2025年九年级中考数学三轮冲刺训练反比例函数中面积相关问题

2025年九年级中考数学三轮冲刺训练反比例函数中面积相关问题 1．如图，一次函数y＝kx﹣1的图象与反比例函数的图象交于A（a，1），B（﹣2，﹣2）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）设直线AB与x轴交于点C，若P为x轴上的一动点，连接AP，当△APC的面积为2.5时，求点P的坐标． 2．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象交于A（1，a），B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若BE⊥y轴于点E，求△BOE的面积； （3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA＝4，OC＝2，点D是BC边上的动点（不与B，C重合），反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点D，且与AB交于点E，连接OD，OE，DE． （1）若点D的横坐标为1． ①求k的值； ②点P在x轴上，当△ODE的面积等于△ODP的面积时，试求点P的坐标； （2）延长ED交y轴于点F，连接AC，判断四边形AEFC的形状，并说明理由． 4．如图，点A（a，2）在反比例函数y的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y于点B，已知AC＝2BC． （1）求直线OA的解析式； （2）求反比例函数y的解析式； （3）点D为反比例函数y上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积． 5．如图，P是反比例函数（x＞0）的图象上的一点，PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON＝1，一次函数y＝x+b的图象经过点P． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线y＝x+b与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的时，直接写出点Q的坐标． 6．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝3，OC＝6，反比例函数的图象与AB、BC分别交于点D、E，连结DE． （1）如图2，连结OD、OE，当△OAD的面积为2时： ①k＝　 　 ； ②求△ODE的面积； （2）如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值． 7．如图，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB，AB＝2． （1）求反比例函数的表达式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，连接OC，求△AOC的面积． 8．如图，直线y＝2x+6与反比例函数y（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM． （1）求m的值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+60的解集； （3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？ 9．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（3，n）和点 B． （1）求反比例函数的解析式； （2）请结合函数图象，直接写出不等式的解集； （3）如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、OE，求△AOE的面积． 10．如图，一次函数y1＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）． （1）求k与m的值； （2）当y1＞y2时，x的取值范围是 　 　 ； （3）若P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值． 11．如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（4，m），B（﹣6，﹣2）． （1）求k的值和一次函数的表达式； （2）关于x的不等式的解集为 　 　 ； （3）若点P为直线AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，与反比例函数的图象交于点Q，当△OPQ的面积为6时，请直接写出点Q的坐标． 12．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，反比例函数y（k≠0）分别与边BC、AB交于E、F两点，连接OE、OF，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H． （1）S△ocE　 　 S△OAF（填“＞”、“＜”、“＝”）； （2）若OA＝8，OC＝4，S△AFH＝S△BEF，求k的值； （3）当，时，求的值． 13．如图，已知反比例函数y的图象与直线y＝k2x+b交于点A（4，﹣1），B（m，6），点C是x轴上的一点，连接AC，BC． （1）求反比例函数的表达式及直线AB的函数表达式； （2）若S△ABC＝21，求点C的坐标； （3）如图2，直线l绕若点D（2，2）旋转，直线l上有一动点P，过P作PM∥x轴交反比例图象于M，作PN∥y轴交反比例函数图象于N，连接MN，若在直线l上刚好存在三个不同的P点且使得△PMN的面积为9时，求此时直线l的斜率． 14．如图1，反比例函数的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴于点D． （1）填空：①k的值为 　 　 ． ②tan∠DAC＝ 　 ；直线AC的函数解析式为 　 　 ． （2）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线l⊥x轴，与AC交于点N，连接CM．求△CMN面积的最大值． 15．如图，一次函数y2的图象与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象相交于点A（2，a），与x轴交于C点，与y轴交于B点． （1）由图象可知，当x 　 　 时，； （2）求出a，k的值； （3）若M（m，0）为x轴上的一动点，当△AMB的面积为时，求m的值； （4）在x轴上是否存在点D，使得∠BOA＝∠OAD，若存在，请直接写出点D坐标，若不存在，请说明理由． 参考答案 1．【解答】解：（1）∵图象经过B（﹣2，﹣2）， ∴m＝4， ∴反比例函数表达式为：； 将A（a，1）代入得， 解得：a＝4， ∴A（4，1）， 将B（﹣2，﹣2）代入y＝kx﹣1， 得﹣2＝﹣2k﹣1， 解得：， ∴； （2）由图可得，不等式的解集是x＜﹣2或0＜x＜4； （3）解：直线AB与x轴交于点C， 当y＝0时，0， 解得：x＝2， ∴C（2，0）， 设P（t，0）， ∴PC＝|2﹣t|， ∵△APC的面积为2.5， ∴， ∴2﹣t＝±5， 解得：t＝﹣3或t＝7， ∴点P的坐标为（7，0）或（﹣3，0）． 2．【解答】解：（1）∵点A（1，a）在一次函数y＝﹣x+4的图象上， ∴a＝﹣1+4＝3， ∴点A的坐标为（1，3）． ∵点A（1，3）在反比例函数数（k为常数，k≠0）的图象上， ∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数的表达式为y； （2）∵BE⊥y轴于点E， ∴△BOE的面积|k|； （3）联立直线AB与反比例函数的表达式，得：， 解得或， ∴点B的坐标为（3，1）， 作点A关于x轴的轴对点A′，连接A′B交x轴于P，此时，PA+PB的值最小， ∵点A的坐标为（1，3）， ∴点A′的坐标为（1，﹣3）， 设直线A′B的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线A′B的解析式为y＝x﹣4， 当y＝0时，x＝4， ∴P（4，0）． 3．【解答】解：（1）①∵四边形ABCO是矩形， ∴∠BCO＝∠B＝∠AOC＝90°， ∵OC＝2，点D的横坐标为1， ∴D（1，2）， ∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点D， ∴k＝1×2＝2； ②∵OC＝2，D（1，2）， ∴CD＝1， ∵D，E都在反比例函数y的图象上， ∴S△COD＝S△AOE＝1， ∵OA＝4， ∴AE， ∴S△ODE＝2×4﹣1﹣13， ∵点P在x轴上， ∴设P（x，0）， ∴S△ODP， 解得：x＝±， ∴P（，0）或（，0）； （2）连接AC，四边形AEFC是平行四边形，理由如下： 由题意得：D（，2），E（4，）， 设EF的函数解析式为：y＝ax+b， 则， 解得， ∴OF， ∴CF＝OF﹣2AE， 又∵CF∥AE， ∴四边形AEFC是平行四边形． 4．【解答】解：（1）∵点A（a，2）在反比例函数y的图象上， ∴2，解得a＝2， ∴A（2，2）， 设直线OA解析式为y＝mx， 则2＝2m，解得m＝1， ∴直线OA解析式为y＝x； （2）由（1）知：A（2，2）， ∵AB∥x轴，且交y轴于点C， ∴AC＝2， ∵AC＝2BC， ∴BC＝1， ∴B（﹣1，2）， 把B（﹣1，2）代入y得：2， ∴k＝﹣2， ∴反比例函数y的解析式为y； （3）设D（t，），而A（2，2）， ∴AD中点E（，1）， 而E在y轴上， ∴0，解得t＝﹣2， ∴D（﹣2，1），E（0，）， ∴S△DOEOE•|xD|2， S△AOEOE•|xA|2， ∴△OAD面积S＝S△DOE+S△AOE＝3． 5．【解答】解：（1）∵PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON＝1， ∴PN＝2、 ∴点P的坐标为（1，2）． ∵反比例函数（x＞0）的图象、一次函数y＝x+b的图象都经过点P， 由，2＝1+b得k＝2，b＝1、 ∴反比例函数为，一次函数为y＝x+1； （2）Q1（0，1），Q2（0，﹣1）． 6．【解答】解：（1）①∵△OAD的面积＝2， 即， ∴k＝4， 故答案为：4； ②在矩形OABC中，OA＝BC＝3，OC＝AB＝6， ∵k＝4， ∴反比例函数的解析式是：y（x＞0）， ∵OA＝3， 即点D的纵坐标是3， 令y3， 解得：x， ∴D（，3）， 同理，当x＝6时，y， ∴E（6，）， ∴AD，BD＝AB﹣AD＝6，CE，BE＝BC﹣CE＝3， ∴S△ODE＝S矩形OABC﹣S△OAD﹣S△OCE﹣S△BDE＝OA•OC； （2）过点D作DG⊥x轴于点G，则DG＝OA＝3， ∵OA＝3，即点D的纵坐标是3， 令y， 得：x， ∴D（，3）， 同理可得，当x＝6时，y， ∴E（6，）， ∴AD，BD＝AB﹣AD＝6，CE，BE＝BC﹣CE＝3， 由折叠的性质可知：DF＝BD＝6，FE＝BE＝3，∠DFE＝∠B＝90°， ∴∠DFG+∠CFE＝90°， ∵DG⊥x轴， ∴∠DFG+∠GDF＝90°， ∴∠CFE＝∠GDF， ∵∠CFE＝∠GDF，∠FCE＝∠DGF＝90°， ∴△CFE∽△GDF， ∴， 即， ∴GF， ∵DG⊥x轴， ∴△GDF是直角三角形，DG2+GF2＝DF2， ∴， 解得：k， 即k的值为． 7．【解答】解：（1）∵AB⊥y轴于点B， ∴∠OBA＝90°， 在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB， ∴OB＝4， ∴A（2，4）， ∵点A在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴k＝4×2＝8； ∴反比例函数的解析式为y； （2）如图，过A作AF⊥x轴于F，过C作CE⊥x轴于E， ∴∠AFD＝90°， ∵∠ADO＝45°， ∴∠FAD＝90°﹣∠CDE＝45°， ∴AF＝DF＝OB＝4， ∵OF＝AB＝2， ∴OD＝6， ∴D（6，0）， 设直线AC的解析式为y＝ax+b， ∵点A（2，4），D（6，0）在直线AC上， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6①， 由（1）知，反比例函数的解析式为y②， 联立①②解得，或， ∴C（4，2）， ∵△AOF的面积OF•AF2×4＝4，△OCE的面积OE•CE2×4＝4， ∴△AOF的面积＝△OCE的面积， ∴△AOF的面积﹣△OFH的面积＝△OCE的面积﹣△OFH的面积， ∴△AOF的面积＝梯形CEFH的面积， ∴△AOC的面积＝梯形CEFH的面积（AF+CE）•EF（4+2）（4﹣2）＝6． 8．【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（m，8）， ∴2×m+6＝8， 解得m＝1， ∴A（1，8）， ∴k＝2×1+6＝8， ∴反比例函数的解析式为y． （2）不等式2x+60的解集为x＞1． （3）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n）， ∵0＜n＜6， ∴0， ∴0 ∴S△BMN|MN|×|yM|（）×n（n﹣3）2， ∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为． 9．【解答】解：（1）把点A（3，n）代入正比例函数可得：n＝4， ∴点A（3，4）， 把点A（3，4）代入反比例函数， 可得：k＝3×4＝12， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵点A与点B是关于原点对称的， ∴点B（﹣3，﹣4）， ∴根据图象可得，不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3； （3）如图所示，过点A作AG⊥x轴，垂足为G， ∵A（3，4）， ∴OG＝3，AG＝4， 在Rt△AOG中，， ∵四边形AOCD是菱形， ∴OC＝OA＝5，， ∴． 10．【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2得：0＝﹣4k+2， 解得：k， 把A（2，n）代入y＝kx+2得：n＝3． ∴A（2，3）． 把A（2，3）代入y＝得：m＝6． ∴k的值为，m的值为6． （2）由图象可知：当 x＞2时，yx+2的图象在y的上方， ∴当y1＞y2时，x的取值范围是：x＞2． 故答案为：x＞2． （3）当x＝0时，yx+2＝2． ∴B（0，2）， ∵P（a，0）为x轴上的一动点， ∴PC＝|a+4|． ∴S△CBPPC•OB|a+4|×2＝|a+4|， S△CAPPC•yA|a+4|×3|a+4|， ∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP， ∴|a+4||a+4|， ∴a＝3或a＝﹣11． 11．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4m＝﹣6×（﹣2）＝12， 则k＝12，m＝3， 即反比例函数的表达式为：y，点A（4，3）； 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： ，解得：， 则一次函数表达式为：yx+1； （2）观察函数图象知，不等式的解集为x＞4或﹣6＜x＜0， 故答案为：x＞4或﹣6＜x＜0； （3）设点P（x，x+1），则点Q（x，）， 则△OPQ的面积PQ×|xP||x+1|×|x|＝6， 解得：x＝0（舍去）或6或﹣8或﹣2， 即点Q的坐标为：（6，2）或（﹣8，）或（﹣2，﹣6）． 12．【解答】解：（1）∵四边形ABCO是矩形， ∴BC⊥y轴，AB⊥x轴， ∵反比例函数y（k≠0）分别与边BC、AB交于E、F两点， ∴S△OCEk，S△OAFk； ∴S△OCE＝S△OAF； 故答案为：＝； （2）∵四边形ABCO是矩形， ∴∠B＝∠BCO＝∠BAO＝90°，AB＝OC4，OA＝BC＝8， ∵∠B＝∠FAH＝90°，∠BFE＝∠AFH， ∴△BFE∽△AFH， ∴（）2， ∵S△AFH＝S△BEF， ∴1（负值舍去）， ∴BF＝AF＝2， ∴F（8，2）， ∴， ∴k＝16； （3）∵时， ∴设CE＝m，BE＝3m， ∴BC＝OA＝4m， ∴E（m，），F（4m，）， ∴BF， ∵△BFE∽△AFH， ∴， ∴， ∴AH＝m， ∴OH＝OA+AH＝5m， ∴． 13．【解答】解：（1）将点A（4，﹣1）代入y，得﹣1， ∴k1＝﹣4， ∴反比例函数的表达式为y， 把B（m，6）代入y，得6， 解得：m， ∴B（，6）， 将A、B两点坐标分别代入y＝k2x+b，得：， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为yx+5； （2）设C（t，0），直线AB与x轴交于点E， 在yx+5中，令y＝0，得x+5＝0， 解得：x， ∴E（，0）， 则CE＝|t|， ∵S△ABC＝21， ∴S△ACE+S△BCE＝21， 即|t|×（6+1）＝21， 解得：t或， ∴点C的坐标为（，0）或（，0）； （3）设直线l的解析式为y＝kx+b，把D（2，2）代入得：2＝2k+b， ∴b＝2﹣2k， ∴y＝kx+2﹣2k， 由（1）知：反比例函数的解析式为y， 设P（n，kn+2﹣2k），则N（n，），M（，kn+2﹣2k）， ∵S△PMN＝9， ∴PM•PN＝18， ∴|n|×|kn+2﹣2k|＝18， 整理得：18， 令n（kn+2﹣2k）＝m， 则（m+4）2＝18|m|， 当m＞0时，则（m+4）2＝18m， 即m2﹣10m+16＝0， 解得：m＝2或m＝8， ∴n（kn+2﹣2k）＝2或n（kn+2﹣2k）＝8，即kn2+（2﹣2k）n﹣2＝0①或kn2+（2﹣2k）n﹣8＝0②， 在方程①中，Δ＝（2﹣2k）2+8k＝4k2+4＞0，该方程中n有两个不同的解， ∵在直线l上刚好存在三个不同的P点，即n有3个不同的解， ∴n还有一个解必定在方程②中， ∴Δ＝（2﹣2k）2+32k＝4（k2+6k+1）＝0， 解得：k＝﹣3﹣2或k＝﹣3+2； 当m＜0时，则（m+4）2＝﹣18m， 即m2+26m+16＝0， 解得：m＝﹣13+3或m＝﹣13﹣3， ∴kn2+（2﹣2k）n+13﹣30③或kn2+（2﹣2k）n+13+30④， 在方程③中，Δ＝（2﹣2k）2﹣4（13﹣3）k＝4[k2+（315）k+1]， 在方程④中，Δ＝（2﹣2k）2﹣4（13+3）k＝4[k2﹣（315）k+1]， ∵在直线l上刚好存在三个不同的P点，即n有3个不同的解， ∴（Ⅰ）或（Ⅱ）， 由（Ⅰ）得：k或， 由（Ⅱ）得：无解， 综上所述，此时直线l的斜率为k＝﹣3﹣2或﹣3+2或或． 14．【解答】解：（1）①∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴． 故答案为：； ②：由①知反比例函数解析式为， ∵射线AB与反比例函数的图象交于另一点B（1，a），将点B的坐标代入得： a2， ∴， 过B作BE⊥AD于E，如图1， 则． ∴∠ABE＝∠BAE＝45°， 又∵∠BAC＝75°， ∴∠DAC＝30°， ∴tan∠DAC＝tan30°， ∴DCAD2， ∴OC＝2﹣1＝1， ∴C（0，﹣1）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C的坐标代入得： ， 解得， ∴直线AC的解析式为． 故答案为：；； （2）M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过点M的直线l⊥x轴，设M（m，）（0＜m＜2），则N（m，）， ∴MN， ∴S△CMN•m ， ∵0，0＜m＜2， ∴当时，△CMN的面积有最大值，最大值为． 15．【解答】解：（1）根据图像可以看出表示一次函数在双曲线上方部分， ∴当x＞2时，， 故答案为：＞2； （2）由题意可知点A（2，a）在一次函数的图象上， ∴， ∴A（2，3）． ∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A， ∴， ∴k＝6； （3）一次函数y2的图象与x轴交于C点，与y轴交于B点． 当x＝0时，得：y＝2， 当y＝0时，得：， 解得：x＝﹣4， ∴B（0，2），C（﹣4，0）． ∵M（m，0）为x轴的一动点， ∴CM＝|m|﹣（﹣4）＝|m|+4， ∴， ， ∵S△AMB＝S△ACM﹣S△BCM，， ∴， 解得：m＝3或﹣11； （4）在x轴上存在点D，使得∠BOA＝∠OAD；D的坐标为（2，0）或．理由如下： 过A作AD⊥x轴于D，如图， ∴AD∥y轴， ∴∠AOB＝∠OAD， ∵A（2，a），k＝6， ∴， 把x＝2，代入， ∴D（2，0）， 作OA的垂直平分线交y轴于E，交OA于F，连接AE，并延长AE交x轴于D′， ∴△EOA是等腰三角形， ∴∠AOB＝∠OAD′， ∵A（2，3）， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线AE的解析式为：y＝mx+n， 把A（2，3），代入解析式可得：， 解得：， ∴直线AE的解析式为：， 把y＝0代入， 解得：， ∴， 综上所述，在x轴上存在点D，使得∠BOA＝∠OAD；D的坐标为（2，0）或． 学科网（北京）股份有限公司 $$