河北省金科大联考2025届高三3月质量检测数学试卷

金科大联考·2025届高三3月质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数z的模为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 小张从超市买了4袋食盐，每袋食盐的标准重量是500克，为了了解这些食盐的重量的情况，称出各袋的重量分别为501克，499克，498克，502克，则这4袋食盐重量的方差为（ ） A. 4 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 4. 已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知向量，，其中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，，，都有，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知存在实数a，b，使得函数在区间上的值域与函数在区间上的值域相同，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式中，值是的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 甲、乙两名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知，甲加工的合格品率为80%，乙加工的合格品率为90%．加工出来的零件混放在一起，已知甲，乙加工的零件数分别占40%，60%，从所有零件中任取一个零件，则这个零件是合格品的概率为0.88 B. 已知事件A，B满足，，，则 C. 若事件满足，且，则A与B相互独立 D. 若随机变量，且，，则的最小值为16 11. 已知抛物线的准线方程为，点P为抛物线上位于第一象限的点，O为坐标原点，过抛物线的焦点F作直线OP的平行线与抛物线交于A，B两点（点A位于第一象限），直线OP和AB分别与抛物线的准线相交于M，N两点，则（ ） A. B. 若抛物线的准线与x轴相交于点T，则M是线段TN的中点 C. D. 若直线PF与抛物线交于另一点Q，则直线轴 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆：和圆：相切，则______． 13. 若函数有且仅有两个零点，则正数的取值范围为______． 14. 如图，在四棱台中，上、下底面都是正方形，平面ABCD，，E是的中点，F是的中点，平面BEF把四棱台分成两部分，这两部分的体积分别为，（其中），则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 16. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，，M是PB的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 新春佳节，上海京剧院、上海昆剧团联手带来“京昆群英会”，名角荟萃、好戏连台．天蟾逸夫舞台自大年初二起“灵蛇献瑞”，以一系列京昆佳作为戏迷观众奉上文化大餐．年初二率先登场的《新春京剧演唱会》汇集上海京剧院老中青三代演员；大年初六，上海昆剧团接棒“京昆群英会”，上海昆剧团优秀青年演员胡维露、罗晨雪将携手献演昆剧《墙头马上》．据统计，有的票友计划只观看《新春京剧演唱会》，余下的票友既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》．每位票友只观看《新春京剧演唱会》，则会员卡积1分；若既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，则会员卡积2分．假设每位票友观看计划相互独立，视频率为概率，所有票友会员卡之前积分均为0． （1）观看结束后，从票友中随机抽取3人，记3人会员卡的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）观看结束后，从票友中随机抽取n个人（n为正整数），记这n个人会员卡的合计积分是分的概率为，求数列的前n项和． 18. 已知点，，直线MA和MB的斜率的乘积为1，点M的轨迹为C． （1）求轨迹C的方程； （2）过点的直线与轨迹C相交于P，Q两点，记直线BP，BQ的斜率分别为，，求的值； （3）在（2）的条件下，证明：直线AP与BQ的交点T在定直线上． 19. 已知函数． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）若是函数的两个零点，证明：； （3）当且时，证明：． 金科大联考·2025届高三3月质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】－1或1或－3或3 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）2或 （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：如图，连接BD，与AC相交于点N， 因四边形为矩形，对角线BD，AC相交于点N，则， 又因M是PB的中点，则， 因，，则， 因，平面AMC，平面AMC，所以平面AMC； （2） 【17题答案】 【答案】（1）分布列如下： 3 4 5 6 期望为4； （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2） －3 （3） 由直线PA和PB的斜率的乘积为1，可得直线PA的斜率为， 可得直线PA的方程为， 又由，有，可得直线BQ的方程为， 将直线PA和BQ的方程联立消去y，有， 解得，可得点T的坐标为， 所以直线AP与BQ的交点T在定直线上． 【19题答案】 【答案】（1） （2） 不妨设，设， 由，有，，两式相除，有， 代入，有，有，可得， 可得， 要证，只需证，只需证， 令，有， 可得函数单调递增，有，故有； （3） 由（1），取，有（当且仅当时取等号）， 取（其中），有，有， 又由，有，有， 有，有，有， 可得，有， 有，有， 当且时，可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $