6.2.1 向量的加法运算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

6．2．1　向量的加法运算 知识点一　向量的加法及几何意义 1．下列命题中，真命题的个数为(　　) ①若a＋b＝0，b＋c＝0，则a＝c；②在△ABC中，必有＋＋＝0；③若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|． A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：①是真命题，∵a＋b＝0，∴a，b的长度相等且方向相反．又b＋c＝0，∴b，c的长度相等且方向相反，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c；②是真命题；③是假命题，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；④是假命题，|a＋b|≤|a|＋|b|．故选C． 2．在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是(　　) A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 答案：D 解析：由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形． 3．若|a|＝|b|＝2，则|a＋b|的取值范围为________；当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向________． 答案：[0，4]　相同 解析：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤4，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，向量a，b的方向相同． 4．如图，已知a，b，求作a＋b． (1) (2) 解：(1)在平面内任取一点O，如图所示， 作＝a，＝b，则＝a＋b． (2)在平面内任取一点A，如图所示， 作＝a，＝b，则＝a＋b． 知识点二　向量加法的运算律 5．已知下列各式： ①＋＋；②(＋)＋＋；③＋＋＋；④＋＋＋． 其中结果为0的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由向量加法的运算法则知①④的结果为0．故选B． 6．▱ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O． 则(1)＋＋＝________； (2)＋＋＝________； (3)＋＋＝________． 答案：(1)　(2)　(3)0 解析：(1)＋＋＝＋＋＝． (2)＋＋＝＋＝． (3)＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝0． 知识点三　向量加法的应用 7．一艘船在水中航行，水流速度的大小与船在静水中航行的速度的大小均为5 km/h．如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km，然后又向西行驶2 km，你知道此船在整个过程中的位移吗？ 解：如图所示，用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知＝＋， ∴可表示两次位移的和位移． 由题意知，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°， 则BC＝AC＝1 km，AB＝ km， 在等腰三角形ACD中，AC＝CD＝2 km， ∴∠D＝∠DAC＝∠ACB＝30°， ∴∠BAD＝60°，AD＝2AB＝2 km， ∴两次位移的和位移的方向是南偏西60°，大小为2 km． 一、单项选择题 1．已知非零向量a，b，c，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案：A 解析：向量加法满足交换律和结合律，所以5个向量均等于a＋b＋c．故选A． 2．(2024·山东济南一中高一月考)＋＋＋＋＝(　　) A． B．0 C． D． 答案：B 解析：＋＋＋＋＝(＋＋)＋(＋)＝0＋0＝0．故选B． 3．有向线段，不平行，则(　　) A．|＋|>|| B．|＋|≥|| C．|＋|≥||＋|| D．|＋|<||＋|| 答案：D 解析：根据向量加法的法则可知|＋|与||和||的关系不确定，由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b共线时取等号，而本题中，不平行，故D正确．故选D． 4．(2024·北京西城期末)如图，在矩形ABCD中，＋＋＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：在矩形ABCD中，＋＋＝＋＝．故选B． 5．(2024·北京市第八十中学高一期中)若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 答案：D 解析：由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|＋|＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D． 二、多项选择题 6．对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是(　　) A．＋＋ B．＋＋ C．＋＋ D．＋＋ 答案：AB 解析：对于A，＋＋＝＋＝；对于B，＋＋＝＋＝；对于C，＋＋＝＋＝；对于D，＋＋＝＋＝． 7．已知△ABC是正三角形，则下列等式中成立的是(　　) A．|＋|＝|＋| B．|＋|＝|＋| C．|＋|＝|＋| D．|＋＋|＝|＋＋| 答案：ACD 解析：对于A，∵|＋|＝||，|＋|＝||＝||，∴|＋|＝|＋|，故A正确；对于B，∵|＋|＝||，|＋|＝2||＝||(D为AC的中点)，故B错误；对于C，∵|＋|＝2||＝||(E为BC的中点)，|＋|＝2||＝||(F为AB的中点)，∴|＋|＝|＋|，故C正确；对于D，∵|＋＋|＝2||，|＋＋|＝2||，∴|＋＋|＝|＋＋|，故D正确． 三、填空题 8．(2024·福建福州第一中学高一期中)若平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b|的取值范围是________． 答案：[1，3] 解析：因为|a＋b|≥||a|－|b||＝1，当且仅当a，b反向时，等号成立，且|a＋b|≤|a|＋|b|＝3，当且仅当a，b同向时，等号成立，所以|a＋b|的取值范围是[1，3]． 9．已知||＝3，||＝3，∠AOB＝60°，则|＋|＝________． 答案：3 解析：如图，由||＝||＝3，∴四边形OACB为菱形．连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D．∵∠AOB＝60°，∴||＝||＝3，||＝，∴|＋|＝||＝×2＝3． 10．设a表示“向东走了2 km”，b表示“向南走了2 km”，c表示“向西走了2 km”，d表示“向北走了2 km”，则 (1)a＋b＋c表示向________走了________ km； (2)b＋c＋d表示向________走了________ km； (3)|a＋b|＝________，a＋b的方向是________． 答案：(1)南　2　(2)西　2 (3)2　东南方向 解析：(1)如图①所示，a＋b＋c表示向南走了2 km． (2)如图②所示，b＋c＋d表示向西走了2 km． (3)如图①所示，|a＋b|＝＝2，a＋b的方向是东南方向． 四、解答题 11．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋． 解：(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝． (2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0． 12．暴雨袭击了某小镇，在一次营救中，小汽艇在静水中的速度的大小是12 km/h，河水的速度的大小是6 km/h．如果小汽艇向着垂直于河岸的方向行驶，那么小汽艇在河水中的实际行驶速度的大小是多少？方向怎样？如果此时必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直于河岸的方向到达对岸，小汽艇的行驶方向又应该怎样？(参考数据：≈2．24，tan63．43°≈2) 解：如图①所示，为小汽艇在静水中的速度， 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则， 知小汽艇的实际速度为＝＋． 在Rt△ADC中，||＝6，||＝||＝12，||＝6≈13．44，tan∠CAD＝2，∴∠CAD≈63．43°， 即小汽艇在河水中的实际行驶速度的大小约为13．44 km/h， 与水流方向的夹角约为63．43°． 如图②所示，欲使小汽艇沿垂直于河岸的方向到达对岸，设小汽艇的实际速度为，则 ＝＋． 在Rt△ABC中，||＝12，||＝6， 从而∠BAC＝30°，∠BAE＝60°， 即小汽艇应沿与河岸成60°角的方向逆水行驶，才能沿垂直于河岸的方向到达对岸． 13．[多选]设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的是(　　) A．a＝0 B．a＋b＝a C．a＋b＝b D．|a＋b|＝|a|＋|b| 答案：ACD 解析：a＝(＋)＋(＋)＝＋＝0，所以A正确；因为b是一个非零向量，所以a＋b＝b，所以B不正确，C正确；因为|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正确．故选ACD． 14．如图所示，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝AiAi＋1(i＝1，2，…，7)，bj＝(j＝1，2，…，8)，则a2＋a5＋b2＋b5＋b7＝________(结果用ai，bj表示)． 答案：b6 解析：由题图可知，a2＋a5＋b2＋b5＋b7＝＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＋＝＝b6． 15．如图，已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证：＋＋＝0． 证明：连接EF(图略)，由题意知，＝＋，＝＋，＝＋． 由D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点可知，＝，＝． 所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝(＋＋＋)＋(＋)＝(＋＋＋＋)＋0＝＋＋＝＋＋＝＋＝0． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$