6.1 平面向量的概念-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 6.1　平面向量的概念 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　平面向量的概念 1．下列物理量中是向量的是(　　) A．质量 B．功 C．温度 D．力 解析：质量、功、温度只有大小没有方向，不是向量，故A，B，C错误；力既有大小又有方向，是向量，故D正确． 1 2 3 4 5 知识对点练 4 1 2 3 4 5 知识对点练 5 解析：对于①，向量的模是数量，可以比较大小，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，零向量有方向，其方向是不确定的，故③错误；对于④，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，故④错误．故选A． 1 2 3 4 5 知识对点练 6 3．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助．试求： (1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程； (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移．(参考数据：sin53°≈0．8) 解：(1)画出如图所示的示意图，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即AB＋BC＝70(n mile)． 1 2 3 4 5 知识对点练 7 1 2 3 4 5 知识对点练 8 1 2 3 4 5 知识对点练 9 1 2 3 4 5 知识对点练 10 1 2 3 4 5 知识对点练 11 40分钟综合练 解析：由定义知，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 13 2．汽车向西走了2 h，速度的大小为120 km/h，摩托车向东北方向走了2 h，速度的大小为45 km/h，则下列命题中正确的是(　　) A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对 解析：向量不能比较大小．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 14 3．(2024·浙江浦江中学、长兴中学、余杭高中三校高一联考)以下说法错误的是(　　) A．平行向量方向相同 B．零向量与单位向量的模不相等 C．零向量与任一非零向量平行 D．平行向量一定是共线向量 解析：平行向量的方向可能相同，也可能相反，故A错误；零向量的模长为0，单位向量的模长为1，模不相等，故B正确；零向量与任一非零向量平行，故C正确；平行向量一定是共线向量，故D正确．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 17 5．对于向量a与b，下列说法正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a与b是共线向量 B．若|a|<|b|，则a<b C．若a＝b，则它们的起点相同，终点也相同 D．若a＝b，则|a|＝|b| 解析：两个向量的模相等，它们的方向可以是任意的，故A错误；向量不能比较大小，B错误；若a＝b，则它们的起点和终点可以不同，但模相等，C错误，D正确．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 18 二、多项选择题 6．下列说法正确的是(　　) A．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量 B．若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点 C．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．若a＝b，b＝c，则a＝c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 19 解析：有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故A不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故B不正确；若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则不妨设a为零向量，则a与b共线，这与a与b不共线矛盾，故C正确；若a＝b，则a，b的长度相等且方向相同；若b＝c，则b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c，故D正确．故选CD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 26 解析：由题意可知AB＝EF，AB∥CD∥FG，CD＝FG，而∠DEH不一定等于∠BDC，故BD与EH不一定平行，所以A，B，D一定成立，C不一定成立．故选ABD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 27 39 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 29 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点二　向量的几何表示 2．有下列说法： ①向量的模可以比较大小；②若向量eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(CD,\s\up14(→))满足|eq \o(AB,\s\up14(→))|>|eq \o(CD,\s\up14(→))|，且eq \o(AB,\s\up14(→))与eq \o(CD,\s\up14(→))同向，则eq \o(AB,\s\up14(→))>eq \o(CD,\s\up14(→))；③零向量没有方向；④向量就是有向线段． 其中正确说法的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为|eq \o(AC,\s\up14(→))|＝eq \r(|\o(AB,\s\up14(→))|2＋|\o(BC,\s\up14(→))|2)＝50(n mile)，由于sin∠BAC＝0．8，故方向约为北偏东53°． 知识点三　相等向量与共线向量 4．给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则向量a与b的长度相等且方向相同或相反；②对于任意非零向量a，b，若|a|＝|b|且a与b的方向相同，则a＝b；③非零向量a与非零向量b满足a∥b，则向量a与b方向相同或相反；④向量eq \o(AB,\s\up14(→))与eq \o(CD,\s\up14(→))是共线向量，则A，B，C，D四点共线． 其中正确命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：若|a|＝|b|，则向量a与b的长度相等而方向可以任意，故①不正确；根据相等向量的定义可知②正确；根据共线向量的定义可知③正确；向量eq \o(AB,\s\up14(→))与eq \o(CD,\s\up14(→))是共线向量，则A，B，C，D四点共线或AB∥CD，故④不正确．综上可知，只有②③正确．故选C． 5．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设△ABC的边长为a，写出图中给出的长度为eq \f(a,3)的所有向量中， (1)与eq \o(GH,\s\up14(→))相等的向量；(2)与eq \o(GH,\s\up14(→))共线的向量；(3)与eq \o(EA,\s\up14(→))平行的向量． 解：(1)与eq \o(GH,\s\up14(→))相等的向量，即与eq \o(GH,\s\up14(→))大小相等，方向相同的向量，有eq \o(HC,\s\up14(→))，eq \o(LB′,\s\up14(→))； (2)与eq \o(GH,\s\up14(→))共线的向量，即与eq \o(GH,\s\up14(→))方向相同或相反的向量，有eq \o(HC,\s\up14(→))，eq \o(LB′,\s\up14(→))，eq \o(GB,\s\up14(→))，eq \o(LE,\s\up14(→))，eq \o(EC′,\s\up14(→))； (3)与eq \o(EA,\s\up14(→))平行的向量，即与eq \o(EA,\s\up14(→))方向相同或相反的向量，有eq \o(EF,\s\up14(→))，eq \o(FB,\s\up14(→))，eq \o(HA′,\s\up14(→))，eq \o(HK,\s\up14(→))，eq \o(KB′,\s\up14(→))． 一、单项选择题 1．下列说法正确的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up14(→))∥eq \o(CD,\s\up14(→))就是eq \o(AB,\s\up14(→))所在的直线与eq \o(CD,\s\up14(→))所在的直线平行 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在一条直线上的向量 4．如图，在圆O中，向量eq \o(OB,\s\up14(→))，eq \o(OC,\s\up14(→))，eq \o(AO,\s\up14(→))是(　　) A．有相同起点的向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．相等向量 解析：对于A，因为向量eq \o(OB,\s\up14(→))，eq \o(OC,\s\up14(→))的起点为O，而向量eq \o(AO,\s\up14(→))的起点为A，所以A错误；对于B，因为向量eq \o(OB,\s\up14(→))，eq \o(OC,\s\up14(→))，eq \o(AO,\s\up14(→))方向既不相同也不相反，所以eq \o(OB,\s\up14(→))，eq \o(OC,\s\up14(→))，eq \o(AO,\s\up14(→))不是平行向量，所以B错误；对于C，向量eq \o(OB,\s\up14(→))，eq \o(OC,\s\up14(→))，eq \o(AO,\s\up14(→))的模均为圆O的半径，所以C正确；对于D，因为相等向量是方向相同、长度相等的向量，而向量eq \o(OB,\s\up14(→))，eq \o(OC,\s\up14(→))，eq \o(AO,\s\up14(→))方向不同，所以D错误．故选C． 7．(2024·山东菏泽高一期中)设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是(　　) A．eq \o(AO,\s\up14(→))＝eq \o(OC,\s\up14(→)) B．|eq \o(AO,\s\up14(→))|＝|eq \o(BO,\s\up14(→))| C．eq \o(AO,\s\up14(→))＝eq \o(BO,\s\up14(→)) D．eq \o(AB,\s\up14(→))与eq \o(CD,\s\up14(→))共线 解析：由平行四边形的性质可得eq \o(AO,\s\up14(→))与eq \o(OC,\s\up14(→))长度相等且方向相同，所以eq \o(AO,\s\up14(→))＝eq \o(OC,\s\up14(→))，故A正确；平行四边形的对角线不一定相等，故B，C错误；eq \o(AB,\s\up14(→))与eq \o(CD,\s\up14(→))共线，故D正确． 三、填空题 8．如果在一个边长为5的正三角形ABC中，一个向量所对应的有向线段为eq \o(AD,\s\up14(→))(其中D在边BC上运动)，则向量eq \o(AD,\s\up14(→))长度的最小值为________． 解析：结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正三角形ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正三角形ABC的高，为eq \f(5\r(3),2)． eq \f(5\r(3),2) 9．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是边AD，BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为起点和终点的所有向量中，与向量eq \o(EF,\s\up14(→))方向相反的向量为_____________． 解析：由题意得AB∥EF，CD∥EF，所以在以A，B，C，D四点中的任意两点为起点和终点的所有向量中，与eq \o(EF,\s\up14(→))平行的向量为eq \o(DC,\s\up14(→))，eq \o(CD,\s\up14(→))，eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(BA,\s\up14(→))，其中方向相反的向量为eq \o(BA,\s\up14(→))，eq \o(CD,\s\up14(→))． eq \o(BA,\s\up14(→))，eq \o(CD,\s\up14(→)) 10．如图，在△ABC中，∠ACB的角平分线CD交AB于点D，eq \o(AC,\s\up14(→))的模为2，eq \o(BC,\s\up14(→))的模为3，eq \o(AD,\s\up14(→))的模为1，那么eq \o(DB,\s\up14(→))的模为________． 解析：由三角形内角平分线的性质，得|eq \o(AC,\s\up14(→))|∶|eq \o(BC,\s\up14(→))|＝ |eq \o(AD,\s\up14(→))|∶|eq \o(DB,\s\up14(→))|，故|eq \o(DB,\s\up14(→))|＝eq \f(3,2)． eq \f(3,2) 四、解答题 11．已知四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(DC,\s\up14(→))且|eq \o(AB,\s\up14(→))|＝|eq \o(AC,\s\up14(→))|，tanD＝eq \r(3)，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 解：四边形ABCD是菱形．理由如下： ∵在四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(DC,\s\up14(→))， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵tanD＝eq \r(3)，∴B＝D＝60°． 又|eq \o(AB,\s\up14(→))|＝|eq \o(AC,\s\up14(→))|，∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形． 12．某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(BC,\s\up14(→))和eq \o(CD,\s\up14(→))． 解：根据题意，在平面内任取一点为A，按照题意要求方向，作线段AB＝4，BC＝6，CD＝4，则向量eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(BC,\s\up14(→))和eq \o(CD,\s\up14(→))如图所示． 13．[多选]如图所示，四边形ABCD，四边形CEFG，四边形CGHD是完全相同的菱形，则下列结论中一定成立的是(　　) A．|eq \o(AB,\s\up14(→))|＝|eq \o(EF,\s\up14(→))| B．eq \o(AB,\s\up14(→))与eq \o(FH,\s\up14(→))共线 C．eq \o(BD,\s\up14(→))与eq \o(EH,\s\up14(→))共线 D．eq \o(CD,\s\up14(→))＝eq \o(FG,\s\up14(→)) 14．如图，在2×4的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与eq \o(AB,\s\up14(→))的模相等的向量(除eq \o(AB,\s\up14(→))本身)共有____个． 解析：|eq \o(AB,\s\up14(→))|与1×2的矩形对角线长相等，在整个2×4的矩形中共能数出10个1×2的矩形，则这些矩形的对角线共有10×2＝20个，向量有方向，每一条对角线有两个方向，则模与eq \o(AB,\s\up14(→))的模相等的向量有20×2＝40个，则模与eq \o(AB,\s\up14(→))的模相等的向量(除eq \o(AB,\s\up14(→))本身)共有40－1＝39个． 15．如图，在四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(DC,\s\up14(→))，N，M分别是边AD，BC上的点，且eq \o(CN,\s\up14(→))＝eq \o(MA,\s\up14(→))．求证：eq \o(DN,\s\up14(→))＝eq \o(MB,\s\up14(→))． 证明：∵eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(DC,\s\up14(→))，∴|eq \o(AB,\s\up14(→))|＝|eq \o(CD,\s\up14(→))|，且AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，∴|eq \o(DA,\s\up14(→))|＝|eq \o(CB,\s\up14(→))|，且DA∥CB． 又eq \o(DA,\s\up14(→))与eq \o(CB,\s\up14(→))的方向相同，∴eq \o(CB,\s\up14(→))＝eq \o(DA,\s\up14(→))． 同理可证，四边形CNAM是平行四边形， ∴eq \o(CM,\s\up14(→))＝eq \o(NA,\s\up14(→))． ∵|eq \o(CB,\s\up14(→))|＝|eq \o(DA,\s\up14(→))|，|eq \o(CM,\s\up14(→))|＝|eq \o(NA,\s\up14(→))|，∴|eq \o(DN,\s\up14(→))|＝|eq \o(MB,\s\up14(→))|． ∵DN∥MB且eq \o(DN,\s\up14(→))与eq \o(MB,\s\up14(→))的方向相同，∴eq \o(DN,\s\up14(→))＝eq \o(MB,\s\up14(→))． $$