6.2.2 向量的减法运算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

6．2．2　向量的减法运算 知识点一　向量减法的几何意义 1．若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，用a，b表示向量为(　　) A．a＋b B．－a－b C．－a＋b D．a－b 答案：B 解析：由平行四边形对角线互相平分的性质知＝－，即＝－a，＝－＝－a－b．故选B． 2．如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有________(只填序号)． ①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋． 答案：① 解析：－＋＝＋＝；＋＝＋＝≠；－＝≠；＋＝≠． 3．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c．求作： (1)b＋c－a； (2)a－b－c． 解：(1)如图1，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，所以b＋c－a＝－＝． (2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图2，作▱OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c，连接AE，则＝－＝a－(b＋c)＝a－b－c． 知识点二　向量的减法运算 4．(2024·河南省许平汝漯联盟高一5月大联考)＋－＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：＋－＝－＝．故选B． 5．[多选]下列各式中化简结果为0的是(　　) A．－－ B．－＋－ C．－＋＋ D．＋＋－－ 答案：ABC 解析：对于A，－－＝＋＋＝＋＝0；对于B，－＋－＝＋－(＋)＝－＝0；对于C，－＋＋＝＋＋－＝＋＝0；对于D，＋＋－－＝＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＋＝0＋＝．故选ABC． 知识点三　向量减法的应用 6．如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，||＝8．设＝a，＝b，＝c，则|a－b－c|＝________． 答案：8 解析：如图，延长AD至D′，使DD′＝AD，延长AB至B′，使BB′＝AB，连接B′D′，BD′．b＋c＝，a－b－c＝a－(b＋c)＝a－＝－＝，则|a－b－c|＝||＝＝8． 7．已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求． 解：如图，设＝a，＝b，则＝－＝a－b，＝＋＝a＋b． ∵|a|＝|b|＝|a－b|， ∴OA＝OB＝BA． ∴△OAB为正三角形，且四边形AOBC是菱形．设△OAB的边长为1，则|a－b|＝||＝1，|a＋b|＝2×＝．∴＝＝． 8．如图所示，O是▱ABCD的对角线AC，BD的交点，若＝a，＝b，＝c． 证明：b＋c－a＝． 证明：证法一：因为b＋c＝＋＝＋＝，＋a＝＋＝，所以b＋c＝＋a，即b＋c－a＝． 证法二：＝＋＝＋＋＝c＋＋＝b＋c－＝b＋c－a． 证法三：因为c－a＝－＝－＝＝＋＝－＝－b，所以b＋c－a＝． 一、单项选择题 1．若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法错误的是(　　) A．a∥b B．a≠b C．|a|≠|b| D．b＝－a 答案：C 解析：a，b互为相反向量，则a，b长度相等、方向相反，从而a∥b，|a|＝|b|，b＝－a，a≠b都是正确的．故选C． 2．(2024·陕西延安期末)下列不能化简为的是(　　) A．－＋ B．＋(＋) C．(＋)＋(－) D．＋－ 答案：D 解析：对于A，－＋＝＋＝，故A不符合题意；对于B，＋(＋)＝＋＋＝＋＝，故B不符合题意；对于C，(＋)＋(－)＝＋＋＋＝，故C不符合题意；对于D，＋－＝－≠，故D符合题意．故选D． 3．在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 答案：A 解析：＝＋＝－＋＝a－b＋c．故选A． 4．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是(　　) A．[3，8] B．(3，8) C．[3，13] D．(3，13) 答案：C 解析：∵||＝|－|且|||－|||≤|－|≤||＋||，∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13．故选C． 5．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有(　　) A．A，B，C三点必在一条直线上 B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D．△ABC必为等腰直角三角形 答案：C 解析：以BA，BC为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．故选C． 二、多项选择题 6．(2024·安徽淮北阶段练习)对于任意三个向量a，b，c，下列命题中错误的是(　　) A．|a－b|≤|a|－|b| B．|a＋b|≤|a|＋|b| C．若a，b满足|a|<|b|，且a与b反向，则a>b D．若a∥b，b∥c，则a∥c 答案：ACD 解析：对于A，|a|－|b|≤|a－b|，故A错误；对于B，|a＋b|≤|a|＋|b|，故B正确；对于C，因为向量不能比较大小，故C错误；对于D，取b＝0，则对于任意的向量a，c，都有a∥b，b∥c，故a∥c不一定成立，故D错误．故选ACD． 7．如图，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　) A．＋＋＝0 B．－＋＝0 C．＋－＝0 D．－－＝0 答案：AD 解析：因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以＝，＝，＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝0，故A正确；－＋＝＋－＝＋＝≠0，故B不正确；＋－＝＋＝＋＝≠0，故C不正确；－－＝－＝0，故D正确．故选AD． 三、填空题 8．(2024·河南夏邑第一高级中学高一期中)下列四个等式：①a＋b＝b＋a；②－(－a)＝a；③－－＝0；④a＋(－a)＝0，其中正确的是________．(填序号) 答案：①②③ 解析：由向量的运算律及相反向量的性质可知①②正确；－－＝－＝0，故③正确；对于④，向量的加法运算，结果应为向量，故④错误． 9．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|的值为________． 答案：13 解析：a，b，a－b构成了一个直角三角形，则|a－b|＝＝＝13． 10．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋．若E为AC的中点，则＝________． 答案： 解析：∵向量，，，满足等式＋＝＋，∴－＝－，即＝，则四边形ABCD为平行四边形．∵E为AC的中点，∴E为对角线AC与BD的交点，∴S△EAB＝S△ECB＝S△ADE＝S△DCE，则＝． 四、解答题 11．如图，在▱ABCD中，＝a，＝b． (1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？ (2)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？ 解：(1)＝＋＝a＋b，＝－＝a－b． 若a＋b与a－b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD． 因为当|a|＝|b|时，四边形ABCD为菱形，此时AC⊥BD，故当a，b满足|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直． (2)不可能．因为▱ABCD的两条对角线不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量． 12．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作下列向量并分别求模． (1)a＋b＋c；(2)a－b＋c． 解：(1)由已知得a＋b＝＋＝， 又＝c， ∴如图，延长AC到E， 使||＝||， 则a＋b＋c＝， 且||＝2， ∴|a＋b＋c|＝2． (2)如图，作＝，连接CF， ∴a－b＋c＝－＋＝＋＝＋＝，且||＝2， ∴|a－b＋c|＝2． 13．[多选](2024·内蒙古包头期末)已知A，B，C，D四点不共线，下列等式能判断四边形ABCD为平行四边形的是(　　) A．＝ B．－＝－(O为平面内任意一点) C．＋＝ D．＋＝＋(O为平面内任意一点) 答案：ABC 解析：A，B，C，D四点不共线，对于A，因为＝，所以AB∥DC且AB＝DC，所以四边形ABCD为平行四边形，故A符合题意；对于B，因为－＝－，所以＝，所以AB∥DC且AB＝DC，所以四边形ABCD为平行四边形，故B符合题意；对于C，因为＋＝，即＋＝＋，所以＝，所以AD∥BC且AD＝BC，所以四边形ABCD为平行四边形，故C符合题意；对于D，因为＋＝＋，所以－＝－，所以＝，所以四边形ABDC为平行四边形，故D不符合题意．故选ABC． 14．已知向量a，b，c的模分别为3，4，5，则|a－b＋c|的最大值为________，最小值为________． 答案：12　0 解析：向量a，b，c的模分别为3，4，5，则向量可共线，又|c|2＝|a|2＋|b|2，则以|c|，|a|，|b|为边长可构成直角三角形，则当a，－b，c同向时，|a－b＋c|最大，所以|a－b＋c|max＝|a|＋|－b|＋|c|＝3＋4＋5＝12；当a，－b，c和为0时，|a－b＋c|最小，由于以|c|，|a|，|b|为边长可构成直角三角形，设a＝，b＝，c＝，所以此时a－b＋c＝＋＋＝0，故|a－b＋c|min＝0． 15．如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB和BC的中点，G为AC与BD的交点． (1)若||＝|＋＋|，则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形？说明理由； (2)化简－－，并在图中作出表示该化简结果的向量． 解：(1)由条件知||＝|＋＋|＝||，即AB＝AD， 又四边形ABCD是平行四边形，故四边形ABCD是菱形． (2)由平行四边形及三角形中位线的性质可知＝． 因为E为AB的中点，所以＝， 所以－－＝－－＝＋＋＝． 作出向量如图所示． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$