6.1 平面向量的概念-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

知识点一　平面向量的概念 1．下列物理量中是向量的是(　　) A．质量 B．功 C．温度 D．力 答案：D 解析：质量、功、温度只有大小没有方向，不是向量，故A，B，C错误；力既有大小又有方向，是向量，故D正确． 知识点二　向量的几何表示 2．有下列说法： ①向量的模可以比较大小；②若向量，满足||>||，且与同向，则>；③零向量没有方向；④向量就是有向线段． 其中正确说法的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：对于①，向量的模是数量，可以比较大小，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，零向量有方向，其方向是不确定的，故③错误；对于④，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，故④错误．故选A． 3．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助．试求： (1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程； (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移．(参考数据：sin53°≈0．8) 解：(1)画出如图所示的示意图，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即AB＋BC＝70(n mile)． (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为||＝＝50(n mile)，由于sin∠BAC＝0．8，故方向约为北偏东53°． 知识点三　相等向量与共线向量 4．给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则向量a与b的长度相等且方向相同或相反；②对于任意非零向量a，b，若|a|＝|b|且a与b的方向相同，则a＝b；③非零向量a与非零向量b满足a∥b，则向量a与b方向相同或相反；④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线． 其中正确命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：若|a|＝|b|，则向量a与b的长度相等而方向可以任意，故①不正确；根据相等向量的定义可知②正确；根据共线向量的定义可知③正确；向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线或AB∥CD，故④不正确．综上可知，只有②③正确．故选C． 5．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设△ABC的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， (1)与相等的向量；(2)与共线的向量；(3)与平行的向量． 解：(1)与相等的向量，即与大小相等，方向相同的向量，有，； (2)与共线的向量，即与方向相同或相反的向量，有，，，，； (3)与平行的向量，即与方向相同或相反的向量，有，，，，． 一、单项选择题 1．下列说法正确的是(　　) A．∥就是所在的直线与所在的直线平行 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在一条直线上的向量 答案：C 解析：由定义知，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．故选C． 2．汽车向西走了2 h，速度的大小为120 km/h，摩托车向东北方向走了2 h，速度的大小为45 km/h，则下列命题中正确的是(　　) A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对 答案：C 解析：向量不能比较大小．故选C． 3．(2024·浙江浦江中学、长兴中学、余杭高中三校高一联考)以下说法错误的是(　　) A．平行向量方向相同 B．零向量与单位向量的模不相等 C．零向量与任一非零向量平行 D．平行向量一定是共线向量 答案：A 解析：平行向量的方向可能相同，也可能相反，故A错误；零向量的模长为0，单位向量的模长为1，模不相等，故B正确；零向量与任一非零向量平行，故C正确；平行向量一定是共线向量，故D正确．故选A． 4．如图，在圆O中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．相等向量 答案：C 解析：对于A，因为向量，的起点为O，而向量的起点为A，所以A错误；对于B，因为向量，，方向既不相同也不相反，所以，，不是平行向量，所以B错误；对于C，向量，，的模均为圆O的半径，所以C正确；对于D，因为相等向量是方向相同、长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以D错误．故选C． 5．对于向量a与b，下列说法正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a与b是共线向量 B．若|a|<|b|，则a<b C．若a＝b，则它们的起点相同，终点也相同 D．若a＝b，则|a|＝|b| 答案：D 解析：两个向量的模相等，它们的方向可以是任意的，故A错误；向量不能比较大小，B错误；若a＝b，则它们的起点和终点可以不同，但模相等，C错误，D正确．故选D． 二、多项选择题 6．下列说法正确的是(　　) A．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量 B．若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点 C．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．若a＝b，b＝c，则a＝c 答案：CD 解析：有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故A不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故B不正确；若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则不妨设a为零向量，则a与b共线，这与a与b不共线矛盾，故C正确；若a＝b，则a，b的长度相等且方向相同；若b＝c，则b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c，故D正确．故选CD． 7．(2024·山东菏泽高一期中)设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是(　　) A．＝ B．||＝|| C．＝ D．与共线 答案：AD 解析：由平行四边形的性质可得与长度相等且方向相同，所以＝，故A正确；平行四边形的对角线不一定相等，故B，C错误；与共线，故D正确． 三、填空题 8．如果在一个边长为5的正三角形ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________． 答案： 解析：结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正三角形ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正三角形ABC的高，为． 9．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是边AD，BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为起点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为________． 答案：， 解析：由题意得AB∥EF，CD∥EF，所以在以A，B，C，D四点中的任意两点为起点和终点的所有向量中，与平行的向量为，，，，其中方向相反的向量为，． 10．如图，在△ABC中，∠ACB的角平分线CD交AB于点D，的模为2，的模为3，的模为1，那么的模为________． 答案： 解析：由三角形内角平分线的性质，得||∶||＝||∶||，故||＝． 四、解答题 11．已知四边形ABCD中，＝且||＝||，tanD＝，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 解：四边形ABCD是菱形．理由如下： ∵在四边形ABCD中，＝， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵tanD＝，∴B＝D＝60°． 又||＝||，∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形． 12．某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和． 解：根据题意，在平面内任取一点为A，按照题意要求方向，作线段AB＝4，BC＝6，CD＝4，则向量，和如图所示． 13．[多选]如图所示，四边形ABCD，四边形CEFG，四边形CGHD是完全相同的菱形，则下列结论中一定成立的是(　　) A．||＝|| B．与共线 C．与共线 D．＝ 答案：ABD 解析：由题意可知AB＝EF，AB∥CD∥FG，CD＝FG，而∠DEH不一定等于∠BDC，故BD与EH不一定平行，所以A，B，D一定成立，C不一定成立．故选ABD． 14．如图，在2×4的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量(除本身)共有________个． 答案：39 解析：||与1×2的矩形对角线长相等，在整个2×4的矩形中共能数出10个1×2的矩形，则这些矩形的对角线共有10×2＝20个，向量有方向，每一条对角线有两个方向，则模与的模相等的向量有20×2＝40个，则模与的模相等的向量(除本身)共有40－1＝39个． 15．如图，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是边AD，BC上的点，且＝．求证：＝． 证明：∵＝， ∴||＝||，且AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴||＝||，且DA∥CB． 又与的方向相同，∴＝． 同理可证，四边形CNAM是平行四边形， ∴＝． ∵||＝||，||＝||， ∴||＝||． ∵DN∥MB且与的方向相同， ∴＝． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$