3.1.1 函数的概念 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.1函数的概念 1 目 录 PART 01 1 教材分析 PART 02 2 学情分析 PART 03 3 教学目标 PART 04 4 教学重难点 PART 05 5 教法学法 PART 06 6 教学过程 2 《函数的概念》是人教版数学教科书必修一第三章一节第一课时的内容。函数是高中数学学习的一条主线，它贯穿整个高中数学学习中。又是沟通代数、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的桥梁，同时也是今后进一步学习高等数学的基础。 教材分析 3 函数思想是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础；它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且是学好后继知识的基础和工具. 教材分析 4 有利因素： 在此之前，学生刚学习了集合语言，且在初中学习了函数概念的“变量说”和一些具体函数的模型(一次函数、反比例函数、二次函数)，这对于本节课的学习很有帮助. 学情分析 不利因素： 但是，函数概念抽象化程度高、符号抽象、表示方式多样，且学生的辩证逻辑思维处于发展的初级阶段，故学习起来有一定难度. 5 1.在“变量说”的基础上，理解函数“对应关系说”； 教学目标 2.经历函数概念的抽象过程，培养学生的数学抽象素养; 3.从数学模型构成要素的角度认识具体函数. 6 重点：建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念，在此过程中培养学生的数学抽象素养. 教学重难点 难点：从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数概念；理解函数的对应关系f. 7 教法学法 01 教师启发引导 02 学生主动探究 03 问题驱动式教学 8 教学过程 01 02 03 04 新课引入 构建新知 形成概念 概念理解 9 教学过程 05 06 07 问题解决 课堂小结 课后作业 10 新课引入 1.初中学习的函数概念是什么？ 2.你能根据函数的定义解决以下问题吗？ （1） 正方形的周长与边长的关系 c=4a与正比例函数 <m></m> 相同吗？ （2） <m>是相同的函数吗？ 11 构建新知 问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速行驶半小时。这段时间内，如何表示列车行驶的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的s=350t. 问题2：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天，公司确定工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：你认为该怎样确定一个工人每周的工资呢？个工人的工资w是他工作天数d的函数吗？ 12 构建新知 问题3：下图是北京市2016年11月23日空气质量指数(AQI)变化图： 如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数(AQI)的值I？ 你认为本问题中I是t的函数吗？ 13 构建新知 问题4 ：国际上常用恩格尔系数r( )反应一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民生活质量越来越高。 年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57 你认为按本表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，请仿照仿照前面的方法精确的刻画恩格尔系数r与年份y的对应关系. 14 形成概念 思考5：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征?你能由此概括出函数概念的本质特征吗? 问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在的集合 问题1 s=350t 问题2 w=350d 问题3 图像 问题4 表格 A4={2006,2007,2008,2009, 2010,2011,2012,2013, 2014,2015} 数集A 数集B 对应关系 15 概念理解 1.请用这节课所学的函数的定义，重新描述一次函数、二次 函数和反比例函数. 2.判断下列对应是否为数集A到数集B的一个函数： 16 概念理解 3.下列图像具有函数关系的是( ) 4.你能构建一个问题情境，使其中的对应关系为y=x(10-x)吗？ 【练习】你能构建一个问题情境，使其中的对应关系为 吗？ 17 问题解决 你能根据函数的定义解决以下问题吗？ （1） 正方形的周长与边长的关系 c=4a与正比例函数 <m></m> 相同吗？ （2） <m>是相同的函数吗？ 18 课堂小结 1.什么是函数，函数的三要素是什么？ 2.对于对应关系f，你有哪些认识？ 3.与初中学过的函数概念相比，你对函数又有什么新的认识？ 19 课后作业 2.教科书P63-64,第1,2,3,4 题; 3. 习题3.1第11,14题 1.思考:确定一个函数至少需要几个要素？什么样的两个函数是相同的函数？ 20 板书设计 21 年 级：高 一 学 科：数学（人教版） 主 讲 人：王 琴 学 校：四川省犍为第一中学校 指导教师：潘家鑫 3.1.1函数的概念 上课课件 22 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，就说y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 1.初中学习的函数概念是什么？ 一、回顾思考 23 一、回顾思考 2.你能根据函数的定义解决以下问题吗？ （1） 正方形的周长与边长的关系 c=4a与正比例函数 <m></m> 相同吗？ （2） <m>是相同的函数吗？ 24 二、构建新知 问题1.某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t. t和S是两个变量，且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，故S是t的函数． 思考1.1：S是t的函数吗？为什么？ 思考1.2:有人说“根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后,运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗? 此说法错误。理由：没有注意t的变化范围。根据问题1的条件, 不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况. 25 二、构建新知 问题1.某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t. t和S是两个变量，且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，故S是t的函数． 思考1.3:如何用更精确的语言来描述列车行进路程S与运行时间t的关系？ 对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应． S与t的关系是：S=350t ① 其中，t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}， S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}. 26 二、构建新知 问题2.某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗? 工资w是一周工作天数d的函数,其对应关系是________ ② 其中，d的变化范围是数集A2=___________________， w的变化范围是数集B2=___________________________. w=350d {1,2,3,4,5,6} {350,700,1050,1400,1750,2100} 且对于数集A2中的任一个工作天数d ，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应． 27 二、构建新知 S与t的关系是：S=350t ① t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}, S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}. w与d的关系是：w=350d ② d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6}, w的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}. 思考2.3：问题1、2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗?为什么? S=350t和w=350d不是同一个函数，因为t与d的取值集合不同. 28 二、构建新知 问题3.下图是北京市某日的空气质量指数(简称AQI)变化图. t=8时,I=50 思考3.2：你能根据该图找到中午8时的 AQI的值吗? 思考3.1：如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I? 29 二、构建新知 问题3.下图是北京市某日的空气质量指数(简称AQI)变化图. 思考3.3：你认为这里的I是t的函数吗？如果是，请精确描述I与t的对应关系. 对于数集A3=____________的任一时刻t，按照图中曲线给定的对应关系，在数集B3=____________中都有唯一确定的空气质量指数I和它对应． 故I是t的函数. {I|0<I<150} {t|0≤t≤24} 30 二、构建新知 问题4.国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高. 对于数集A4=__________________ __的任一年份y，按照表格给定的对应关系，在数集B4=__________中都有唯一确定的恩格尔系数r和它对应．故r是y的函数. 年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 28.89 29.35 28.57 思考4：你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是,请仿照前面的问题，精确描述r与y的对应关系？ {2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015} 31 二、构建新知 问题4.国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高. 年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 28.89 29.35 28.57 思考4：你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是,请仿照前面的问题，精确描述r与y的对应关系？ 思考:可以把B4记为__________吗？ {r|0<r≤1} 32 二、构建新知 问题4.国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高. 对于数集A4=__________________ __的任一年份y，按照表格给定的对应关系，在数集B4=__________中都有唯一确定的恩格尔系数r和它对应．故r是y的函数. 年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 28.89 29.35 28.57 思考4：你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是,请仿照前面的问题，精确描述r与y的对应关系？ {r|0<r≤1} {2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015} 33 三、形成概念 思考5：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征?你能由此概括出函数概念的本质特征吗? 一个对应关系、两个非空数集 问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在的集合 问题1 s=350t 问题2 w=350d 问题3 图像 问题4 表格 A4={2006,2007,2008,2009, 2010,2011,2012,2013, 2014,2015} 数集A 数集B 对应关系 34 三、形成概念 思考5：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征?你能由此概括出函数概念的本质特征吗? 共同特征： （1）都包含两个非空数集, 用A, B来表示； （2）都有一个对应关系（解析式、图像、表格等）； （3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数 x, 按照对应关系, 在数集B中都有唯一确定的数 y 和它对应. 为了表示方便，引进符号 “f “统一表示对应关系. 35 三、形成概念 函数的概念：设A、B为非空实数集，若对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则称 f :A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f (x), x∈A. 36 三、形成概念 函数的概念：设A、B为非空实数集，若对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则称 f :A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f (x), x∈A. 思考：f(x)=f*x吗？ 它表示x在对应关系f的作用下,对应到y 37 三、形成概念 函数的概念：设A、B为非空实数集，若对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则称 f :A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f (x), x∈A. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 函数的三要素：定义域、对应关系、值域 思考：集合B与值域关系？ 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)｜x∈A}叫做函数的值域. 38 三、形成概念 问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在的集合 函数值的集合 问题1 s=350t 问题2 w=350d 问题3 图像 问题4 表格 c4={0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2857} 定义域 值域 解析式 图 表 C3⊆B3 C4⊆B4 f A4={2006,2007,2008,2009, 2010,2011,2012,2013, 2014,2015} “值域是集合 B 的子集” 39 四、概念应用 1.请用这节课所学的函数的定义，重新描述一次函数、二次函数和反比例函数. 函数 -次函数 二次函数 反比例函数 a>0 a <0 对应关系 定义域 R R R 值域 R 40 四、概念应用 2.判断下列对应是否为数集A到数集B的一个函数： 不是 不是 1 2 3 4 1 2 3 4 A B (4) 1 1 2 3 4 A B (2) 1 2 3 1 2 3 4 A B (3) 是 A B 1 2 3 4 1 2 3 4 (1) 是 一对一 多对一 一对多 √ × √ 41 四、概念应用 3.下列图像具有函数关系的是( ) A B o x y C 1 o x y D A CD x y x y o o 42 四、概念应用 4.你能构建一个问题情境，使其中的对应关系为y=x(10-x)吗？ 解：把y=x(10-x)看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B={yly≤25}.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数x(10-x). 如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}，那么可以构建如下情境： 长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x(10-x).其中，x的取值范围是A={x|0＜x＜10}，y的取值范围是B={y|0＜y＜25}.对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积x(10-x). 43 四、概念应用 4.你能构建一个问题情境，使其中的对应关系为y=x(10-x)吗？ 设两个实数的和为10，其中一个数为x，这两个数的积为y，则y=x(10-x)，其中x的取值范围为A=R，y的取值范围为B={yly≤25}.对应关系f把A中任一x值，对应到B中唯一确定的数x(10-x). 44 四、概念应用 4.你能构建一个问题情境，使其中的对应关系为y=x(10-x)吗？ 【练习】你能构建一个问题情境，使其中的对应关系为 吗？ 45 五、问题解决 你能根据函数的定义解决以下问题吗？ （1） 正方形的周长与边长的关系 c=4a与正比例函数 <m></m> 相同吗？ （2） <m>是相同的函数吗？ 46 六、课堂小结 1.什么是函数，函数的三要素是什么？ 2.对于对应关系f，你有哪些认识？ 3.与初中学过的函数概念相比，你对函数又有什么新的认识？ 47 七、课后作业 2.教科书P63-64,第1,2,3,4 题; 3. 习题3.1第11,14题 1.思考:确定一个函数至少需要几个要素？什么样的两个函数是相同的函数？ 48 $$