8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第八章　立体几何初步 8.6　空间直线、平面的垂直 8．6．3　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的判定 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　二面角 1．给出下列命题： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角； ②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补； ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系． 其中真命题是(　　) A．①③ B．②④ C．③④ D．①② 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 4 解析：对于①，显然混淆了平面与半平面的概念，①是假命题；对于②，因为a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，②是真命题；对于③，因为所作射线不一定垂直于棱，所以③是假命题；④是真命题．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 5 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小为________． 解析：∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1－AB－C的平面角，大小为45°． 45° 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 6 60° 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 7 知识点二　平面与平面垂直的判定 4．在空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，则下列判断正确的是(　　) A．平面ABD⊥平面BDC B．平面ABC⊥平面ABD C．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED 解析：∵AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，∴BE⊥AC，DE⊥AC，∵BE∩DE＝E，∴AC⊥平面BED，∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BED．故选D．　 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 8 5．设有直线m，n和平面α，β，则下列结论中正确的是(　　) ①若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β； ②若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β； ③若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β； ④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 解析：①错误，当两平面不垂直时，也能在两个平面内找到互相垂直的直线；③错误，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两平面的交线垂直．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 9 知识点三　平面与平面垂直的证明 6．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：平面EFG⊥平面EMN． 证明：∵E，F分别为PB，AB的中点， ∴EF∥PA． ∵AB⊥PA，∴AB⊥EF． 同理，AB⊥FG． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 10 ∵EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG， ∴AB⊥平面EFG． ∵M，N分别为PD，PC的中点，∴MN∥CD． ∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴MN⊥平面EFG． ∵MN⊂平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 11 7．如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O上任意一点，过A作AE⊥PC于E，AF⊥PB于F． 求证：(1)AE⊥平面PBC； (2)平面PAC⊥平面PBC； (3)PB⊥EF． 证明：(1)因为AB是圆O的直径， 所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC． 因为PA⊥圆O所在的平面，即PA⊥平面ABC， 而BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA． 又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 12 因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE． 又AE⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC， 所以AE⊥平面PBC． (2)由(1)知AE⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC， 所以平面PAC⊥平面PBC． (3)因为AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC， 所以AE⊥PB． 又AF⊥PB于F，且AF∩AE＝A，AF，AE⊂平面AEF，所以PB⊥平面AEF． 又EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 13 40分钟综合练 一、单项选择题 1．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的平面角(　　) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 解析：如图所示，设平面ABCN⊥平面BCPQ，平面EFDG⊥平面ABCN，GD⊥平面BCPQ，当平面HDGM绕DG转动时，平面HDGM始终与平面BCPQ垂直，因为二面角H－DG－F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 15 2．如图，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(　　) A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B．它们两两垂直 C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直 D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直 解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，AD⊥PA．又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB．∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．∵AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB．∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB．由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 3．如图所示，在三棱锥P－ABC中，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：∵PA⊥PB，PB⊥PC，PA∩PC＝P，且PA，PC⊂平面PAC，∴PB⊥平面PAC，∵PB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC，又PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC，同理可证平面PAB⊥平面PBC，∴在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有3对．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 17 4．在二面角α－l－β的一个面α内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°，则此二面角的大小是(　　) A．30° B．30°或45° C．45° D．45°或135° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 19 二、多项选择题 6．在棱长都相等的四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列四个结论中成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 20 解析：可画出对应图形，如图所示，由于D，F分别是AB，CA的中点，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故A成立；由题意，知△ABC是等边三角形，且E是BC的中点，所以AE⊥BC，同理可得，PE⊥BC，由BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，又AE∩PE＝E，AE，PE⊂平面PAE，所以DF⊥平面PAE，故B成立；又DF⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PAE，故D成立． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 21 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是(　　) A．A1C1⊥BD B．B1C与BD所成的角为45° C．二面角A1－BC－D的平面角为45° D．平面A1C1B⊥平面BB1D1D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 22 解析：对于A，连接AC，则AC⊥BD．∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正确；对于B，连接A1D，∵B1C∥A1D，∴∠A1DB为B1C与BD所成的角(或其补角)，∵△A1DB为等边三角形，∴B1C与BD所成的角为60°，故B错误；对于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，又AB⊥BC，∴∠ABA1是二面角A1－BC－D的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正确；对于D，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1， 又A1C1⊥BD，BB1∩BD＝B，∴A1C1⊥平面BB1D1D，又 A1C1⊂平面A1C1B，∴平面A1C1B⊥平面BB1D1D，故D正确． 故选ACD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 23 三、填空题 8．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C．若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为________． 解析：如图，∵AB⊥β，l⊂β，∴AB⊥l．∵BC⊥α，l⊂α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC．设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角α－l－β的平面角的大小为60°或120°． 60°或120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 24 9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_____________________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析：连接AC，∵底面ABCD各边都相等，∴AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴PA⊥BD，又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC，∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，PC与平面MBD内两条相交直线垂直，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．　 DM⊥PC(或BM⊥PC等) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 25 10．阅读下面题目及其证明过程，在横线处填写正确的结论：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE． 证明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD． 又AC⊥BD，且AC∩PO＝O，∴________(填序号)． 又BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE． ①BD⊥平面PBC；②AC⊥平面PBD；③BD⊥平面PAC；④AC⊥平面BDE． 解析：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD．又AC⊥BD，且AC∩PO＝O，AC，PO⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴填③． ③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 27 解：(1)取AC的中点D，连接A1D，∵A1A＝A1C，∴A1D⊥AC， ∵平面AA1C1C⊥底面ABC，平面AA1C1C∩底面ABC＝AC，A1D⊂平面AA1C1C， ∴A1D⊥底面ABC， ∴∠A1AC为A1A与底面ABC所成的角， ∵A1A＝A1C且A1A⊥A1C，∴∠A1AC＝45°， 即AA1与平面ABC所成的角为45°． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 30 12．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面 ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB． (1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－ CD－B的大小； (2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由． 解：(1)∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥AD， 又PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD． 又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD， 又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD， ∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 31 又直线PB与CD所成的角为45°， ∴∠PBA＝45°，∴PA＝AB． ∴在Rt△PAD中，PA＝AD，∴∠PDA＝45°， 即二面角P－CD－B的大小为45°． (2)当点E在线段PC上，且满足PE∶EC＝1∶2时，平面EBD⊥平面ABCD．理由如下： 连接AC交BD于点O，连接EO． 由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO， ∴PE∶EC＝AO∶CO＝1∶2，∴PA∥EO． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 32 ∵PA⊥底面ABCD，∴EO⊥底面ABCD． 又EO⊂平面EBD， ∴平面EBD⊥平面ABCD． ∴在线段PC上存在点E，满足PE∶EC＝1∶2时，平面EBD⊥平面ABCD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 38 (2)由(1)知，平面A1BC⊥平面ABC．如图，过A1作A1D⊥BC于点D， ∵平面A1BC∩平面ABC＝BC，A1D⊂平面A1BC，则A1D⊥平面ABC，∴∠A1BD是A1B与平面ABC所成的角，即∠A1BD＝θ． 作DE⊥AC于点E，连接A1E，∵A1D⊥平面ABC， AC⊂平面ABC，∴A1D⊥AC． 又A1D∩DE＝D，A1D，DE⊂平面A1DE， ∴AC⊥平面A1DE． ∵A1E⊂平面A1DE，∴AC⊥A1E，则∠A1ED为二面角A1－AC－B的平面角． 在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝5，得BC＝4． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 39 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 41 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：取AB的中点O，连接VO，CO．∵在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，∴VO⊥AB，CO⊥AB，∴∠VOC是二面角V－AB－C的平面角．∵VO＝eq \r(VA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))\s\up12(2))＝eq \r(4－3)＝1，CO＝eq \r(BC2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2)＝eq \r(4－3)＝1，∴VO＝CO＝VC＝1，△VOC为等边三角形．∴∠VOC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小为60°． 3．在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2eq \r(3)，VC＝1，则二面角V－AB－C的大小为________． 解析：如图所示，设AB与l交于一点C，在AB上任取一点M， 过M作MN⊥β于N，过M作ME⊥l于E，连接NE，则NE⊥l． ∠NEM为二面角α－l－β的平面角或补角，连接NC．∵∠BCE＝ 45°，∠BCN＝30°．设ME＝x，则MC＝eq \r(2)x，MN＝eq \f(\r(2),2)x．在Rt△MNE中，sin∠NEM＝eq \f(MN,ME)＝eq \f(\f(\r(2),2)x,x)＝eq \f(\r(2),2)，∴∠NEM等于45°或135°．故选D． 5．(2024·湖南期末)已知在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且△ABC为等边三角形，则二面角S－AB－C的正切值为(　　) A．eq \f(\r(3),2) 　　　　　B．eq \r(2)　　　　　C．eq \r(3) 　　　　　 D．2 解析：由SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC以及AB＝BC＝AC，可得Rt△SAC≌Rt△SBC，Rt△SAC≌Rt△SAB，故SC＝SA＝SB，进而可得AB＝eq \r(2)SA，不妨设SA＝2，则AB＝2eq \r(2)，取AB的中点M，连接MS，MC，故MS⊥AB，MC⊥AB，故∠SMC即为二面角S－AB－C的平面角，由于SB⊥SC，SA⊥ SC，SA∩SB＝S，SA，SB⊂平面SAB，故SC⊥平面SAB，又 SM⊂平面SAB，故SC⊥SM，tan∠SMC＝eq \f(SC,SM)＝eq \f(2,\f(1,2)AB)＝eq \r(2)．故选B． 四、解答题 11．在多面体ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1∥CC1，平面A1B1C1∥平面ABC，平面AA1C1C⊥底面ABC，BC＝2，AC＝2eq \r(3)，∠ABC＝90°，AA1⊥A1C，且AA1＝A1C． (1)求AA1与平面ABC所成的角； (2)求平面A1ABB1与平面ABC所成二面角的大小； (3)求侧棱BB1到侧面AA1C1C的距离． (2)取AB的中点E，连接DE，则DE∥BC， ∵∠ABC＝90°，∴CB⊥AB，∴DE⊥AB，连接A1E， ∵A1D⊥底面ABC，∴A1E在平面ABC上的射影为DE， ∴A1E⊥AB，∴∠A1ED为侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的平面角． 在等腰直角三角形A1AC中，AC＝2eq \r(3)， ∴A1D＝eq \r(3)，在Rt△ABC中，BC＝2，∴DE＝1， 在Rt△A1DE中，tan∠A1ED＝eq \f(A1D,DE)＝eq \r(3)，∴∠A1ED＝60°，即侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小为60°． (3)过B作BH⊥AC于点H， ∵A1D⊥底面ABC，BH⊂底面ABC， ∴A1D⊥BH， ∵平面AA1C1C⊥底面ABC，平面AA1C1C∩底面ABC＝AC，BH⊥AC， ∴BH⊥平面AA1C1C，在Rt△ABC中，AC＝2eq \r(3)，BC＝2， ∴AB＝2eq \r(2)，∴BH＝eq \f(AB·BC,AD)＝eq \f(2\r(6),3)， 即侧棱BB1到侧面AA1C1C的距离为eq \f(2\r(6),3)． 13．[多选]在如图所示的三棱锥O－ABC中，OA＝OC＝OB＝1，OA⊥平面OBC，∠BOC＝eq \f(π,3)，下列结论正确的是(　　) A．直线AB与平面OBC所成的角为45° B．二面角O－BC－A的正切值为eq \f(\r(3),3) C．O到平面ABC的距离为eq \f(\r(21),7) D．异面直线OC⊥AB 解析：因为OA⊥平面OBC，故∠ABO为直线AB与平面OBC所成的角，又OA＝OB＝1，所以tan∠ABO＝1，故直线AB与平面OBC所成的角是45°，故A正确；取BC的中点D，连接OD，AD，因为OA＝OB＝OC＝1，OA⊥平面OBC，∠BOC＝eq \f(π,3)，OB，OC，OD⊂平面OBC，所以OA⊥OB，OA⊥OC，OA⊥OD，OD＝eq \f(\r(3),2)，BC＝1，OD⊥BC，所以AB＝AC＝eq \r(2)，所以AD⊥BC，故 ∠ODA为二面角O－BC－A的平面角，则tan∠ODA＝eq \f(OA,OD)＝ eq \f(2\r(3),3)，故二面角O－BC－A的正切值为eq \f(2\r(3),3)，故B错误； 因为AB＝AC＝eq \r(2)，BC＝1，所以AD＝eq \f(\r(7),2)，设O到平面ABC的距离为h，则VA－OBC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×1＝VO－ABC＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(\r(7),2)×h，解得h＝eq \f(\r(21),7)，故C正确；若OC⊥AB，又OA⊥平面OBC，OC⊂平面OBC，所以OC⊥OA，又OA∩AB＝A，OA，AB⊂平面OAB，所以OC⊥平面OAB，OB⊂平面OAB，所以OC⊥OB，与∠BOC＝eq \f(π,3)矛盾，故D错误．故选AC． 解析：如图1，由题意，AB＝AC＝2eq \r(2)，∠BAC＝90°，所以BC＝2BD＝2CD＝4，因为BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，即∠BDC＝60°，所以图2中BC＝2，设点B到AC的距离为h，由等面积法可知eq \f(1,2)BC·eq \r(AB2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2)))\s\up12(2))＝eq \f(1,2)AC·h，所以h＝eq \f(\r(14),2)． 14．已知腰长为2eq \r(2)的等腰直角三角形ABC，现沿斜边BC上的高AD翻折，使得二面角B－AD－C的大小为60°，则点B到AC的距离为________． eq \f(\r(14),2) 15．如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，A1B1与A1C，B1C1 都垂直，已知AB＝3，A1A＝AC＝5． (1)求证：平面A1BC⊥平面ABC； (2)直线A1B与底面ABC所成的角θ为多少时，二面角A1－AC－B的余弦值为eq \f(\r(21),14)？ 解：(1)证明：∵A1B1与A1C，B1C1都垂直，由棱台的性质得AB∥A1B1，BC∥B1C1， ∴AB⊥BC，AB⊥A1C． 又BC∩A1C＝C，BC，A1C⊂平面A1BC， ∴AB⊥平面A1BC． 又AB⊂平面ABC， ∴平面A1BC⊥平面ABC． ∵AB⊥平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AB⊥A1B，则A1B＝eq \r(A1A2－AB2)＝4， 在Rt△A1DB中，A1B＝4，A1D＝4sinθ，BD＝4cosθ，DC＝4－4cosθ． 由Rt△ABC∽Rt△DEC，得eq \f(AB,DE)＝eq \f(AC,DC)， 则DE＝eq \f(AB·DC,AC)＝eq \f(12(1－cosθ),5)． ∵cos∠A1ED＝eq \f(\r(21),14)， 则sin∠A1ED＝eq \f(\r(175),14)， ∴tan∠A1ED＝eq \f(A1D,DE)＝eq \f(5,\r(3))， 即eq \f(5sinθ,3(1－cosθ))＝eq \f(5,\r(3))，于是sinθ＋eq \r(3)cosθ＝eq \r(3)， 则2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝eq \r(3)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)， ∵0<θ≤eq \f(π,2)，∴eq \f(π,3)<θ＋eq \f(π,3)≤eq \f(5π,6)，∴θ＋eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3)，∴θ＝eq \f(π,3)． $$