7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第七章　复数 7.2　复数的四则运算 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　复数的加、减运算 1.已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)，则z1－z2在复平面内对应的点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：∵z1＝1＋3i，z2＝3＋i，∴z1－z2＝－2＋2i，故z1－z2在复平面内对应的点(－2，2)在第二象限.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 解析：∵复数z1＋z2＝1－i＋a＋2ai＝1＋a＋(2a－1)i是纯虚数，∴a＋1＝0，2a－1≠0，∴a＝－1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 知识点二　复数加、减运算的几何意义 3.已知复数z1对应的向量的终点在第二象限，复数z2对应的向量的终点在第二象限，那么复数z1＋z2对应的向量的终点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：根据题意并结合向量加法运算的平行四边形法则知，复数z1＋z2对应的向量的终点一定在复数z1，z2对应的向量所在的直线之间，即其终点也是在第二象限.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 知识点三　复数加、减运算几何意义的应用 6.复平面内三点A，B，C分别对应复数1，2i，5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 8.设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足|z－i|2－5|z－i|＋6<0的点Z的集合是什么图形？ 解：∵|z－i|2－5|z－i|＋6<0，∴(|z－i|－2)·(|z－i|－3)<0，∴2<|z－i|<3. 不等式|z－i|<3的解集是圆|z－i|＝3的内部(不含边界)所有的点组成的集合，不等式|z－i|>2的解集是圆|z－i|＝2的外部(不含边界)所有的点组成的集合， 这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2<|z－i|<3的点Z的集合. 所求的集合是以(0，1)为圆心，2和3为半径的两个圆所 夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 12 40分钟综合练 一、单项选择题 1.计算(10－4i)－(－3＋3i)－5i＝(　　) A.－8i B.13＋8i C.8＋13i D.13－12i 解析：原式＝10－4i＋3－3i－5i＝13－12i.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 14 解析：由题意，知z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－z2＝－2－2i.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 4.(2024·辽宁期末)如果复数z满足z＋|z|＝2＋4i，那么z＝(　　) A.－3＋4i B.3＋4i C.－5＋4i D.5＋4i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 17 5.设z1，z2∈C，若|z1|＝3，|z2－12－5i|＝4，则|z1－z2|的最小值为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 20 三、填空题 8.设a为非零实数，则 (1)满足|z＋a|＝|z－a|的复数z是___________； (2)满足|z＋ai|＝|z－ai|的复数z是________. 解析：(1)满足|z＋a|＝|z－a|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是点(－a，0)与点(a，0)所连线段的垂直平分线，即复数z对应的点在虚轴上，这样的复数z可能是纯虚数也可能是零. (2)满足|z＋ai|＝|z－ai|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是点(0，－a)与点(0，a)所连线段的垂直平分线，即复数z对应的点在实轴上，复数z一定是实数. 纯虚数或零 实数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 21 9.已知f(z＋i)＝3z－2i(z∈C)，则f(i)＝________. 解析：解法一：∵f(z＋i)＝3z－2i＝3z＋3i－5i＝3(z＋i)－5i，则f(z)＝3z－5i，∴f(i)＝3i－5i＝－2i. 解法二：令z＝0可得f(i)＝－2i. －2i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 22 10.设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面内对应的点的轨迹形状是________. 一条直线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 23 四、解答题 11.若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 27 －1或3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 28 15.若复数z1和复数z2满足|z1|＝3，|z2|＝4，|z1＋z2|＝5，求|z1－z2|. 解析：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝a＋bi＋c＋di＝(a＋c)＋(b＋d)i， z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i， 由|z1|＝3，得a2＋b2＝9， 由|z2|＝4，得c2＋d2＝16， 由|z1＋z2|＝5，得(a＋c)2＋(b＋d)2＝25，即a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2＝(a2＋b2)＋(c2＋d2)＋2(ac＋bd)＝25， 解得ac＋bd＝0，所以|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝25，所以|z1－z2|＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 29 　　　　　　　　　　　　　 R 2.设z1＝1－i，z2＝a＋2ai(a∈R)，其中i是虚数单位，若复数z1＋z2是纯虚数，则a的值为(　　) A.1 B.eq \f(1,2) C.0 D.－1 解析：由复数加法、减法的几何意义知，以复平面内对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2eq \r(2). 4.已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2eq \r(2)，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|＝________. 2eq \r(2) 5.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为－1，eq \o(AB,\s\up16(→))对应的复数为2＋2i，eq \o(BC,\s\up16(→))对应的复数为z，且eq \o(z,\s\up16(－))＝4＋4i. (1)求点D对应的复数； (2)求平行四边形ABCD的面积. 解：(1)依题意，点A对应的复数为－1，eq \o(AB,\s\up16(→))对应的复数为2＋2i，∴A(－1，0)，eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，2)，可得B(1，2). 又eq \o(BC,\s\up16(→))对应的复数为z，且eq \o(z,\s\up16(－))＝4＋4i，∴z＝4－4i， ∴eq \o(BC,\s\up16(→))＝(4，－4)，可得C(5，－2). 设点D对应的复数为x＋yi，x，y∈R， ∴eq \o(CD,\s\up16(→))＝(x－5，y＋2)，eq \o(BA,\s\up16(→))＝(－2，－2). ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(CD,\s\up16(→))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－5＝－2，,y＋2＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－4，)) 故点D对应的复数为3－4i. (2)由(1)可知eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，2)，eq \o(BC,\s\up16(→))＝(4，－4)， 可得eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0，∴eq \o(AB,\s\up16(→))⊥eq \o(BC,\s\up16(→)). 又|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝2eq \r(2)，|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝4eq \r(2). 故平行四边形ABCD的面积S＝2eq \r(2)×4eq \r(2)＝16. 解析：|AB|＝|2i－1|＝eq \r(5)，|AC|＝|4＋2i|＝2eq \r(5)，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.∴由A，B，C所构成的三角形是直角三角形.故选A. 解析：复数z对应的点Z(a，b)的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，|1＋eq \r(3)i＋z|表示点Z(a，b)到点M(－1，－eq \r(3))的距离.因为(－1，－eq \r(3))在|z|＝2这个圆上，所以距离最小是0，最大是4.故|1＋eq \r(3)i＋z|的取值范围是[0，4].故选D. 7.若复数z满足|z|＝2，则|1＋eq \r(3)i＋z|的取值范围是(　　) A.[1，3] B.[1，4] C.[0，3] D.[0，4] 2.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，则复数z1－z2＝(　　) A.－1＋2i B.－2－2i C.1＋2i D.1－2i 3.已知复数z满足z＋2eq \o(z,\s\up16(－))＝3＋4i(i是虚数单位)，则|z|＝(　　) A.eq \r(17) B.eq \r(15) C.5 D.3 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，可得z＋2eq \o(z,\s\up16(－))＝a＋bi＋2(a－bi)＝3a－bi，∵z＋2eq \o(z,\s\up16(－))＝3＋4i，∴3a－bi＝3＋4i，解得a＝1，b＝－4，即z＝1－4i，∴|z|＝eq \r(1＋（－4）2)＝eq \r(17).故选A. 解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则z＋|z|＝a＋bi＋eq \r(a2＋b2)＝a＋eq \r(a2＋b2)＋bi＝2＋4i，所以a＋eq \r(a2＋b2)＝2，b＝4，所以a2＋16＝(2－a)2＝a2－4a＋4，解得a＝－3，所以z＝－3＋4i.故选A. 解析：∵|z1|＝3，∴z1在复平面内对应的点表示以原点为圆心，3为半径的圆，∵|z2－12－5i|＝4，∴z2在复平面内对应的点表示以(12，5)为圆心，4为半径的圆.由于两圆圆心的距离为eq \r(122＋52)＝13>3＋4，∴两圆外离，∴两圆上两点的最小距离为13－3－4＝6，即|z1－z2|的最小值为6. 二、多项选择题 6.(2024·黑龙江哈尔滨期中)设复数z1＝2＋i，z2＝－2i(i为虚数单位)，则下列结论正确的是(　　) A.eq \o(z,\s\up16(－))1＝2－I B.z2的虚部是－2 C.z1－z2对应的点位于第一象限 D.|z1＋z2|＝3 解析：因为z1＝2＋i，z2＝－2i，所以eq \o(z,\s\up16(－))1＝2－i，z2的虚部是－2，故A，B正确；又因为z1－z2＝2＋3i，可知z1－z2对应的点为(2，3)，位于第一象限，故C正确；且z1＋z2＝2－i，则|z1＋z2|＝eq \r(22＋（－1）2)＝eq \r(5)，故D错误.故选ABC. 7.已知z1，z2∈C，|z1|＝5，|z2|＝13，且z1＋5i为纯虚数，z1＋z2为实数，则下列说法正确的是(　　) A.z1＝－5i B.z2＝±12－5i C.z1＋eq \o(z,\s\up16(－))2＝12＋10i D.|z1＋z2|＝12 解析：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，且a，b，c，d∈R，∵z1＋5i＝a＋(b＋5)i为纯虚数，且|z1|＝5，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＋5≠0，,\r(a2＋b2)＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝5，))∴z1＝5i，A错误；∵z1＋z2＝5i＋c＋di＝c＋(d＋5)i为实数，且|z2|＝13，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d＋5＝0，,\r(c2＋d2)＝13，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝±12，,d＝－5，))∴z2＝±12－5i，B正确；∵eq \o(z,\s\up16(－))2＝±12＋5i，∴z1＋eq \o(z,\s\up16(－))2＝±12＋10i，C错误；∵z1＋z2＝±12，∴|z1＋z2|＝12，D正确.故选BD. 解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，得eq \r(（x－3）2＋（y＋4）2)＝eq \r(（x＋3）2＋（y－4）2)，化简可得3x－4y＝0，所以复数z在复平面内对应的点的轨迹形状是一条直线. 解：设z＝x＋yi，x，y∈R， 由|z＋2－2i|＝1，得|z－(－2＋2i)|＝1，复数z在复平面内 对应的点的轨迹是以(－2，2)为圆心，1为半径的圆，如图所示， 则|z－2－2i|＝eq \r(（x－2）2＋（y－2）2)，在复平面内表示圆上的点与定点(2，2)的距离，由数形结合，得|z－2－2i|的最小值为3. 12.在平行四边形ABCD中，已知eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i. (1)求eq \o(BC,\s\up16(→))对应的复数； (2)求eq \o(BD,\s\up16(→))对应的复数； (3)求平行四边形ABCD的面积. 解：(1)因为eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))，所以eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→)). 故eq \o(BC,\s\up16(→))对应的复数为z1－z2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i. (2)因为eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→))， 所以eq \o(BD,\s\up16(→))对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i. (3)在平行四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))＝(－1，2)，eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＝(4，3)， 所以cos∠DAB＝eq \f(\o(AB,\s\up16(→))·\o(AD,\s\up16(→)),Ｋ|\o(AB,\s\up16(→))||\o(AD,\s\up16(→))|)＝eq \f(2,\r(5)×5)＝eq \f(2\r(5),25). 因此sin∠DAB＝eq \r(1－cos2∠DAB)＝eq \f(11\r(5),25). 于是平行四边形ABCD的面积为S＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|·|eq \o(AD,\s\up16(→))|sin∠DAB＝eq \r(5)×5×eq \f(11\r(5),25)＝11. 13.[多选](2024·广东东莞阶段练习)已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是(　　) A.若z1∈R，则z1＝eq \o(z,\s\up16(－))1 B.若z1＝eq \o(z,\s\up16(－))2，则|z1|＝|z2| C.若z1＝z2，则|z1|＝|z2| D.若|z1－z2|＝|z1|，则z2＝0 解析：对于A，若z1∈R，则z1＝eq \o(z,\s\up16(－))1，故A正确；对于B，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，因为z1＝eq \o(z,\s\up16(－))2，所以z2＝a－bi，所以|z1|＝eq \r(a2＋b2)，|z2|＝eq \r(a2＋（－b）2)＝eq \r(a2＋b2)，即|z1|＝|z2|，故B正确；对于C，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，由z1＝z2，得a＋bi＝c＋di，即a＝c，b＝d，所以a2＋b2＝c2＋d2，即|z1|＝|z2|，故C正确；对于D，取z1＝2，z2＝1＋eq \r(3)i，则z1－z2＝1－eq \r(3)i，|z1－z2|＝2＝|z1|，此时z2≠0，故D不正确.故选ABC. 解析：由z1＝a(a－3i)＝a2－3ai，z2＝－a＋(a2＋2)i，a∈Z，可得z1＋z2＝a2－a＋(a2－3a＋2)i，a∈Z，则|z1＋z2|＝eq \r(（a2－a）2＋（a2－3a＋2）2)＝2eq \r(10)，a∈Z，整理，得(a－1)2(a2－2a＋2)＝20，即(a－1)2·[(a－1)2＋1]＝20，因为a∈Z，所以(a－1)2∈Z，(a－1)2＋1∈Z且(a－1)2>0，(a－1)2＋1>0，又20＝4×5＝22×(22＋1)，故(a－1)2＝4，解得a＝3或a＝－1. 14.(2024·河南南阳阶段练习)已知复数z1＝a(a－3i)，z2＝－a＋(a2＋2)i，a∈Z，且|z1＋z2|＝2eq \r(10)，则a＝________. $$