6.2.4 第1课时 向量数量积的定义及性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

6．2．4　向量的数量积 第1课时　向量数量积的定义及性质 知识点一　向量夹角的概念 1．已知|a|＝|b|＝3，且a与b的夹角为80°，则a＋b与a－b的夹角为________． 答案：90° 解析：如图，作向量＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形，则平行四边形OACB为菱形．∵＝a＋b，＝－＝a－b，⊥，∴a＋b与a－b的夹角为90°． 2．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量b与c的夹角为________． 答案：150° 解析：由题意画出图形，如图，因为a，b的夹角为120°，所以∠CAB＝60°，又|b|＝2|a|，所以∠ACB＝90°，所以∠ABC＝30°，则向量b与c的夹角为150°． 知识点二　平面向量数量积的定义 3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b＝(　　) A． B． C．1＋ D．2 答案：A 解析：a·b＝|a||b|cos60°＝1×1×＝．故选A． 4．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上两点，且AB＝，则·＝(　　) A．－ B． C．2 D． 答案：A 解析：因为AB＝，所以△ABC为等边三角形，所以·＝||||cos120°＝××＝－．故选A． 知识点三　投影向量 5．已知等边三角形ABC的边长为2，则向量在向量上的投影向量为(　　) A．－ B． C．2 D．2 答案：A 解析：在等边三角形ABC中，∵∠A＝60°，∴向量在向量上的投影向量为，∴向量在向量上的投影向量为－．故选A． 6．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，记向量a在向量b上的投影向量为γ，则|γ|＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：D 解析：设向量a与向量b的夹角为θ，与b方向相同的单位向量为e，则a在b上的投影向量γ＝|a|cosθe，则|γ|＝||a|cosθ|＝|2×cos120°|＝1．故选D． 知识点四　平面向量数量积的性质 7．给出以下结论： ①0·a＝0；②若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c；③a2＝|a|2；④(a·b)c＝a(b·c)；⑤|a·b|≤a·b． 其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：①③显然正确；当a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c＝0，此时b与c不一定相等，故②错误；(a·b)c与c共线，而a(b·c)与a共线，a与c方向未知，故④错误；|a·b|＝|a||b||cosθ|，a·b＝|a||b|cosθ，有|a·b|≥a·b，故⑤错误．故选B． 8．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2，求·(＋)的值． 解：如图，由AM＝3， 且＝2，可知||＝2． ∵M为BC的中点， ∴＋＝2＝， ∴·(＋)＝· ＝－2＝－||2＝－4． 知识点五　平面向量数量积的应用 9．已知a·b＝－12，|a|＝4，a与b的夹角为135°，则|b|＝(　　) A．12 B．3 C．6 D．3 答案：C 解析：a·b＝|a||b|cos135°＝－12，又|a|＝4，解得|b|＝6．故选C． 10．已知非零向量a与b的夹角为θ，|b|＝2|a|，a·b＝a2，则θ＝(　　) A．0 B． C． D． 答案：C 解析：因为非零向量a与b的夹角为θ，|b|＝2|a|，a·b＝a2，所以cosθ＝＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝．故选C． 一、单项选择题 1．已知|a|＝4，|b|＝2，当a与b的夹角为时，a·b＝(　　) A．4 B．4 C．8 D．8 答案：B 解析：根据向量数量积的定义得a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝4×2×cos＝4．故选B． 2．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是(　　) A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 答案：B 解析：由＝得四边形ABCD中一组对边平行且相等，即为平行四边形，由·＝0得两条对角线互相垂直，所以四边形ABCD为菱形．故选B． 3．下列关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是(　　) A．两个向量同向共线，则它们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则它们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则它们的夹角是钝角 D．两个向量的数量积是0，则它们互相垂直 答案：C 解析：对于任意的两个非零向量a，b，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，其中〈a，b〉∈[0，π]．若两个非零向量同向共线，则〈a，b〉＝0，cos〈a，b〉＝1，a·b＝|a||b|>0，故A正确；若两个非零向量反向共线，则〈a，b〉＝π，cos〈a，b〉＝－1，a·b＝－|a||b|<0，故B正确；若两个非零向量的数量积是负的，则cos〈a，b〉<0，〈a，b〉∈，故C错误；若两个非零向量的数量积是0，则cos〈a，b〉＝0，〈a，b〉＝，a，b互相垂直，故D正确．故选C． 4．(2024·山东济宁邹城高一期中)已知向量a，b，且|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则向量a在b上的投影向量是(　　) A．－2 B．－2b C．－ D．－b 答案：D 解析：由题设，cos〈a，b〉＝＝－，则向量a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉＝－b． 5．已知a1，a2，…，an是平面内的单位向量，若对任意的1≤i<j≤n(n∈N*)，都有ai·aj<，则n的最大值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 解析：依题意，设单位向量ai与aj的夹角为θ，因为ai·aj<，所以ai·aj＝|ai||aj|cosθ<，则cosθ<，所以<θ≤π，根据题意，正整数n的最大值为－1＝5．故选C． 二、多项选择题 6．(2024·吉林长春期末)正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则·的值可能为(　　) A．－3 B．－1 C．12 D．16 答案：ABC 解析：连接BF与AD相交于点O，由正六边形的几何性质，知BF⊥AD，∠FAO＝60°，正六边形ABCDEF的边长为2，故AO＝AFsin30°＝1，AD＝2EF＝4，故OD＝4－1＝3，故点B在AD上的投影为O，当点G与点D重合时，在上的投影向量为，与方向相同，此时·取得最大值，为AD·OD＝4×3＝12，故当点G与点A重合时，在上的投影向量为，与方向相反，此时·取得最小值，为－OA·AD＝－4，故·∈[－4，12]，A，B，C正确，D错误．故选ABC． 7．已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且S△ABC＝1，则下列结论正确的是(　　) A．·＝0 B．·＝2 C．·＝2 D．||cosB＝|| 答案：ABD 解析：在等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，则AC2＝1，得AC＝，得AB＝2，所以·＝0，A正确；·＝||||·cos45°＝2，B正确；·＝||||·cos135°＝－2，C不正确；向量在上的投影向量的模为||，所以||cosB＝||，D正确．故选ABD． 三、填空题 8．若|a|＝2，b＝－2a，则a·b＝________． 答案：－8 解析：|b|＝2|a|＝4，且b与a反向，∴〈a，b〉＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×4×(－1)＝－8． 9．已知e为单位向量，a与e的夹角是120°，而a在e上的投影向量的模为2，则|a|＝________． 答案：4 解析：因为||a|cos120°|＝2，所以|a|＝2，所以|a|＝4． 10．如图所示，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则·＋·＋·＝________． 答案：－ 解析：·＝||||cos(180°－∠BAO)，∵||cos(180°－∠BAO)＝－||cos∠BAO＝－||，∴·＝－||2，同理，·＝－||2，·＝－||2，∴·＋·＋·＝－×(62＋72＋82)＝－． 四、解答题 11．(1)已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b； (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求·． 解：(1)①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos0°＝3×6×1＝18； 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos180°＝3×6×(－1)＝－18． ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0． ③当a与b的夹角是60°时， 有a·b＝|a||b|cos60°＝3×6×＝9． (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4， 故BC＝3，且cos∠ABC＝， 设与的夹角为θ，则θ＝180°－∠ABC， ∴·＝－||||cos∠ABC＝－5×3×＝－9． 12．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，＝x＋y． (1)若＝，求x，y的值； (2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值． 解：(1)若＝，则＝＋， 故x＝y＝． (2)因为||＝4，||＝2，∠BOA＝60°， 所以∠OBA＝90°，所以||＝2． 又因为＝3，所以||＝． 所以||＝＝，cos∠OPB＝， 所以与的夹角θ的余弦值为－． 所以·＝||||cosθ＝－3． 13．[多选](2024·河北承德期末)如图，△OAD，△OBC均为等腰直角三角形，O在线段AB上，AO＝AD＝BO＝BC＝2，在扇形COD中，M为的中点，P为上一动点，Q为线段AB上一动点，则(　　) A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量与向量在向量上的投影向量相等 C．当P的位置固定，Q在线段AB上移动时，·为定值 D．当Q的位置固定，P在上移动时，·为定值 答案：ABC 解析：由题意得∠AOD＝∠BOC＝∠MOD＝∠MOC＝，则MO⊥AB，所以与同向，又在上的投影向量为，所以在上的投影向量为，故A正确； 如图，过P作PH⊥AB，垂足为H，与同向，，在上的投影向量均为，故B正确；因为·＝||||cos∠HPQ＝||||，当P的位置固定，Q在线段AB上移动时，||是定值，所以·＝||||是定值，故C正确；当Q的位置固定，P在上移动时，||不是定值，所以·＝||||不是定值，故D错误．故选ABC． 14．(2024·北京顺义期中)如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若·＝1，则·的最小值为________． 答案：－ 解析：因为菱形ABCD的边长为2，所以AO⊥OB，所以·＝||||cos∠BAO＝||2＝1，所以||＝1，所以OB＝＝＝，令OP＝x，x∈[0，]，则PB＝－x，所以·＝－x(－x)＝x2－x＝－，x∈[0，]，则当x＝时，·取得最小值－． 15．已知圆O的一条弦AB的长是定值a，则·是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 解：如图，过O作OC⊥AB于点C， 则cos〈，〉＝， 可得·＝||||cos〈，〉＝||·||·＝||||＝||2＝a2．所以·是定值a2． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$