6.2.4 第2课时 向量数量积的运算律及应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

第2课时　向量数量积的运算律及应用 知识点一　平面向量数量积的运算 1．设向量a，b满足|a|＝4，|b|＝9，〈a，b〉＝，则a·(a－b)＝________． 答案：16－18 解析：a·(a－b)＝a2－a·b＝16－4×9×＝16－18． 2．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________． 答案：－16 解析：＝－＝－，＝＋＝＋，∴·＝·＝2－2＝9－×100＝－16． 知识点二　向量的模与夹角问题 3．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．150° 答案：A 解析：∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝．设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝．又0°≤θ≤180°，∴θ＝30°．故选A． 4．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°．若a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________． 答案：∪∪(1，＋∞) 解析：由题意可得a·b＝|a||b|cos60°＝2×3×＝3．又(a＋λb)·(λa＋b)＝λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2，∵a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，∴λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2>0．∵a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，a·b＝3，∴3λ2＋13λ＋3>0．解得λ>或λ<．当λ＝1时，a＋λb与λa＋b共线，其夹角不为锐角，故实数λ的取值范围为∪∪(1，＋∞)． 5．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2． 求：(1)|a＋b|； (2)|3a－4b|． 解：由已知得a·b＝4×2×cos120°＝－4， a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4． (1)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝16＋2×(－4)＋4＝12，所以|a＋b|＝2． (2)因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， 所以|3a－4b|＝4． 6．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由． 解：假设存在满足条件的θ． ∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2． ∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)． ∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0． ∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0． ∴ 解得cosθ∈． 又θ∈[0，π]，∴θ∈． 故存在θ∈，使|a＋b|＝|a－b|成立． 知识点三　垂直问题 7．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 答案：B 解析：由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝2k|a|2＋(3k－8)a·b－12|b|2＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6．故选B． 8．已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b． (1)当m为何值时，c与d垂直？ (2)当m为何值时，c与d共线？ 解：(1)由向量c与d垂直，得c·d＝0，而c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，∴m＝，即当m＝时，c与d垂直． (2)由c与d共线，得存在实数λ，使得c＝λd， ∴3a＋5b＝λ(ma－3b)，即(3－λm)a＝(－5－3λ)b， ∵a与b不共线， ∴解得 即当m＝－时，c与d共线． 一、单项选择题 1．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论中正确的是(　　) A．(a＋b)2＝|a|2＋|b|2 B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．a·(b·c)＝(a·b)·c D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 答案：D 解析：由数量积的运算律知，(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，A错误；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；因为b·c，a·b是数量积，是实数，所以a·(b·c)与向量a共线，(a·b)·c与向量c共线，所以a·(b·c)＝(a·b)·c不一定成立，C错误；D正确．故选D． 2．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a＋b，则cos〈a，c〉＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意可知，|a|＝|b|＝1，∴|c|＝＝＝＝，∴cos〈a，c〉＝＝＝＝．故选A． 3．已知a，b为单位向量，若|a＋b|－|a－b|＝0，则|a－b|＝(　　) A．2 B． C．1 D．0 答案：B 解析：因为|a＋b|－|a－b|＝0，所以|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，即(a＋b)2＝(a－b)2，所以2a·b＝－2a·b，即a·b＝0，所以|a－b|＝＝＝＝．故选B． 4．已知△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点P在CD上，且＝3，则·＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．2 答案：C 解析：因为△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点P在CD上，且＝3，所以·＝(－)·(－)＝·＝·＝－(2＋2)＝－||2＝－．故选C． 5．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为(　　) A．1 B． C． D． 答案：D 解析：∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，∴a与c的夹角为60°．又|a－c|＝＝＝，故|a－c|min＝．故选D． 二、多项选择题 6．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则下列说法正确的是(　　) A．a·b＝－3 B．a2－b2＝5 C．(2a－b)·(a＋3b)＝34 D．|a＋b|＝ 答案：AD 解析：a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×＝－3，A正确；a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5，B错误；(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝8－15－27＝－34，C错误；|a＋b|＝＝＝＝，D正确．故选AD． 7．(2024·湖南长沙阶段练习)已知向量a，b满足|a＋2b|＝|a|，a·b＋a2＝0且|a|＝2，则(　　) A．|b|＝2 B．a＋b＝0 C．|a－2b|＝6 D．a·b＝4 答案：ABC 解析：因为|a＋2b|＝|a|，所以|a＋2b|2＝|a|2，即a2＋4a·b＋4b2＝a2，整理可得a·b＋b2＝0，再由a·b＋a2＝0，且|a|＝2，可得a2＝b2＝4，所以|b|＝2，a·b＝－4，故A正确，D错误；cos〈a，b〉＝＝－1，即〈a，b〉＝π，故向量a，b共线且方向相反，所以a＋b＝0，故B正确；|a－2b|＝＝＝＝6，故C正确．故选ABC． 三、填空题 8．在Rt△ABC中，斜边AB＝4，则·＋·＝________． 答案：16 解析：·＋·＝·＋·＝·(＋)＝2＝||2＝16． 9．如图所示，在△ABC中，∠BCA＝90°，且AC＝BC＝4，点M满足＝3，则·＝________． 答案：4 解析：·＝·＝·＝(－)·＝2＝4． 10．(2024·贵州黔东南州凯里一中高一期中)已知△ABC中，BC＝2，·＝3，＋＋＝0，则||＝________． 答案： 解析：由＋＋＝0，知点O是△ABC的重心，∵||2＝(－)2＝2＋2－2·＝2＋2－6＝4，∴2＋2＝10，||2＝＝ ＝，∴||＝． 四、解答题 11．已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角θ． 解：∵a＋3b与7a－5b垂直， ∴(a＋3b)·(7a－5b)＝0， 即7a2＋16a·b－15b2＝0． ① ∵a－4b与7a－2b垂直， ∴(a－4b)·(7a－2b)＝0， 即7a2－30a·b＋8b2＝0． ② ①－②，整理得2a·b＝b2． ③ 将③代入①，得a2＝b2，∴|a|＝|b|， ∴cosθ＝＝＝， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°． 12．(2024·四川成都蓉城名校联盟高一期中联考)已知|a|＝1，|b|＝2，且向量b在向量a上的投影向量的模为． (1)求|a－b|； (2)设c＝4a－b，d＝a＋2b，若a与b的夹角为锐角，求c·d的值． 解：(1)设向量a与b的夹角为θ， 向量b在向量a上的投影向量的模为 |b||cosθ|＝＝＝， 所以a·b＝±．又|a|＝1，|b|＝2， |a－b|＝＝， 所以当a·b＝时， |a－b|＝＝2； 当a·b＝－时， |a－b|＝＝． (2)由(1)及题设知，a·b＝， 又|a|＝1，|b|＝2， 所以c·d＝(4a－b)·(a＋2b)＝4a2＋7a·b－2b2＝4×1＋7×－2×4＝－． 13．[多选]若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的值可能为(　　) A．－1 B．1 C． D．2 答案：AB 解析：因为a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，所以a·b－c·(a＋b)＋c2≤0，所以c·(a＋b)≥1，又|a＋b|＝＝，故c·(a＋b)≤，而|a＋b－c|＝＝＝，所以≤|a＋b－c|≤1，即－1≤|a＋b－c|≤1．故选AB． 14．设k>0，若向量a，b，c满足|a|∶|b|∶|c|＝1∶k∶3，且b－a＝2(c－b)，则满足条件的k的取值范围是________． 答案： 解析：b－a＝2(c－b)⇒3b＝a＋2c⇒9b2＝a2＋4c2＋4a·c，|a|∶|b|∶|c|＝1∶k∶3⇒9k2＝1＋36＋12cos〈a，c〉，cos〈a，c〉∈[－1，1]⇒9k2∈[25，49]，k>0⇒k∈． 15．(2024·浙江绍兴期中)在△OAB中，已知||＝，||＝1，∠AOB＝45°． (1)求||的值； (2)若＝λ＋μ，且λ＋2μ＝2，求在上的投影向量的模的取值范围． 解：(1)因为－＝， 所以(－)2＝2，2－2·＋2＝2， ||2－2||||cos45°＋||2＝||2， 因为||＝，||＝1， 所以2－2||××＋||2＝1， 即||2－2||＋1＝0，(||－1)2＝0， 所以||＝1． (2)因为＝λ＋μ，且λ＋2μ＝2，所以·＝·＝λ2＋·， 因为||＝，||＝1，∠AOB＝45°，||＝1，所以·＝1＋， 由＝λ＋，得 ||＝＝＝， 所以在上的投影向量的模为 ＝＝·， 当λ<－2时，＝·＝·＝·， 因为λ<－2，所以λ＋<－4， 所以0<·<； 当λ＝0时，＝； 当λ≥－2且λ≠0时，＝·＝·＝·， 当－2≤λ<0时，λ＋≤－4，所以0≤·<， 当λ>0时，λ＋≥4，所以<·≤1． 综上，在上的投影向量的模的取值范围为[0，1]． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$