6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 6.4　平面向量的应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 2．一船在海面A处望见两灯塔P，Q在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达B处，望见灯塔P在正西方向，灯塔Q在西北方向，则两灯塔的距离为___________海里． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 3．太湖中有一小岛，沿太湖有一条南北方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 5．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是__________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 6．如图，某人在塔AB的正东方向上的C处，在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向步行1 min后到达D处，速度的大小为6 km/h，在D处望见塔的底端B在东北方向上．已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°． (1)该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了多长时间？ (2)求塔高． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 12 北偏东30° 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 13 8．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向，即沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 14 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 15 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 30 三、填空题 8．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1 km，CD＝3 km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠AEC＝150°，则两山顶A，C之间的距离为________ km． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 32 9．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿南偏东75°方向向一小岛靠近，速度的大小为每小时9 n mile，舰艇时速的大小为21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是____ h． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 33 10．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 34 四、解答题 11．某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D．求AB的长度． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 36 12．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙从岛屿A出发沿正北方向航行，航行速度的大小为10 n mile/h，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上． (1)求渔船甲的速度的大小； (2)求sinα的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 39 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 40 960 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 41 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 44 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 45 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　测量距离问题 1．两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离分别为a n mile，2a n mile，灯塔A在观测站的北偏东35°的方向上，灯塔B在观测站的南偏东25°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　) A．3a n mile B．eq \r(7)a n mile C．eq \r(5)a n mile D．eq \r(3)a n mile 解析：由题可知，∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理，得AB＝eq \r(a2＋4a2－2×a×2a×cos120°)＝eq \r(7)a(n mile)．故选B． 解析：如图，在△ABP中，AB＝4，∠ABP＝45°，∠BAP＝60°，∴∠APB＝75°．∴PA＝eq \f(ABsin∠ABP,sin∠APB)＝eq \f(4sin45°,sin75°)＝4(eq \r(3)－1)．又在△ABQ中，∠ABQ＝45°＋45°＝90°，∠PAB＝60°，∴AQ＝2AB＝8．于是PQ＝AQ－PA＝12－4eq \r(3)，∴两灯塔的距离为(12－4eq \r(3))海里． 12－4eq \r(3) 解析：如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km．由正弦定理得eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AB,sin∠ACB)，∴BC＝eq \f(1,sin60°)·sin15°＝eq \f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BCsin75°＝eq \f(\r(6)－\r(2),2\r(3))×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \f(\r(3),6)(km)． eq \f(\r(3),6) 知识点二　测量高度问题 4．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000 m到达点S，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　) A．500eq \r(2) m B．200 m C．1000eq \r(2) m D．1000 m 解析：由题意，得∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°．在△ABS中，∠ASB＝180°－30°－15°＝135°，AB＝eq \f(ASsin135°,sin30°)＝eq \f(1000×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝1000eq \r(2)(m)，∴BC＝ABsin45°＝1000eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝1000(m)．故选D． 解析：如图所示，在△ABD中，由正弦定理得eq \f(AB,sin60°)＝eq \f(20,sin30°)，所以h甲＝AB＝20·eq \f(sin60°,sin30°)＝20eq \r(3)(m)．在△AEC中，由正弦定理得eq \f(EC,sin30°)＝eq \f(AE,sin60°)，EC＝eq \f(20\r(3),3)(m)，所以h乙＝CD＝ED－EC＝AB－EC＝eq \f(40\r(3),3)(m)． 20eq \r(3) m，eq \f(40\r(3),3) m 解：(1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝100 m，D＝180°－135°－30°＝15°， 由正弦定理，得BC＝eq \f(CDsinD,sin∠DBC)＝eq \f(100×sin15°,sin135°)＝eq \f(100×\f(\r(6)－\r(2),4),\f(\r(2),2))＝50(eq \r(3)－1)(m)． 在Rt△ABE中，tanα＝eq \f(AB,BE)， ∵AB为定长， ∴当BE的长最小时，α取最大值60°，此时BE⊥CD． 当BE⊥CD时，在Rt△BEC中， EC＝BCcos∠BCE＝50(eq \r(3)－1)×eq \f(\r(3),2)＝25(3－eq \r(3))(m)． 设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t min， 则t＝eq \f(EC,\f(6000,60))＝eq \f(25（3－\r(3)）,100)＝eq \f(3－\r(3),4)(min)． (2)由(1)知，当α取得最大值60°时，BE⊥CD． 在Rt△BEC中，BE＝BCsin∠BCE＝50(eq \r(3)－1)×eq \f(1,2)＝25(eq \r(3)－1)(m)， ∴在Rt△ABE中，AB＝BEtan60°＝25(eq \r(3)－1)×eq \r(3)＝25(3－eq \r(3))(m)， 即所求塔高为25(3－eq \r(3)) m． 知识点三　测量角度问题 7．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是eq \r(3)a n mile/h，甲船应沿着___________方向前进，才能最快与乙船相遇． 解析：如图，设经过t h两船在C处相遇，则在△ABC中，BC＝at n mile，AC＝eq \r(3)at n mile，B＝180°－60°＝120°，由eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AC,sinB)，得sin∠CAB＝eq \f(BCsinB,AC)＝eq \f(at·sin120°,\r(3)at)＝eq \f(1,2)．∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°．即甲船应沿着北偏东30°方向前进，才能最快与乙船相遇． 解：连接BC．在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里， ∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120° ＝2800，∴BC＝20eq \r(7)海里． 由正弦定理eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠BAC)， 得sin∠ACB＝eq \f(AB,BC)sin∠BAC＝eq \f(\r(21),7)． ∵∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，∴cos∠ACB＝eq \f(2\r(7),7)． ∴cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq \f(2\r(7),7)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(21),7)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(21),14)． 一、单项选择题 1．某人向正东方向走了x km后，向右转150°，然后朝新方向走了3 km，结果他恰好离出发地eq \r(3) km，那么x的值为(　　) A．eq \r(3) B．2eq \r(3) C．eq \r(3)或2eq \r(3) D．5 解析：由题意及余弦定理，得(eq \r(3))2＝32＋x2－2×3xcos30°，解得x＝eq \r(3)或2eq \r(3)．故选C． 2．如图，货轮在海上沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，速度的大小为40 km/h，为了确定货轮的位置，货轮在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行eq \f(1,2) h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是(　　) A．10 km B．10eq \r(2) km C．15 km D．15eq \r(2) km 解析：在△ABC中，BC＝40×eq \f(1,2)＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A＝180°－(30°＋105°)＝45°．由正弦定理得，AC＝eq \f(BCsin∠ABC,sinA)＝eq \f(20sin30°,sin45°)＝10eq \r(2)(km)．故选B． 3．如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18 km，速度为1000 km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1 min后到达B点处看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(精确到0．1 km，参考数据：eq \r(3)≈1．732)(　　) A．11．4 km B．6．6 km C．6．5 km D．5．6 km 解析：∵AB＝1000×eq \f(1,60)＝eq \f(50,3)(km)，∠ACB＝180°－30°－(180°－75°)＝45°，∴BC＝eq \f(AB,sin45°)·sin30°＝eq \f(25\r(2),3)(km)．∴航线离山顶的距离为eq \f(25\r(2),3)×sin75°＝eq \f(25\r(2),3)×sin(45°＋30°)≈11．4(km)．∴山顶的海拔为18－11．4＝6．6(km)．故选B． 4．某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长(　　) A．100eq \r(2) m B．100eq \r(3) m C．50(eq \r(2)＋eq \r(6)) m D．200 m 解析：如图，由条件知，AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°cos30°＋cos45°·sin30°)＝25(eq \r(6)＋eq \r(2))(m)，CD＝100cos75°＝25(eq \r(6)－eq \r(2))(m)，BD＝eq \f(AD,sin30°)·sin60°＝25(3eq \r(2)＋eq \r(6))(m)．所以BC＝BD－CD＝25(3eq \r(2)＋eq \r(6))－25(eq \r(6)－eq \r(2))＝100eq \r(2)(m)．故选A． 5．(2024·重庆期末)某工业园区有A，B，C 3个厂区，其中AB＝6eq \r(3) km，BC＝3 km，∠ABC＝90°，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若∠APB＝90°，则CP的最大值为(　　) A．6 km B．3eq \r(3) km C．6＋3eq \r(3) km D．6eq \r(2) km 解析：设∠ABP＝θ(0°<θ<90°)，则∠PBC＝90°＋θ，在△BAP中，BP＝6eq \r(3)cosθ，在△PBC中，CP2＝BP2＋BC2－2BP·BCcos∠PBC＝108cos2θ＋18eq \r(3)sin2θ＋9＝63＋36eq \r(3)sin(2θ＋60°)，所以当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°时，(CP2)max＝63＋36eq \r(3)，(CP)max＝6＋3eq \r(3)，所以CP的最大值为6＋3eq \r(3) km．故选C． 二、多项选择题 6．海上一艘轮船向正东方向航行，速度的大小为60 n mile/h．在A处测得小岛C在北偏西30°的方向上，小岛D在北偏东30°的方向上，航行20 min后到达B处测得小岛C在北偏西60°的方向上，小岛D在北偏西15°的方向上，则下列说法正确的是(　　) A．B，C之间的距离为20 n mile B．轮船从B处航行至小岛D需eq \f(\r(6),6) h C．C，D之间的距离与B，D之间的距离相等 D．A，D之间的距离为20(eq \r(3)＋eq \r(5)) n mile 解析：在△ABC中，由题意得∠CAB＝120°，∠ABC＝30°， ∠BCA＝30°，AB＝60×eq \f(1,3)＝20(n mile)．由正弦定理eq \f(BC,sin∠CAB)＝ eq \f(AB,sin∠BCA)，得BC＝eq \f(ABsin∠CAB,sin∠BCA)＝eq \f(20×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝20eq \r(3)(n mile)，故A 不正确；在△ABD中，∠DAB＝60°，∠ABD＝75°，∠ADB＝45°．由正弦定理eq \f(BD,sin∠DAB)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，得BD＝eq \f(ABsin∠DAB,sin∠ADB)＝eq \f(20×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝10eq \r(6)(n mile)，eq \f(10\r(6),60)＝eq \f(\r(6),6) h，故B正确； 在△BCD中，由余弦定理得CD2＝(10eq \r(6))2＋(20eq \r(3))2－2×10eq \r(6)×20eq \r(3)×cos45°＝600，解得CD＝10eq \r(6) n mile，BD＝CD，故C正确；在△ABD中，BD＝10eq \r(6) n mile，∠DAB＝60°，AB＝20 n mile，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos∠DAB，即600＝AD2＋400－2AD×20×eq \f(1,2)，解得AD＝10(eq \r(3)＋1) n mile(负值舍去)，故D不正确．故选BC． 7．(2024·广东潮州阶段练习)北江是珠江流域的重要水系之一，发源于江西省信丰县小茅山，流经广东韶关、清远等地，最终在思贤滘与西江相通．如图，在北江的一侧江岸选取两个测量基点A，B，在北江的另一侧江岸选取两个测量基点C，D，若测得CD＝10eq \r(3) km，6∠ABD＝6∠CBD＝3∠ACB＝4∠ACD＝π，则(　　) A．AC＝10eq \r(6) km B．BD＝15eq \r(2) km C．AD＝10eq \r(3) km D．BC＝10eq \r(6) km 解析：由题意可得，∠ABD＝∠CBD＝eq \f(π,6)，∠ACB＝eq \f(π,3)，∠ACD＝eq \f(π,4)，则∠BCD＝eq \f(π,3)＋eq \f(π,4)＝eq \f(7π,12)，∠BDC＝π－eq \f(7π,12)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,4)，∠ABC＝∠ACB＝eq \f(π,3)，所以△ABC是等边三角形，在△BCD中，由正弦定理，得eq \f(BC,sin\f(π,4))＝eq \f(BD,sin\f(7π,12))＝eq \f(10\r(3),sin\f(π,6))，解得BC＝10eq \r(6) km，BD＝15eq \r(2)＋5eq \r(6) km，所以AC＝BC＝10eq \r(6) km．在△ACD中，由余弦定理，得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD＝(10eq \r(6))2＋(10eq \r(3))2－2×10eq \r(6)×10eq \r(3)×eq \f(\r(2),2)＝300，所以AD＝10eq \r(3) km．故选ACD． 2eq \r(7) 解析：依题设，知AB＝1 km，CD＝3 km，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠AEC＝150°．∴AE＝2AB＝2 km，CE＝eq \f(CD,sin60°)＝3×eq \f(2,\r(3))＝2eq \r(3)(km)．在△ACE中，由余弦定理得AC2＝AE2＋CE2－2AE·CEcos150°＝28，∴AC＝2eq \r(7) km，即两山顶A，C之间的距离为2eq \r(7) km． eq \f(2,3) 解析：设舰艇和渔船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t h，则AB＝21t n mile，BC＝9t n mile，AC＝10 n mile，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos120°，解得t＝eq \f(2,3)或t＝－eq \f(5,12)(舍去)． eq \f(10\r(6),3) 解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°．由正弦定理，知x＝eq \f(ABsin∠ABO,sin∠AOB)＝eq \f(10sin45°,sin60°)＝eq \f(10\r(6),3)． 解：在△ABC中，由余弦定理得 cosC＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq \f(82＋52－AB2,2×8×5)＝eq \f(89－AB2,80)， 在△ABD中，由余弦定理得 cosD＝eq \f(AD2＋BD2－AB2,2AD·BD)＝eq \f(72＋72－AB2,2×7×7)＝eq \f(98－AB2,98)． 由∠C＝∠D，得cosC＝cosD， 解得AB＝7，所以AB的长度为7米． 解：(1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12 n mile，AC＝10×2＝20(n mile)． 由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28 n mile． 所以渔船甲的速度的大小为eq \f(BC,2)＝14 n mile/h． (2)在△ABC中，因为AB＝12 n mile，∠BAC＝120°，BC＝28 n mile，∠BCA＝α， 由正弦定理，得eq \f(AB,sinα)＝eq \f(BC,sin120°)， 即sinα＝eq \f(ABsin120°,BC)＝eq \f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq \f(3\r(3),14)． 13．[多选](2024·河南开封期末)如图，在山脚A测 得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a m 到达B处，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高PQ ＝(　　) A．eq \f(asinαsin（γ－β）,sin（γ－α）) B．eq \f(asinαsin（γ－α）,sin（γ－β）) C．eq \f(asinγsin（α－β）,sin（γ－α）)＋asinβ D．eq \f(asinγsin（α－β）,sin（γ－β）)＋asinβ 解析：由题意可知，∠PAQ＝α，∠PBC＝γ，∠PAB＝α－β，∠BAQ＝β，在Rt△APQ， Rt△BPC中，∠APQ＝eq \f(π,2)－α，∠BPQ＝eq \f(π,2)－γ，所以∠APB＝∠APQ－∠BPQ＝γ－α，又 sin∠ABP＝sin[π－(∠APB＋∠BAP)]＝sin(∠APB＋∠BAP)＝sin(γ－α＋α－β)＝sin(γ－β)，在△ABP中，由正弦定理可得eq \f(AB,sin∠APB)＝eq \f(AP,sin∠ABP)，即eq \f(a,sin（γ－α）)＝eq \f(AP,sin（γ－β）)，所以AP＝eq \f(asin（γ－β）,sin（γ－α）)，在Rt△APQ中，PQ＝APsinα＝eq \f(asinαsin（γ－β）,sin（γ－α）)，故A正确，B错误；在△ABP中，由正弦定理可得eq \f(AB,sin∠APB)＝eq \f(PB,sin∠BAP)，即eq \f(a,sin（γ－α）)＝eq \f(PB,sin（α－β）)，所以PB＝eq \f(asin（α－β）,sin（γ－α）)，在Rt△PBC中，PC＝PBsinγ＝eq \f(asinγsin（α－β）,sin（γ－α）)，又CQ＝ABsinβ＝asinβ，所以PQ＝PC＋CQ＝eq \f(asinγsin（α－β）,sin（γ－α）)＋asinβ，故C正确，D错误．故选AC． 14．(2024·四川成都期末)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝45°，点C的仰角∠CAB＝30°，以及∠MAC＝75°．从点C测得∠MCA＝45°，已知山高BC＝480eq \r(3) m，则山高MN＝_____ m． 解析：在△ABC中，因为∠CAB＝30°，∠ABC＝90°，BC＝480eq \r(3) m，所以AC＝eq \f(480\r(3),sin30°)＝960eq \r(3) m，在△AMC中，因为∠MAC＝75°，∠MCA＝45°，可得∠AMC＝60°，因为eq \f(AC,sin∠AMC)＝eq \f(AM,sin∠ACM)，所以AM＝eq \f(960\r(3)×sin45°,sin60°)＝960eq \r(2) m，在Rt△AMN中，MN＝AM·sin∠MAN＝960eq \r(2)×sin45°＝960 m． 15．(2024·广东肇庆阶段练习)成都天府绿道专为骑行而建， 以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花 香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道 沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道AB一侧规划一 个三角形区域ABC做绿化，如图，已知∠CAB＝eq \f(π,3)． (1)若AC＝100米，求BC的长； (2)绿化完成后，某游客在绿道AB的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从A到D，再从D到B，然后从B到D，最终返回D点拍照．已知∠ADB＝eq \f(π,3)，求游客所走路程的最大值． 解：(1)在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠CAB＝1002＋2002－2×100×200×eq \f(1,2)＝30000， 所以BC＝100eq \r(3)米． (2)因为∠ADB＝eq \f(π,3)，所以∠DAB∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，记∠DAB＝θ，由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ADB)＝eq \f(BD,sin∠DAB)＝eq \f(AD,sin∠ABD)， 即eq \f(200,sin\f(π,3))＝eq \f(BD,sinθ)＝eq \f(AD,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ)))，所以BD＝eq \f(400\r(3),3)sinθ，AD＝eq \f(400\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))，AD＋2BD＝eq \f(400\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＋eq \f(800\r(3),3)sinθ＝eq \f(400\r(3),3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosθ＋\f(5,2)sinθ))＝eq \f(400\r(21),3)sin(θ＋φ)，其中sinφ＝eq \f(\r(3),2\r(7))，cosφ＝eq \f(5,2\r(7))，所以当sin(θ＋φ)＝1时，AD＋2BD的最大值为eq \f(400\r(21),3)． 即游客所走路程的最大值为eq \f(400\r(21),3)米． $$