6.2.1 向量的加法运算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 4 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 5 解析：由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 6 3．若|a|＝|b|＝2，则|a＋b|的取值范围为________；当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向________． 解析：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤4，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，向量a，b的方向相同． [0，4] 相同 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 7 4．如图，已知a，b，求作a＋b． (1) (2) 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 8 解析：由向量加法的运算法则知①④的结果为0．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 9 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 10 知识点三　向量加法的应用 7．一艘船在水中航行，水流速度的大小与船在静水中航行的速度的大小均为5 km/h．如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km，然后又向西行驶2 km，你知道此船在整个过程中的位移吗？ 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 11 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 12 40分钟综合练 一、单项选择题 1．已知非零向量a，b，c，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：向量加法满足交换律和结合律，所以5个向量均等于a＋b＋c．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 21 三、填空题 8．(2024·福建福州第一中学高一期中)若平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b|的取值范围是________． 解析：因为|a＋b|≥||a|－|b||＝1，当且仅当a，b反向时，等号成立，且|a＋b|≤|a|＋|b|＝3，当且仅当a，b同向时，等号成立，所以|a＋b|的取值范围是[1，3]． [1，3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 23 10．设a表示“向东走了2 km”，b表示“向南走了2 km”，c表示“向西走了2 km”，d表示“向北走了2 km”，则 (1)a＋b＋c表示向____走了____ km； (2)b＋c＋d表示向____走了____ km； (3)|a＋b|＝________，a＋b的方向是__________． 南 2 西 2 东南方向 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 30 b6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 32 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　向量的加法及几何意义 1．下列命题中，真命题的个数为(　　) ①若a＋b＝0，b＋c＝0，则a＝c；②在△ABC中，必有eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→))＝0；③若eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→))＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：①是真命题，∵a＋b＝0，∴a，b的长度相等且方向相反．又b＋c＝0，∴b，c的长度相等且方向相反，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c；②是真命题；③是假命题，当A，B，C三点共线时，也满足eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→))＝0；④是假命题，|a＋b|≤|a|＋|b|．故选C． 2．在四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \o(AC,\s\up14(→))，则四边形ABCD是(　　) A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 解：(1)在平面内任取一点O，如图所示， 作eq \o(OA,\s\up14(→))＝a，eq \o(AB,\s\up14(→))＝b，则eq \o(OB,\s\up14(→))＝a＋b． (2)在平面内任取一点A，如图所示， 作eq \o(AB,\s\up14(→))＝a，eq \o(BC,\s\up14(→))＝b，则eq \o(AC,\s\up14(→))＝a＋b． 知识点二　向量加法的运算律 5．已知下列各式： ①eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→))；②(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(MB,\s\up14(→)))＋eq \o(BO,\s\up14(→))＋eq \o(OM,\s\up14(→))；③eq \o(OA,\s\up14(→))＋eq \o(OC,\s\up14(→))＋eq \o(BO,\s\up14(→))＋eq \o(CO,\s\up14(→))；④eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→))＋eq \o(BD,\s\up14(→))＋eq \o(DC,\s\up14(→))． 其中结果为0的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 0 解析：(1)eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(DO,\s\up14(→))＝eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \o(DO,\s\up14(→))＝eq \o(AO,\s\up14(→))． (2)eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))＝eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))＝eq \o(AD,\s\up14(→))． (3)eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(BA,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→))＝eq \o(DA,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(BA,\s\up14(→))＝eq \o(DC,\s\up14(→))＋eq \o(BA,\s\up14(→))＝eq \o(DC,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))＝0． 6．▱ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O． 则(1)eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(DO,\s\up14(→))＝________； (2)eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))＝________； (3)eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(BA,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→))＝________． eq \o(AO,\s\up14(→)) eq \o(AD,\s\up14(→)) 解：如图所示，用eq \o(AC,\s\up14(→))表示船的第一次位移，用eq \o(CD,\s\up14(→))表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))， ∴eq \o(AD,\s\up14(→))可表示两次位移的和位移． 由题意知，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°， 则BC＝eq \f(1,2)AC＝1 km，AB＝eq \r(3) km， 在等腰三角形ACD中，AC＝CD＝2 km， ∴∠D＝∠DAC＝eq \f(1,2)∠ACB＝30°， ∴∠BAD＝60°，AD＝2AB＝2eq \r(3) km， ∴两次位移的和位移的方向是南偏西60°，大小为2eq \r(3) km． 2．(2024·山东济南一中高一月考)eq \o(AO,\s\up14(→))＋eq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \o(OC,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→))＋eq \o(BO,\s\up14(→))＝(　　) A．eq \o(AB,\s\up14(→)) B．0 C．eq \o(BC,\s\up14(→)) D．eq \o(AC,\s\up14(→)) 解析：eq \o(AO,\s\up14(→))＋eq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \o(OC,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→))＋eq \o(BO,\s\up14(→))＝(eq \o(AO,\s\up14(→))＋eq \o(OC,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→)))＋(eq \o(BO,\s\up14(→))＋eq \o(OB,\s\up14(→)))＝0＋0＝0．故选B． 3．有向线段eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(CD,\s\up14(→))不平行，则(　　) A．|eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))|>|eq \o(AB,\s\up14(→))| B．|eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))|≥|eq \o(CD,\s\up14(→))| C．|eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))|≥|eq \o(AB,\s\up14(→))|＋|eq \o(CD,\s\up14(→))| D．|eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))|<|eq \o(AB,\s\up14(→))|＋|eq \o(CD,\s\up14(→))| 解析：根据向量加法的法则可知|eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))|与|eq \o(AB,\s\up14(→))|和|eq \o(CD,\s\up14(→))|的关系不确定，由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b共线时取等号，而本题中eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(CD,\s\up14(→))不平行，故D正确．故选D． 4．(2024·北京西城期末)如图，在矩形ABCD中，eq \o(AO,\s\up14(→))＋eq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \o(AD,\s\up14(→))＝(　　) A．eq \o(AB,\s\up14(→)) B．eq \o(AC,\s\up14(→)) C．eq \o(AD,\s\up14(→)) D．eq \o(BD,\s\up14(→)) 解析：在矩形ABCD中，eq \o(AO,\s\up14(→))＋eq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \o(AC,\s\up14(→))．故选B． 5．(2024·北京市第八十中学高一期中)若在△ABC中，eq \o(AB,\s\up14(→))＝a，eq \o(BC,\s\up14(→))＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝eq \r(2)，则△ABC的形状是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 解析：由于|eq \o(AB,\s\up14(→))|＝|a|＝1，|eq \o(BC,\s\up14(→))|＝|b|＝1，|eq \o(AC,\s\up14(→))|＝|eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))|＝|a＋b|＝eq \r(2)，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D． 二、多项选择题 6．对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为eq \o(BC,\s\up14(→))的是(　　) A．eq \o(BA,\s\up14(→))＋eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \o(DC,\s\up14(→)) B．eq \o(BD,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→)) C．eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BD,\s\up14(→))＋eq \o(DC,\s\up14(→)) D．eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→)) 解析：对于A，eq \o(BA,\s\up14(→))＋eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \o(DC,\s\up14(→))＝eq \o(BD,\s\up14(→))＋eq \o(DC,\s\up14(→))＝eq \o(BC,\s\up14(→))；对于B，eq \o(BD,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \o(BA,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \o(BC,\s\up14(→))；对于C，eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BD,\s\up14(→))＋eq \o(DC,\s\up14(→))＝eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \o(DC,\s\up14(→))＝eq \o(AC,\s\up14(→))；对于D，eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→))＝eq \o(CA,\s\up14(→))＋eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(CB,\s\up14(→))． 7．已知△ABC是正三角形，则下列等式中成立的是(　　) A．|eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))|＝|eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→))| B．|eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(CB,\s\up14(→))|＝|eq \o(BA,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))| C．|eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))|＝|eq \o(CA,\s\up14(→))＋eq \o(CB,\s\up14(→))| D．|eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))|＝|eq \o(CB,\s\up14(→))＋eq \o(BA,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→))| 解析：对于A，∵|eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))|＝|eq \o(AC,\s\up14(→))|，|eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→))|＝|eq \o(BA,\s\up14(→))|＝|eq \o(AC,\s\up14(→))|， ∴|eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))|＝|eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→))|，故A正确；对于B，∵|eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(CB,\s\up14(→))|＝|eq \o(AB,\s\up14(→))|， |eq \o(BA,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))|＝2|eq \o(BD,\s\up14(→))|＝eq \r(3)|eq \o(AB,\s\up14(→))|(D为AC的中点)，故B错误；对于C， ∵|eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))|＝2|eq \o(AE,\s\up14(→))|＝eq \r(3)|eq \o(AB,\s\up14(→))|(E为BC的中点)，|eq \o(CA,\s\up14(→))＋eq \o(CB,\s\up14(→))|＝2|eq \o(CF,\s\up14(→))|＝eq \r(3)|eq \o(AB,\s\up14(→))|(F为AB的中点)，∴|eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))|＝|eq \o(CA,\s\up14(→))＋eq \o(CB,\s\up14(→))|，故C正确；对于D，∵|eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))|＝2|eq \o(AC,\s\up14(→))|，|eq \o(CB,\s\up14(→))＋eq \o(BA,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→))|＝2|eq \o(CA,\s\up14(→))|，∴|eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))|＝|eq \o(CB,\s\up14(→))＋eq \o(BA,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→))|，故D正确． 9．已知|eq \o(OA,\s\up14(→))|＝3，|eq \o(OB,\s\up14(→))|＝3，∠AOB＝60°，则|eq \o(OA,\s\up14(→))＋eq \o(OB,\s\up14(→))|＝________． 解析：如图，由|eq \o(OA,\s\up14(→))|＝|eq \o(OB,\s\up14(→))|＝3，∴四边形OACB为菱形．连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D．∵∠AOB＝60°，∴|eq \o(AB,\s\up14(→))|＝|eq \o(OA,\s\up14(→))|＝3，|eq \o(OD,\s\up14(→))|＝eq \f(3\r(3),2)，∴|eq \o(OA,\s\up14(→))＋eq \o(OB,\s\up14(→))|＝|eq \o(OC,\s\up14(→))|＝eq \f(3\r(3),2)×2＝3eq \r(3)． 3eq \r(3) 2eq \r(2) 解析：(1)如图①所示，a＋b＋c表示向南走了2 km． (2)如图②所示，b＋c＋d表示向西走了2 km． (3)如图①所示，|a＋b|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，a＋b的方向是东南方向． 四、解答题 11．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： (1)eq \o(DG,\s\up14(→))＋eq \o(EA,\s\up14(→))＋eq \o(CB,\s\up14(→))； (2)eq \o(EG,\s\up14(→))＋eq \o(CG,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→))＋eq \o(EB,\s\up14(→))． 解：(1)eq \o(DG,\s\up14(→))＋eq \o(EA,\s\up14(→))＋eq \o(CB,\s\up14(→))＝eq \o(GC,\s\up14(→))＋eq \o(BE,\s\up14(→))＋eq \o(CB,\s\up14(→))＝eq \o(GC,\s\up14(→))＋eq \o(CB,\s\up14(→))＋eq \o(BE,\s\up14(→))＝eq \o(GB,\s\up14(→))＋eq \o(BE,\s\up14(→))＝eq \o(GE,\s\up14(→))． (2)eq \o(EG,\s\up14(→))＋eq \o(CG,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→))＋eq \o(EB,\s\up14(→))＝eq \o(EG,\s\up14(→))＋eq \o(GD,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→))＋eq \o(AE,\s\up14(→))＝eq \o(ED,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→))＋eq \o(AE,\s\up14(→))＝eq \o(EA,\s\up14(→))＋eq \o(AE,\s\up14(→))＝0． 12．暴雨袭击了某小镇，在一次营救中，小汽艇在静水中的速度的大小是12 km/h，河水的速度的大小是6 km/h．如果小汽艇向着垂直于河岸的方向行驶，那么小汽艇在河水中的实际行驶速度的大小是多少？方向怎样？如果此时必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直于河岸的方向到达对岸，小汽艇的行驶方向又应该怎样？(参考数据：eq \r(5)≈2．24，tan63．43°≈2) 解：如图①所示，eq \o(AB,\s\up14(→))为小汽艇在静水中的速度， eq \o(AD,\s\up14(→))为水流速度，由向量加法的平行四边形法则， 知小汽艇的实际速度为eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AD,\s\up14(→))． 在Rt△ADC中，|eq \o(AD,\s\up14(→))|＝6，|eq \o(DC,\s\up14(→))|＝|eq \o(AB,\s\up14(→))|＝12， |eq \o(AC,\s\up14(→))|＝6eq \r(5)≈13．44，tan∠CAD＝2，∴∠CAD≈63．43°， 即小汽艇在河水中的实际行驶速度的大小约为13．44 km/h， 与水流方向的夹角约为63．43°． 如图②所示，欲使小汽艇沿垂直于河岸的方向到达对岸， 设小汽艇的实际速度为eq \o(AC,\s\up14(→))，则 eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))． 在Rt△ABC中，|eq \o(AB,\s\up14(→))|＝12，|eq \o(BC,\s\up14(→))|＝6， 从而∠BAC＝30°，∠BAE＝60°， 即小汽艇应沿与河岸成60°角的方向逆水行驶，才能沿垂直于河岸的方向到达对岸． 13．[多选]设a＝(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→)))＋(eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→)))，b是一个非零向量，则下列结论正确的是(　　) A．a＝0 B．a＋b＝a C．a＋b＝b D．|a＋b|＝|a|＋|b| 解析：a＝(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→)))＋(eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→)))＝eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→))＝0，所以A正确；因为b是一个非零向量，所以a＋b＝b，所以B不正确，C正确；因为|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正确．故选ACD． 解析：由题图可知，a2＋a5＋b2＋b5＋b7＝eq \o(A2A3,\s\up14(→))＋eq \o(A5A6,\s\up14(→))＋eq \o(OA2,\s\up14(→))＋eq \o(OA5,\s\up14(→))＋eq \o(OA7,\s\up14(→))＝(eq \o(OA2,\s\up14(→))＋eq \o(A2A3,\s\up14(→)))＋(eq \o(OA5,\s\up14(→))＋eq \o(A5A6,\s\up14(→)))＋eq \o(OA7,\s\up14(→))＝eq \o(OA3,\s\up14(→))＋eq \o(OA6,\s\up14(→))＋eq \o(OA7,\s\up14(→))＝eq \o(OA3,\s\up14(→))＋eq \o(OA7,\s\up14(→))＋eq \o(OA6,\s\up14(→))＝eq \o(OA6,\s\up14(→))＝b6． 14．如图所示，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝eq \o(AiAi＋1,\s\up14(——→)) (i＝1，2，…，7)，bj＝eq \o(OAj,\s\up14(→))(j＝1，2，…，8)，则a2＋a5＋b2＋b5＋b7＝________(结果用ai，bj表示)． 15．如图，已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证：eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \o(BE,\s\up14(→))＋eq \o(CF,\s\up14(→))＝0． 证明：连接EF(图略)，由题意知，eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))，eq \o(BE,\s\up14(→))＝eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CE,\s\up14(→))，eq \o(CF,\s\up14(→))＝eq \o(CB,\s\up14(→))＋eq \o(BF,\s\up14(→))． 由D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点可知，eq \o(EF,\s\up14(→))＝eq \o(CD,\s\up14(→))，eq \o(BF,\s\up14(→))＝eq \o(FA,\s\up14(→))． 所以eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \o(BE,\s\up14(→))＋eq \o(CF,\s\up14(→))＝(eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→)))＋(eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CE,\s\up14(→)))＋(eq \o(CB,\s\up14(→))＋eq \o(BF,\s\up14(→)))＝(eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \o(CE,\s\up14(→))＋eq \o(BF,\s\up14(→)))＋(eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CB,\s\up14(→)))＝(eq \o(AE,\s\up14(→))＋eq \o(EC,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \o(CE,\s\up14(→))＋eq \o(BF,\s\up14(→)))＋0＝eq \o(AE,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \o(BF,\s\up14(→))＝eq \o(AE,\s\up14(→))＋eq \o(EF,\s\up14(→))＋eq \o(FA,\s\up14(→))＝eq \o(AF,\s\up14(→))＋eq \o(FA,\s\up14(→))＝0． $$