6.2.3 向量的数乘运算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

6．2．3　向量的数乘运算 知识点一　向量的线性运算 1．已知λ∈R，则下列结论正确的是(　　) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0 答案：C 解析：当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C． 2．(2024·上海市第一中学高一期中)已知＝，＝λ，则实数λ＝________． 答案：－3 解析：∵＝－，∴＝＝(－)，即＝－3，∴λ＝－3． 3．若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________． 答案：b－a 解析：∵(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，∴a－2c＋15c－12b＝0，∴13c＝12b－a，∴c＝b－a． 4．化简下列各式： (1)3(2a－b)－2(4a－2b)＝________； (2)(4a＋3b)－(3a－b)－b＝________； (3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)＝________． 答案：(1)－2a＋b　(2)－a　(3)－11b＋11c 解析：(1)原式＝6a－3b－(8a－4b)＝－2a＋b． (2)原式＝a＋b－a＋b－b＝－a． (3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝－11b＋11c． 知识点二　用已知向量表示其他向量 5．在△ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝，b＝，则＝________(用向量a，b表示)． 答案：a＋b或a＋b 解析：因为D为BC的三等分点，当BD＝BC时，如图1，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b；当BD＝BC时，如图2，所以＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b．综上，＝a＋b或＝a＋b． 　 6．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若＝a，＝b，试用a，b表示向量． 解：因为AB∥CD，且AB＝3CD，所以＝3，＝＝a，所以＝＋＝b＋a． 知识点三　共线问题 7．设e1与e2是两个不共线的向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：B 解析：由题意可得，＝－＝(3e1－2ke2)－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，若A，B，D三点共线，则必存在一个实数λ，使得＝λ，即3e1＋2e2＝λ[(3－k)e1－(2k＋1)e2]＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，整理得(3－3λ＋λk)e1＝(－2kλ－λ－2)e2，因为e1与e2不共线，所以解得故选B． 8．设两个不共线的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？ 解：d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc， 即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，整理，得(2λ＋2μ－2k)e1＝(3λ－3μ－9k)e2． 因为e1与e2不共线，所以 解得λ＝－2μ． 故存在实数λ，μ，使d与c共线，此时λ＝－2μ． 9．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD．求证：M，N，C三点共线． 证明：设＝a，＝b， ∵＝＋＝＋ ＝a＋(－) ＝a＋(b－a)＝a＋b， ＝＋＝a＋b，∴＝， ∴∥， 又MN与MC有公共点M，故M，N，C三点共线． 一、单项选择题 1．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值为(　　) A． B．－ C．－ D． 答案：C 解析：∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|．又a与b反向，∴λ＝－．故选C． 2．(2024·江西吉安期末)在△ABC中，2＝，3＝，则＝(　　) A．－ B．＋ C．＋ D．＋ 答案：B 解析：由题意，知＝，＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋．故选B． 3．如图，在平面内将两块直角三角板拼在一起，已知∠ABC＝45°，∠BCD＝60°．记＝a，＝b，则向量＝(　　) A．a－b B．a＋b C．a＋b D．a－b 答案：B 解析：设AC＝1，则BD＝，即BD＝AC，∵∠ACB＝∠CBD＝90°，则AC∥BD，∴＝＋＝＋＝a＋b．故选B． 4．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　) ①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e； ②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0； ③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)； ④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b． A．①② B．①③ C．② D．③④ 答案：A 解析：由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①符合题意；λa－μb＝0，λa＝μb，故②符合题意；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不符合题意；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不符合题意．故选A． 5．已知O是平面内一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定经过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 答案：B 解析：为与同向的单位向量，为与同向的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同，而＝＋λ，即＝λ，∴点P在∠BAC的角平分线AD上移动，∴点P的轨迹一定经过△ABC的内心．故选B． 二、多项选择题 6．已知e1，e2是不共线的向量，下列向量a，b共线的是(　　) A．a＝e1，b＝－2e2 B．a＝e1－3e2，b＝－2e1＋6e2 C．a＝3e1－e2，b＝2e1－e2 D．a＝e1＋e2，b＝e1－3e2 答案：BC 解析：因为e1，e2是不共线的向量，所以e1，e2都不是零向量．对于A，若a与b共线，则e1，e2共线，这与已知矛盾，所以a与b不共线；对于B，因为b＝－2e1＋6e2＝－2(e1－3e2)＝－2a，所以a与b共线；对于C，因为b＝2e1－e2＝＝a，所以a与b共线；对于D，若a与b共线，则存在实数λ∈R，使a＝λb，即e1＋e2＝λ(e1－3e2)，所以(1－λ)e1＋(1＋3λ)e2＝0，因为e1，e2是不共线向量，所以方程组无解，所以a与b不共线．故选BC． 7．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A．若＝＋，则点M是边BC的中点 B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝＋，则△MBC的面积是△ABC面积的 答案：ACD 解析：若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；若＝2－，即有－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；若＝＋，可得2＝＋，设＝2，则由上图可得M为△ABC中BC边上的中线AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．故选ACD． 三、填空题 8．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为________． 答案：1 解析：由于c与d同向，所以可设c＝kd(k>0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得(λ－k)a＝(2λk－k－1)b．由于a，b不共线，所以整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－．又k>0，所以λ>0，故λ＝1． 9．已知两个不共线向量e1，e2，且＝e1＋λe2，＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，若A，B，D三点共线，则λ的值为________． 答案：－ 解析：由＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，得＝＋＝5e1－3e2，又＝e1＋λe2，且A，B，D三点共线，所以存在实数μ，使得＝μ，即e1＋λe2＝μ(5e1－3e2)，即(1－5μ)e1＝(－λ－3μ)e2，又e1，e2不共线，所以所以λ＝－． 10．(2024·江苏镇江开学考试)若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|(－)＋(－)|，则△ABC的形状为________． 答案：直角三角形 解析：如图，取BC的中点D，因为|－|＝|(－)＋(－)|，所以||＝|＋|＝|2|＝2||，即AD＝DB＝DC，所以∠DAB＝∠DBA，∠DAC＝∠DCA，所以∠BAC＝∠ABC＋∠ACB，又三角形的内角和为180°，所以∠BAC＝90°，所以△ABC为直角三角形． 四、解答题 11．(1)化简下列各式： ①2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； ②[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]； (2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n． 解：(1)①原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b． ②原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b． (2)把已知中的两个等式看作关于m，n的方程，联立得方程组 解得 12．如图，平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E．求证：BE＝BA． 证明：如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′＝BA，只要证E，E′重合即可． 设＝a，＝b，则＝a，＝b＋a． ∵＝－b，＝a－，3＝， ∴3(－b)＝a－， ∴＝(a＋3b)＝，即＝， ∴O，E′，D三点共线，∴E与E′重合． ∴BE＝BA． 13．[多选](2024·山东泰安期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　) A．＝＋ B．＝－＋ C．＝－ D．＝－＋ 答案：ABD 解析：由向量加法的三角形法则，得＝＋＝＋＝＋，又F为AE的中点，则＝＝＋，故A正确；＝＋＋＝－＋＋＝－＋，故B正确；＝＋＝－＋＋＝－＋，故D正确；＝－＝－＋－＝－－，故C错误．故选ABD． 14．(2024·江苏扬州中学高一期中)已知在平面直角坐标系中，点A(a，0)，点B(0，b)(其中a，b为常数，且ab≠0)，点O为坐标原点，如图．设点P1，P2，…，Pk，…，Pn－1是线段AB的n等分点，则当n＝2025时，|＋＋＋…＋＋|＝________．(用含a，b的式子表示) 答案：1013 解析：设AB的中点为M，则当n＝2025时，由对称性可知，＋＝2，＋＝2，＋＝2，…，∴＋＋＋…＋＋＝ ＝2×1013＝2026，又||＝||＝，∴|＋＋＋…＋＋|＝|2026|＝2026||＝1013． 15．已知点O为△ABC内一点，＋2＋3＝0，求． 解：如图，取BC的中点D，AC的中点E，连接OD，OE， 由＋2＋3＝(＋)＋2(＋)＝2＋4＝0， 得＝－2， 而与有公共点，于是D，O，E三点共线， 因为DE为△ABC的中位线， 所以AB＝2DE，DE∥AB， 又DE＝OE，所以S△AOC＝2S△COE＝2×S△CDE＝×S△ABC＝S△ABC，所以＝3． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$