直线与圆锥曲线 讲义——2025届高三数学一轮复习

直线与圆锥曲线 知识梳理 知识点一：直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为△. ①△直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点); ②△直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点); ③△直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点. 知识点二：直线与双曲线的位置关系 (一)代数法： 1.当直线的斜率不存在时， 若,直线与双曲线没有交点； 若时，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若或 ,直线与双曲线相交于两点. 2.当直线的斜率存在时 设直线，双曲线 )联立解得： (1)若，即 ,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； (2)若, 当△时，即，直线与双曲线相交于两点；(分左支、右支、双支) 当△时，即，直线与双曲线相离，没有公共点； 当△时，即，直线与双曲线相切于一点； 特别地，当时， 若 ,直线与双曲线相交于两点(左、右支各一个点); 若或直线与双曲线没有公共点； (二)几何法：利用数形结合判断. 知识点三：直线与抛物线的位置关系 设直线，抛物线：,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,直线与抛物线相交，有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合， 因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. (2)若,当△>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当△=0时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当△<0时，直线与抛物线相离，没有公共点. 知识点四：直线与圆锥曲线的相交的弦长公式 若直线与圆锥曲线相交与两点，设，则： 弦长或 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ， 典型例题 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 例题1.(1)已知直线,椭圆 ,则直线与椭圆的位置关系是( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 (2)过点P(4,4)且与双曲线只有一个交点的直线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 (3)过点(1,2)作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 题型二 逆向问题 例题2 .(1)已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围为 (2)已知实数满足： ,则的最大值为( ) A. B.2 C. D.5 (3)(多选)双曲线的离心率为,若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则 可能取值为( )—— A. B. C. D.2 题型三 相切问题 例题3 .(1)已知椭圆 ,离心率为 , 过P(1,2)的直线分别与 相切于两点， 则直线方 程 为 ( ) A.或 B. C. D.或 (2)在直角坐标系中，椭圆方程为,为椭圆上的动点，直线的方程为,则 点到直线的距离的最小值为 (3)若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是 (写出符合条件的一个方程即可) 题型四 中点弦确定直线方程 例 题 4 .（1） 椭 圆 内有一点(1,2),则以为中点的弦所在直线的斜率为( ) A. B. C. D. (2)已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为(-1,-4),则直线的斜率为 (3)已知直线与椭圆交于两点，线段的中点为(2,1), 则椭圆的离心率是 (4)已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点(不重合), 的垂直平分线过点(3,0),则双曲线的离心率为 题型五 弦长问题 例题5.椭圆的方程>0),短轴长为2,离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)若直线 与圆相切，且与椭圆交于两点，且，求直线的方程。 例题6.已知抛物线:上第一象限的一点到其焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程和点坐标； (2)过点的直线交抛物线于，若的角平分线与轴垂直，求弦的长. 题型六 三角形面积(周长)问题 例题7.已知椭圆:)的右焦点为,上顶点为,,离心率为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于两点，且点，当△的面积最大时，求直线的方程. 例题8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)已知点是双曲线在第一象限内的一点，,过点的直线变轴于点,若为坐 标原点，且△面积是△面积的倍，求直线的方程. 课后练习 一．单选题 1.直线与曲线的公共点的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.若直线与曲线交于不同的两点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.已知抛物线,直 线交该抛物线于两点.若线段的中点坐标为(3,2),则直线斜率为（ ） A. B. C.1 D.2 4.已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为,则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 5.已知圆锥曲线的统一定义为“平面内到定点的距离与到定直线的距离（不在上）的比值是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”，过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足.设为的中点，则直线斜率的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题 6.已知椭圆的左，右焦点，其中，直线 ，与椭圆交于两点，则下列说法中正确的是（ ） A.△的周长为 B.若中点为，则 C.若，则椭圆额离心率的取值范围是 D.若的最小值是，则椭圆的离心率 三．填空题 7.双曲线 上点到直线距离的最小值为 8.已知过原点的直线与双曲线交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为 四．解答题 9.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率 为， 长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线过定点 ，若椭圆上存在两点关于直线对称，求直线的斜率的取 值范围. 10.已知抛物线,点 为其焦点，直绒与抛物线交于两点，为坐标原点，. (1)求抛物线的方程； (2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和,点分别为的中点，求的最小值. 01 学科网（北京）股份有限公司 $$