7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第七章　复数 7.1　复数的概念 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　复数的概念 1．下列命题中正确的是(　　) A．0是实数不是复数 B．实数集与复数集的交集是实数集 C．复数集与虚数集的交集是空集 D．若实数a与ai对应，则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应 解析：对于A，0是实数也是复数，故A不正确；对于B，实数集与复数集的交集是实数集，故B正确；对于C，复数集与虚数集的交集是虚数集，故C不正确；对于D，当a＝0时，ai＝0，所以实数0在纯虚数集中没有对应元素，故D不正确．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 知识点二　复数的分类 3．已知a，b∈R，则“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 知识点三　复数相等 5．下列说法中正确的个数是(　　) ①如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等；②复数a＋i与b＋3i(a，b∈R)不可能相等；③虚数1＋2ai与1＋3ai(a∈R)不可能相等． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等，①正确；②中两个复数的虚部不相等，又a，b∈R，所以这两个复数不可能相等，②正确；1＋2ai与1＋3ai(a∈R)均为虚数，所以a≠0，所以1＋2ai与1＋3ai(a∈R)不可能相等，③正确．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 6．已知复数z1＝(a＋2b)＋(a－b)i，z2＝－4b＋(2a＋1)i(a，b∈R)，当z1＝z2时，a＋b＝______． －1 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 8．求满足下列条件的实数x，y的值： (1)xi－i2＝y＋2i；(2)(x2＋y2)＋2xyi＝6－6i；(3)(2x－1)－(3－y)i＝0． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 12 40分钟综合练 一、单项选择题 1．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则(　　) A．M∪R＝I B．(∁IM)∪R＝I C．(∁IM)∩R＝R D．M∩(∁IR)＝∅ 解析：根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示，所以M∪RI，(∁IM)∪R＝∁IM，M∩(∁IR)＝M，故A，B，D均错误．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 14 2．已知a∈R，则“a＝－1”是“a2－1＋(a－2)i为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 4．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi为(　　) A．－1＋2i B．－1－2i C．1－2i D．1＋2i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 19 7．复数z满足z＝a＋bi(a，b∈R)且3a－bi＝9＋4i，则(　　) A．z＝3＋4i B．z＝3－4i C．z的虚部为－4 D．z的实部为－3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 20 解析：②显然为实数；③8i2＝－8为实数；④isinπ＝0为实数． ②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 21 9．已知(1＋i)m2＋(7－5i)m＋10－14i＝0，则实数m＝_____． －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 22 10．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，且z1＝z2，则λ的取值范围为_____________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 26 13．[多选]下列命题中不正确的是(　　) A．若z＝a＋bi，a，b∈R，则仅当b≠0时z为纯虚数 B．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 C．若a∈R，则ai为纯虚数 D．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0 解析：对于A，当a＝0且b≠0时，z为纯虚数，故A不正确；对于B，当实部等于零，虚部不等于零时才是纯虚数，故B不正确；对于C，当a≠0时，ai为纯虚数，故C不正确；对于D，z∈R，则a＋|a|＝0，所以a≤0，故D正确．故选ABC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 27 14．已知x，y，θ为实数，且x＋yi＝1＋5cosθ＋(－1＋5sinθ)i，则x2＋y2的最大值为___________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 30 　　　　　　　　　　　　　 R 2．(1＋eq \r(3))i的实部与虚部分别是(　　) A．1，eq \r(3) B．1＋eq \r(3)，0 C．0，1＋eq \r(3) D．0，(1＋eq \r(3))i 解析：(1＋eq \r(3))i的实部为0，虚部为1＋eq \r(3)．故选C． 解析：若a＝b＝0，则(a－b)＋(a＋b)i不是纯虚数；若(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＝0，,a＋b≠0，))即a＝b且a≠－b．故“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的必要不充分条件．故选C． 4．已知m∈R，复数z＝eq \f(m（m＋1）,m－3)＋(m2＋m－12)i，当m为何值时，复数z满足下列条件？ (1)z为实数； (2)z为虚数； (3)z为纯虚数． 解：(1)要使z为实数，m需满足m2＋m－12＝0，且eq \f(m（m＋1）,m－3)有意义，即m－3≠0，解得m＝－4． (2)要使z为虚数，m需满足m2＋m－12≠0，且eq \f(m（m＋1）,m－3)有意义，即m－3≠0，解得m≠3且m≠－4． (3)要使z为纯虚数，m需满足eq \f(m（m＋1）,m－3)＝0，且m2＋m－12≠0，解得m＝0或m＝－1． 解析：依题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝－4b，,a－b＝2a＋1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(6,5)，,b＝\f(1,5)，))所以a＋b＝－eq \f(6,5)＋eq \f(1,5)＝－1． 解析：设(x0，y0)是方程组的实数解． 由已知及复数相等，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(3,2)＝y0，　　　　　　　　①,2（y0＋1）＝4x0， 　　　　②,2x0＋ay0＝9， 　　　　　　③,－(4x0－y0＋b)＝－8，　　　 ④)) 由①②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(5,2)，,y0＝4，))代入③④，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.)) 7．已知关于x，y的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＋2（y＋1）i＝y＋4xi，,（2x＋ay）－（4x－y＋b）i＝9－8i))有实数解，则实数a＝_____，b＝_____． 解：(1)由i2＝－1可得xi＋1＝y＋2i，根据复数相等的充要条件可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.)) (2)根据复数相等的充要条件可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝6，,2xy＝－6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝－\r(3)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)，,y＝\r(3).)) (3)由于0＝0＋0i，则根据复数相等的充要条件可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＝0，,－（3－y）＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝3.)) 解析：当a2－1＋(a－2)i为纯虚数时，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a－2≠0，))解得a＝±1，故“a＝－1”是“a2－1＋(a－2)i为纯虚数”的充分不必要条件．故选A． 3．以－eq \r(5)＋2i的虚部为实部，eq \r(5)i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　) A．2－2i B．－eq \r(5)＋eq \r(5)i C．2＋i D．eq \r(5)＋eq \r(5)i 解析：因为－eq \r(5)＋2i的虚部为2，eq \r(5)i＋2i2＝－2＋eq \r(5)i的实部为－2，所以新复数的实部为2，虚部为－2，即2－2i．故选A． 解析：∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))∴复数x＋yi＝1＋2i．故选D． 5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1＞z2，则a的值为(　　) A．0 B．－1 C．－eq \f(3,2) D．eq \f(1,6) 解析：由z1＞z2，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a2＋3a＝0，,a2＋a＝0，,－4a＋1＞2a，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0或a＝－\f(3,2)，,a＝0或a＝－1，,a＜\f(1,6)，))解得a＝0．故选A． 二、多项选择题 6．若sin2θ－1＋(eq \r(2)cosθ＋1)i是纯虚数，则θ的值可以为(　　) A．－eq \f(π,4) B．eq \f(π,4) C．eq \f(9π,4) D．eq \f(3π,4) 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2θ－1＝0，,\r(2)cosθ＋1≠0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2θ＝2kπ＋\f(π,2)，,θ≠2kπ＋π±\f(π,4)))(k∈Z)，所以θ＝2kπ＋ eq \f(π,4)(k∈Z)．故选BC． 解析：因为3a－bi＝9＋4i，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＝9，,－b＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－4，))所以z＝3－4i，其虚部为－4，实部为3．故选BC． 三、填空题 8．给出下列复数：①－2i，②3＋eq \r(2)，③8i2，④isinπ，⑤4＋i．其中表示实数的是________(填序号)． 解析：把原式整理得，(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，∵m∈R， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋7m＋10＝0，,m2－5m－14＝0，))解得m＝－2． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，7)) 解析：由z1＝z2，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2cosθ，,4－m2＝λ＋3sinθ，))消去m，得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,8))) eq \s\up12(2)－eq \f(9,16)．由于－1≤sinθ≤1，故－eq \f(9,16)≤λ≤7． 四、解答题 11．(2024·重庆月考)若关于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实数a的值． 解：设方程的实根为x＝m， 则3m2－eq \f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,a＝11))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(5,2)，,a＝－\f(71,5).))故实数a的值为11或－eq \f(71,5)． 12．求当实数m为何值时，z＝eq \f(m2－m－6,m＋3)＋(m2＋5m＋6)i分别是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：复数z的实部为eq \f(m2－m－6,m＋3)，虚部为m2＋5m＋6． (1)复数z是实数的充要条件是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝0，,m＋3≠0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2或m＝－3，,m≠－3，)) 即m＝－2． ∴当m＝－2时，复数z为实数． (2)复数z是虚数的充要条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6≠0，,m＋3≠0，))即m≠－3且m≠－2． ∴当m≠－3且m≠－2时，复数z为虚数． (3)复数z是纯虚数的充要条件是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m2－m－6,m＋3)＝0，,m2＋5m＋6≠0，,m＋3≠0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2或m＝3，,m≠－2且m≠－3，,m≠－3，)) 即m＝3． ∴当m＝3时，复数z为纯虚数． 解析：因为x＋yi＝1＋5cosθ＋(－1＋5sinθ)i，所以x2＋y2＝(1＋5cosθ)2＋(－1＋5sinθ)2＝27＋10(cosθ－sinθ)＝27＋10eq \r(2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，又－1≤coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤1，所以(x2＋y2)max＝27＋10eq \r(2)． 27＋10eq \r(2) 15．若实数m，n满足log2(1＋m)＋[logeq \s\do9(\f(1,2))(3－m)]i>log2(n＋2)＋[log2(n2－3n－3)]i，求实数m，n． 解：由log2(1＋m)＋[logeq \s\do9(\f(1,2))(3－m)]i>log2(n＋2)＋[log2(n2－3n－3)]i， 可知复数log2(1＋m)＋[logeq \s\do9(\f(1,2))(3－m)]i与复数log2(n＋2)＋[log2(n2－3n－3)]i均为实数， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\s\do9(\f(1,2))（3－m）＝0，,log2（n2－3n－3）＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝－1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝4，)) 当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝－1))时，两复数为log23和log21＝0，满足log2(1＋m)＋[logeq \s\do9(\f(1,2))(3－m)]i>log2(n＋2)＋[log2(n2－3n－3)]i； 当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝4))时，两复数为log23和log26，log26>log23， 不满足log2(1＋m)＋[logeq \s\do9(\f(1,2))(3－m)]i>log2(n＋2)＋[log2(n2－3n－3)]i． 综上所述，m＝2，n＝－1． $$