－μ)＝，解得λ＝，令＝t，＝k，则＝＋＝＋t＝＋t(－)＝(1－t)＋t＝k(1－t)＋t，从而t＝，因此P是线段CD的中点，所以S△BPE＝S△BPC＝S△BPD，所以＝． 15．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．求证：PD⊥EF． 证明：设＝λ，由四边形ABCD为正方形，PE⊥AB，PF⊥BC， 得＝λ，＝λ， 则＝－＝－λ＝－λ(＋)＝－λ＋(1－λ)， ＝－＝＋λ－λ＝(1－λ)＋λ， 故·＝[－λ＋(1－λ)]·[(1－λ)＋λ] ＝λ(λ－1)||2＋λ(1－λ)||2＋(－2λ＋1)· ＝λ(λ－1)(||2－||2)＋(－2λ＋1)·＝0＋0＝0， 故PD⊥EF． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$