精品解析：江苏省苏州市园区苏州大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月检测数学试卷

苏大附中2024－2025学年第二学期检测 高二年级数学试卷 （考试时间 ：120分钟 总分150分） 命题人：姜建海 审卷人：解静 一、单项选择题：（每题5分，8题共40分） 1. 已知，的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 16 2. 某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 7种 D. 9种 3. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知函数．则下列结论中正确的是（ ） A. 函数既有最小值也有最大值 B. 函数无最大值也无最小值 C. 函数有一个零点 D. 函数有两个零点 6. 如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若在上恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：（每题6分，3题共18分） 9. 下列数中，与不相等的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数，若，则 B. 已知函数在上可导，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 11. 设函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. 当 时， 在点 处的切线方程为 B. 当 时， 有三个零点 C. 若 有两个极值点，则 D. 若 在 上有解，则正实数 的取值范围为 三、填空题（每题5分，3题共15分） 12. 甲乙两名学生从4门选修课程中各自选修2门，则这两人选择的选修课程中恰有1门相同的选法共有___________种．（用数字作答） 13. 函数的导函数_______． 14. 若函数有唯一一个极值点，则实数的取值范围是_____． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 求下列函数的导函数. （1）； （2）； （3）； （4）. 16. 用，，，，，这六个数字的部分或全部组成无重复数字的自然数. （1）在组成的四位数中，求偶数个数； （2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； （3）在组成的四位数中，若将这些数按从小到大的顺序排成一列，试求第个数字. 17. 已知函数的图象在原点处的切线的斜率为2. （1）求的值； （2）若，求曲线的过点的切线方程. 18. 已知，. （1）当时，求极值； （2）讨论单调性； （3）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 19. 已知函数，． （1）若函数为奇函数，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）设，讨论方程的根的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏大附中2024－2025学年第二学期检测 高二年级数学试卷 （考试时间 ：120分钟 总分150分） 命题人：姜建海 审卷人：解静 一、单项选择题：（每题5分，8题共40分） 1. 已知，的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合导数的定义，转化为的值，即可求解. 【详解】因为， 则. 故选：C. 2. 某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 7种 D. 9种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】分3类，买1本书，买2本书，买3本书， 各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种). 故选：C 3. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的导数公式逐个判断即可 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D错误； 故选：A 4. 若直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值. 【详解】设直线与曲线的切点为. 对求导，根据，可得. 因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知， 在切点处，即. 又因为切点既在直线上又在曲线上， 所以且，即. 将代入可得：，即. 将代入可得： ， 所以当，时，取得最小值为. 故选：A 5. 已知函数．则下列结论中正确的是（ ） A. 函数既有最小值也有最大值 B. 函数无最大值也无最小值 C. 函数有一个零点 D. 函数有两个零点 【答案】C 【解析】 【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，得到函数有最大值，无最小值，AB错误，设，函数单调递增，，故函数有一个零点，C正确，D错误，得到答案. 【详解】，，，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 故函数有最大值，无最小值，AB错误， 设，则恒成立，函数单调递增， 且，故函数有一个零点，C正确，D错误. 故选：C 6. 如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】先涂，，，然后分类讨论的颜色，最后利用乘法原理与加法原理可得答案. 【详解】先涂，，，有种方法. 若的颜色不同于，，所涂颜色，有种涂法，此时有种涂法，则对应总涂法数为； 若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为； 若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为. 综上，总涂法数为. 故选：C 7. 已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据在区间上有极值，由在区间上有不等根求解. 【详解】解：因为， 所以， 因为函数在区间上有极值， 所以在区间上有变号根， 即在区间上有变号根， 令，则， 令，得或（舍去）， 当时，，递减； 当时，，递增； 所以当时，取得极小值，又，， 所以，则， 又当时，， 递增，无极值， 所以实数的取值范围是， 故选：B 8. 已知函数，，若在上恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，即，再构造函数，求出最小值即可得解. 【详解】由题意，则，等价于， 令，因为，所以在上单调递增， 所以， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此， 故选：B 二、多项选择题：（每题6分，3题共18分） 9. 下列数中，与不相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的运算分别计算，即可得到答案. 【详解】， A选项，，与不相等； B选项，，， 所以， 与不相等； C选项，； D选项，. 故选：AB. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数，若，则 B. 已知函数在上可导，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据复合函数的导数运算，求出，再由，解方程即可判断A错； B选项，根据导数的概念，可判断B正确； C选项，由导数的除法运算法则，可判断C错； D选项，对函数求导，令，即可判断D正确； 【详解】A选项，由，得，则，解得，故A错； B选项，由题意，根据导数的概念可得，则，故B正确； C选项，根据导数的运算法则可得，，故C错； D选项，由得，则， 解得，故D正确； 故选：BD 11. 设函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. 当 时， 在点 处的切线方程为 B. 当 时， 有三个零点 C. 若 有两个极值点，则 D. 若 在 上有解，则正实数 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A,根据导数大集合意义，求出切线斜率，得出方程；选项B，利用导数求得函数的极值，极大值大于0，极小值小于0，函数有三个零点；选项C,极值点的个数转化为导函数零点的个数求参数范围；选项D，不等式在区间上有解，转化为函数的最值问题，求参数范围. 【详解】选项A,当时，，所以，， 又，所以在点处的切线方程为 ，故A正确； 选项B，，令，得； 当时，，当时，， 所以在上单调递增；在上单调递减； 的极小值为，的极大值为， 要使有三个零点，则，即，解得，故B错误. 选项C,，则 若 有两个极值点， 则在有两个不同的正根， 则，解得，故C正确； 选项D, 令，则, 所以,即 可整理为 即 令,， 所以单调递增， 所以，即， 令，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， ，所以的取值范围为 所以D正确。 故选：ACD 三、填空题（每题5分，3题共15分） 12. 甲乙两名学生从4门选修课程中各自选修2门，则这两人选择的选修课程中恰有1门相同的选法共有___________种．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】先计算出任选两门的事件数，减去两人选法都不同、两人选法都相同的事件数，求得甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法数. 【详解】两人各选2门的方法数为， 两人选法都相同的方法数为， 两人选法都不同的方法数为， 所以甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法数为. 故答案为：. 13. 函数的导函数_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的商数关系得到，根据函数导数运算的乘法法则和除法法则，结合同角三角函数的平方关系即可得到答案. 【详解】， 所以 . 故答案为：. 14. 若函数有唯一一个极值点，则实数的取值范围是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】求导得，根据有唯一一个极值点且，得是唯一的变号零点，设，因为，所以恒成立，分三种情况讨论的单调性和最值，从而得到的取值范围. 【详解】定义域为，， 因为，有唯一一个极值点，所以是唯一的变号零点， 设，且，所以恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，所以在上单调递增， 又因为时，，不满足，舍去； 当时，令，得， 令，得，所以在上单调递减， 令，得，所以在上单调递增， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 求下列函数的导函数. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用求导法则求导即得； （2）利用分式函数的求导法则求导即得； （3）利用分式函数的求导法则求导即得； （4）利用复合函数的求导法则求导即得. 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 16. 用，，，，，这六个数字的部分或全部组成无重复数字的自然数. （1）在组成的四位数中，求偶数个数； （2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； （3）在组成的四位数中，若将这些数按从小到大的顺序排成一列，试求第个数字. 【答案】（1）种 （2）个 （3）第个数字是 【解析】 【分析】（1）利用分类计数原理即可求解（2）先取数，再排序（3）利用分类计数原理即可求解 【小问1详解】 根据分类计数原理知， 当末位是0时，十位、百位、千位从5个元素中选三个进行排列有种结果， 当末位不是0时，只能从2和4中选一个，千位从4个元素中选一个，共有种结果，根据分类计数原理知共有种结果; 【小问2详解】 共有个 【小问3详解】 若1在千位，有种结果； 若2在千位，0或1在百位，有种结果； 因为，所以，第个数字是 17. 已知函数的图象在原点处的切线的斜率为2. （1）求的值； （2）若，求曲线的过点的切线方程. 【答案】（1）或1 （2）或 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列式求解的值即可； （2）结合（1）可得，设切点为，结合导数的几何意义，利用点斜式方程求出切线方程，最后利用过点求出的值，即可得解. 【小问1详解】 由已知得， 根据题意得，解得或1； 【小问2详解】 因为，所以由（1）可得， 所以， 设切点坐标为，则切线的斜率， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 得，解得或， 所以切线方程为或. 18. 已知，. （1）当时，求极值； （2）讨论单调性； （3）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） 时，在单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）先求导数，再结合导数判断单调性，求出极值； （2）先求导数，对分类讨论，确定导数符号，得出单调性； （3）利用导数分别求解的最大值，然后可得答案. 【小问1详解】 由题可知，函数定义域为，由 当，解得，当，解得，所以函数在处取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 ， ①所以当时，有恒成立，在单调递增， ②当时，由解得：，在上单调递增； 由解得：，在上单调递减； 综上，时，在单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 当时，， 根据题意，不等式等价于，， 对于，，， 所以在上单增，所以，则有， 设，，则， 在定义域内为减函数，又，所以，即的取值范围是. 19. 已知函数，． （1）若函数为奇函数，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）设，讨论方程的根的个数． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性定义即可求得参数； （2）利用分离参变量思想，即可求得参数范围； （3）把方程的解构造成函数的零点，再换元，得到二次函数，利用分类讨论可求得零点个数. 【小问1详解】 为奇函数，且定义域为，， 即，也即，． 【小问2详解】 恒成立，即： 恒成立， 所以， 又，， 在上恒成立， 又，，即的取值范围是． 【小问3详解】 ， 设， 令，则，当且仅当取到等号， ， 设且， 令，得， 令，则在，上单调递减， ， 当或时，与无交点，无零点，无零点，方程无根； 当时，，或（舍， 只有一个解， 只有一个零点，方程有一个根； 当时，在上有零点， 先证在上单调递增， 任取且，所以 ， ，， ，在上单调递增， 又为偶函数，在上单调递减， 有两个互为相反数的根， 此时有2个零点，方程有两个根． 综上，当或时，方程无根； 当时，方程有一个根； 当时，方程有两个根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $