精品解析：湖北省名校（圆创）2025届高三下学期三月联合测评数学试卷

2025届高三三月联合测评 数 学 命题单位：圆创教育教研中心 本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，虚数是关于的方程的根，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 设命题：，则的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量与夹角为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义域为的函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C D. 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数是增函数，则不可以取的一个值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知四面体顶点均在半径为的同一球面上，且，则该四面体体积的最大值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线和和分别与交于和，则（ ） A. 的离心率为 B. 存在直线，使得 C. 为定值 D. 若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则变为圆 10. 已知表示中的最大者，则下列区间中是函数的单调递增区间的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列中，，，，则（ ） A. B. 数列是递减数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据233，144，89，55，34，21，13，8，5，3，2，1，则它们的上四分位数为________．（用具体数值作答） 13. 幻方是一种中国传统游戏，其规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字的和都相等．如图，已知一个三阶幻方由1至9这9个不同的数组成，则________，________． 14. 已知数列的通项公式为，为其前项和，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）在线段上找一点，使平面平面，求长； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． （1）求双曲线方程； （2）过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 17. 已知四边形中，与相似，且． （1）求； （2）求的面积． 18. 在一个抽奖游戏中，有A、B两个不透明的箱子．箱子A中装有3个红球和2个白球，箱子B中装有2个红球和3个白球．游戏规则如下： 第一轮，先从箱子A中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入箱子B中，然后从箱子B中随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得10分；若摸到白球，则玩家获得5分；若摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回箱子A中，然后从箱子A中再随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得8分，若摸到白球，则玩家获得3分． （1）求玩家在游戏中获得10分的概率． （2）设玩家在游戏中获得的分数为，求的分布列和数学期望． （3）根据第一轮结束后箱子A和B中球的实际情况，再从箱子A和B中随机选择一个箱子（选择箱子A和箱子B的概率均为），然后从选中的箱子中随机摸出2个球．求这2个球都是红球的概率． 19. 定义：对于一个多项式，如果存在正整数，使得可以表示为，其中，则称为“阶整数分解多项式”． （1）判断多项式是否为整数分解多项式？并说明理由； （2）若，且互不相同，求的值； （3）若为5阶整数分解多项式，为的互不相等的整数根，试用的根来表示的整数根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三三月联合测评 数 学 命题单位：圆创教育教研中心 本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解对数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，可得，解得或， 所以或， 又， 所以. 故选：A 2. 已知，虚数是关于的方程的根，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将方程的根代入方程，化为复数的代数形式，根据复数为零求出参数的值. 【详解】由题，，即， 所以，得，，所以. 故选：B 3. 设命题：，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题根据题意直接写出命题的否定即可. 【详解】解：因为命题：， 所以的否定：， 故选：B 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题. 4. 已知单位向量与的夹角为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，再根据数量积的运算律求出，，，最后由夹角公式计算可得. 【详解】因为单位向量与的夹角为， 所以， 所以， ， ， 设与的夹角为， 则，又，所以， 即与的夹角为. 故选：C 5. 已知定义域为的函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得的图象关于直线对称，由解析式可得在上单调递增，进而可得结论. 【详解】由可知，函数的图象关于直线对称， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 因为，所以，即. 故选：D. 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及已知条件得到，求出，再代入抛物线方程，求出. 【详解】抛物线的准线为， 又点在抛物线，所以点到点的距离与到直线的距离相等， 又，点到点的距离与到直线的距离相等， 所以，解得，即，所以，解得. 故选：B 7. 已知函数是增函数，则不可以取的一个值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得恒成立，分和两种情况讨论求得的取值范围，可得结论. 【详解】函数，定义域，是增函数，所以恒成立， 当时，即，， 当，由恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是，所以不可以取的一个值是. 故选：B. 8. 已知四面体的顶点均在半径为的同一球面上，且，则该四面体体积的最大值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设为的中点，为的中点，为四面体外接球的球心，通过 ，同样利用进行放缩后可得最大值． 【详解】因为，四面体外接球的半径为，设球心为，设为的中点，为的中点， 则球心到的中点的距离， 球心到的中点的距离； 所以， ， 所以，又，， 所以，当且仅当与垂直，且均与垂直时取等号． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线和和分别与交于和，则（ ） A. 的离心率为 B. 存在直线，使得 C. 为定值 D. 若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则变为圆 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得椭圆的离心率可判断A；设直线的方程为，，联立方程组，利用弦长公式求得，进而可求的最大值，最小值，可判断B；求得可判断C；求得变换后的轨迹方程判断D. 【详解】由椭圆，可得，所以， 所以椭圆的离心率为；故A正确； 可得椭圆的右焦点为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时，， 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，， 联立，消去，可得，整理得， 所以， 所以 ， 同理可得， ，当时，，且 所以的最小值为，最大值为，故B正确； 当直线斜率为0时，直线斜率不存在，此时，， 当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，同理可得 当直线，的斜率不为0时， 为定值，故C正确； 若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则方程为，故不是圆，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知表示中的最大者，则下列区间中是函数的单调递增区间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分和两种情况求解即可. 【详解】当，可得， 所以，所以在上单调递增， 当，可得， 所以，所以在上单调递增， 所以的单调递增区间的是和. 故选：ACD. 11. 已知数列中，，，，则（ ） A. B. 数列是递减数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用数学归纳法证明，即可得到，从而得到的单调性，即可判断A、B、C，结合说明D. 【详解】因为， 所以， 下证， 当时，，假设当时， 当时，， 所以， 所以， 所以，即，所以数列是递减数列，则，，故A错误，B、C正确； 当时，， 当时，，所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据233，144，89，55，34，21，13，8，5，3，2，1，则它们的上四分位数为________．（用具体数值作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用分位数的定义计算即可求解. 【详解】把数据由小到大排列为1，2，3，5，8，13，34，21，55，89，144，233. 因为，所以上四分位数为. 故答案为：. 13. 幻方是一种中国传统游戏，其规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字的和都相等．如图，已知一个三阶幻方由1至9这9个不同的数组成，则________，________． 【答案】 ①. 3 ②. 16 【解析】 【分析】由对角线，得到每行、每列、对角线的和都为，列出等式求解即可； 【详解】由对角线，可知每行、每列、对角线的和都为， 所以可得： 8 7-b b 10-c 5 c 13-a a 2 所以， 解得： 所以，， 故答案为：3；16 14. 已知数列的通项公式为，为其前项和，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】令，即可得到，再利用分组求和及裂项相消法计算可得. 【详解】令，则， 所以， 所以， 所以 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）在线段上找一点，使平面平面，求的长； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，可得，又可得，进而可得平面，可得平面平面，可求得的长； （2）取中点为，连接，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 取中点为，连接，因为，所以， 又平面，平面，， 因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 此时； 【小问2详解】 取中点为，连接，在平面内过点作的平行线为轴，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以与平面所成角的正弦值． 16. 已知双曲线左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）依题意可得，结合离心率求出、，即可得解； （2）依题意可得直线的方程为，设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由为锐角，可得，再由数量积的坐标表示得到不等式，解得即可； 【小问1详解】 依题意，解得， 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 由（1）知、， 依题意直线的斜率，则直线的方程为， 由，消去整理得， 设，， 当，即，由， 则，， 所以 ， 因为为锐角，所以， 即 ，解得或， 则或或， 又，所以的取值范围为. 17. 已知四边形中，与相似，且． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分，与，两种情况讨论，结合相似的性质计算可得； （2）分别利用余弦定理求出、，即可求出，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为与相似，且， 当，时，，即，解得，； 当，时，、、共线，不符合题意； 综上可得，； 【小问2详解】 在中，由余弦定理， 所以， 在中，由余弦定理， 所以， 所以 ， 所以. 18. 在一个抽奖游戏中，有A、B两个不透明箱子．箱子A中装有3个红球和2个白球，箱子B中装有2个红球和3个白球．游戏规则如下： 第一轮，先从箱子A中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入箱子B中，然后从箱子B中随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得10分；若摸到白球，则玩家获得5分；若摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回箱子A中，然后从箱子A中再随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得8分，若摸到白球，则玩家获得3分． （1）求玩家在游戏中获得10分的概率． （2）设玩家在游戏中获得的分数为，求的分布列和数学期望． （3）根据第一轮结束后箱子A和B中球的实际情况，再从箱子A和B中随机选择一个箱子（选择箱子A和箱子B的概率均为），然后从选中的箱子中随机摸出2个球．求这2个球都是红球的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）得10分的情况为：从中摸出2个红球，从中摸出一个红球和从中摸出2个白球，从中摸出一个红球的概率，由条件概率即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； （3）分三种情况：从中摸出2个红球，或2个白球，或1个红球1个白球，分别计算，再结合互斥事件和事件概率加法公式即可求解. 【小问1详解】 得10分的情况有： 从中摸出2个红球的概率，此时中有4个红球和3个白球，从中摸出一个红球的概率为， 从中摸出2个白球的概率，此时中有2个红球和5个白球，从中摸出一个红球的概率为， 所以玩家在第一轮游戏中获得10分的概率为； 【小问2详解】 的所有可能取值为， 当从中摸出1红1白，再从中摸出白球的概率为 ， 当从中摸出2红或2白，再从中摸出白球的概率为 ， 当从中摸出1红1白，再从中摸出白球的概率为 ， 由（1）知， 所以； 【小问3详解】 由（2）知，共有三种情况： 从中摸出2个红球，或2个白球，或1个红球1个白球， 当从中摸出2个红球时，中有4个红球和3个白球，中有1个红球和2个白球， 当从中摸出2个白球时，中有2个红球和5个白球，中有3个红球， 当从中摸出1个红球1个白球时，中有2个红球和3个白球，中有3个红球和2个白球， 所以取出两个球都是红球的概率为： 19. 定义：对于一个多项式，如果存在正整数，使得可以表示为，其中，则称为“阶整数分解多项式”． （1）判断多项式是否为整数分解多项式？并说明理由； （2）若，且互不相同，求的值； （3）若为5阶整数分解多项式，为的互不相等的整数根，试用的根来表示的整数根． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）0； （3）的根为． 【解析】 【分析】（1）直接因式分解直接得到答案； （2）因为，代入计算即可； （3）根据题意知，从而分析得仍为的根，最后再证明对无整数根即可. 【小问1详解】 因为， 所以多项式是3整数分解多项式． 【小问2详解】 ， 下面对通分后的分子为0进行简单计算说明， . 【小问3详解】 由题意， 于是． 因为，所以或． 从而仍为的根． 下面证明对无整数根． 若不然，不妨设有整数根， 则， 求出． 因为与1互质，所以与互质． 取， 则与互质． 再取，即有与互质． 对于任意绝对值大于1的整数，有与互质，所以与互质． 即与互质， 所以． 由于， 则， 即， 所以的根为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $