2025年九年级数学中考二轮复习《图形的相似常考考点分类》解答题专题提升训练

2025年春九年级数学中考二轮复习《图形的相似常考考点分类》 解答题专题提升训练（附答案） 一、相似图形的相关概念及性质 1．已知：线段a、b、c，且． (1)求的值． (2)如线段a、b、c满足，求的值． 2．如图，，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知，，，求线段的长． 3．如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 4．如图，内接于，的角平分线交于点，交于点，点在边上，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，点是的黄金分割点，求的度数． 5．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的三等分点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连结，使； (2)在图②中的边上确定一点，连结，使； (3)在图③中的边上确定一点，边BC上确定一点，连结、、，使的周长最小． 6．如图，正方形中，点在的延长线上，且，点为边上的一个动点，连接交于点，连接交点． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若． ①求证：； ②求证：点是线段的黄金分割点． 7．如图1，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： (1)当为何值时，； (2)在点、的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，是的中点，连接，与交于点，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 二、相似三角形 8．一寸光阴一寸金，光阴指时间，寸是长度单位，长度单位怎能表示时间呢？其实这句格言蕴含着丰富的数学道理．图1是土圭，在中国古代，利用土圭观察它正午时影子的长短，再根据影长的变化来确定季节的变化，这样就能用长度单位表示时间了．为了解土圭法，某校在一次综合与实践活动中进行实地测量．如图2，产生日影的杆子垂直于地面．在夏季的某天正午，杆子在太阳光线照射下形成影子；在冬季的某天正午，杆子在太阳光线照射下形成影子．若，尺，尺，求杆子的高度． 9．我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以P为支点，当C端上放置重物时，C端着地，D端距离地面是；当工人用力按压D端，直至点D着地落到时，C端的重物被送到处，此时重物距离地面为，求支点P到地面的距离． 10．如图，是公园的一圆形桌面的主视图，表示该桌面在路灯下的影子；则表示一个圆形凳子的主视图． (1)请你在图中标出路灯O的位置，并画出的影子（不用写作法，保留画图痕迹，光线用虚线表示，影子用实线表示）； (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为，测得影子长为，求路灯O到地面的距离． 11．如图，某厂房外有一盏路灯，点A发出的灯光能通过窗户照射到厂房内的地面上，经过窗户最高点C的光线落在地面F处，经过窗户最低点D的光线落在地面E处，其中点B，O，E，F在同一直线上．经测量得知：窗户距离地面的高度米，米，米，米． (1)求路灯的高； (2)求窗户的高． 12．如图，为圆O的直径，已知，点P在延长线上，平分． (1)求证：是圆O的切线； (2)若，圆的半径为5，求，的长． 13．如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米） (1)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长； (2)计算路灯A的高度． 14．蔡侯望河楼位于蔡国故城西垣，古时为“重阳登高处”．南北朝梁《续齐谐记》：东汉桓景曾在九月九日佩茱萸囊，举家登冈山望河楼以避灾．这是天下重阳源上蔡的重要佐证．某天小明站在地面上给站在蔡侯望河楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离蔡侯望河楼底部的距离米，小亮身高1.7米，B、D、F三点在同一水平线上，请根据以上数据求出蔡侯望河楼的高度． 15．如图1，在矩形中，点 E 为边上不与端点重合的一动点，点 F 是对角线上一点，连接，交于点O，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，若矩形是正方形，求的值． 16．汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：，，， (1)求车窗底部到地面的高度（即的长）； (2)求盲区中的长度； (3)点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由． 17．如图，是的外接圆，点D位于外一点，连接，，．交于点E，连接．已知． (1)如图1，求证：． (2)如图2，经过圆心O，． ①求的值； ②若，求的半径． 18．【问题背景】如图，点是菱形的对角线上一点，连接，延长后交于点，交的延长线于点． 【知识技能】 （1）求证：； 【数学理解】 （2）若点为的中点，求的值； 【拓展探索】 （3）若菱形的边长为，，，求的长． 19．在矩形中，，点E，F分别为直线上的动点，且，连． (1)如图1，若点E，F分别在边上，则与的位置关系为______，数量关系为______； (2)如图2，若点E，F分别在边的延长线上，EC的延长线与DF交于点H． 求证：； (3)在（2）的条件下，点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 20．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图1，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．求的长； 【问题提出】 （2）如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形对角线的交点，连接．若正方形的边长为12，的边长为13，求的长． 三、图形的位似 21．如图，与位似，点为位似中心． (1)若与的相似比为，，求的长； (2)若，，求的度数． 22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心作，使它与的位似比为； (2)在图2中，在AC边上找一个点E，使． 23．如图，已知是坐标原点，点B，C的坐标分别为． (1)以点为位似中心，在轴的左侧作，使它与位似，且位似比为2； (2)如果面积为，则的面积为_____； (3)若线段上有一点，请直接写出点的对应点的坐标_____． 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、 是的边上一点． (1)画出将向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的，并写出点A、P的对应点的坐标； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点A、P的对应点的坐标； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 四、相似三角形综合 25．如图，在中，，为上一点，经过点的分别交，于点，，与相切于点，连接，相交于点． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，求的长． 26．（1）如图1，，垂足为D，，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？ （2）如图2，在中，，，，重足为E，P为AB上一点，于D，交BE于F．求证：； （3）如图3，在中，，M为AC上一点，连接BM，，，，请直接写出BC的长． 27．如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 28．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 参考答案 1．（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 3．（1）解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 4．（1）解： ， . ， ； （2）解：连结． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连结． ， ， ， ，， ， ， ， ， ①当时， 是的黄金分割点， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得． ． ②当时， 是的黄金分割点， ，即， ， ， ， 在上截取，则有， ， ， ，即 ， ， ， ， 设，则，， 在中，， 解得， ， ， ， . 综上所述，或． 5．（1）解：取格点，连接交于点，取格点、，连接、、、， ∵如图是的正方形网格， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则点即为所作； （2）取格点，连接交于点，取格点、，连接、、、， ∵如图是的正方形网格， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则点即为所作； （3）取格点，连接交于点；取格点，连接；取格点，连接；取格点、，连接，，，交于点；连接，分别交、于点、，连接，， 由（1）知：，由（2）知：， ∵如图是的正方形网格， ∴，分别为由四个小正方形拼成的正方形的对角线且点，正方形的中心， ∴， ∵， ∴， ∴点和点关于对称， ∴， 又∵垂直平分， ∴点和点关于对称， ∴， ∴， 此时的周长最小，最小值为的长， 则点点、即为所作． 6．（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的黄金分割点. 7．（1）解：由题意得：，， ，， ，， ， ， ，即， 解得：， 当时，． （2）解：存在某一时刻，使得的面积等于6， 理由如下： 过点作于，作于，如图1， 则， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：，， ， ， 当时，的面积等于6． （3）解：存在，使得． 理由如下： 如图2，过点作于，于，交于，过点作于， 则 由（2）可知，，， 是的中点， ，，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ，， ， ，即， ，， ， ，， ， ，即， 解得：； 存在，使得． 8．解：由题意，， ， 又， ， 又， ， ， ， （尺）， 答：杆子的高度为8尺． 9．解：依题意得： ，， ， ， ， 又，， ， ， 同理可证： ， ， ， 答：支点到地面的高度为为． 10．（1）解：点O如图所示； 如图所示； （2）作于点F，交于点E， 则m． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 答：路灯O到地面的距离为3米． 11．（1）解： 又由图可知： 解得： 故路灯的高为8米； （2） 又 解得： ， 故窗户的高为米 12．（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∵为半径， 是圆的切线． （2），为直径， ， ， ， ， 设，， 在中，， 即， 解得（舍），， 故，． 13．（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：； ∴王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴路灯A的高度为12米． 14．解：如图，过点A作于点M，交于点N， 依题意，得， ． ， ， ， 即， 解得． ， ∴蔡侯望问楼的高度为（米）． 15．（1）解：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设正方形的边长为，则：， 延长交于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（1）解：在中， 答：车窗底部到地面的高度为1.12米 （2）解：由题意：四边形是矩形 ， 在中， ， 答：盲区中的长度为 （3）解：过点作， ，， ∴， 由，得， ∴，即， 解得：， 在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体． 17．（1）证明：∵在中， ． ， ， ． （2）解：①如图2，连接，， ， ． ， ， ． ， ． ， ． ， ． ． ． ， ， ， ∵经过圆心O， ∴是的直径． ． ； ②如图4，延长交于点F， ， ． ． ∵O为的中点， ． 由（2）①可得， ∴在中，． ∴在，． ． ∴（负根舍去）． ． 18．（1）证明：∵四边形是菱形且点是菱形的对角线上一点， ∴，， 在和中， ∴； （2）解：∵点为的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，． ∴， ∴， 即的值为； （3）∵菱形的边长为，，， ∴， ，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴， 解得：（舍去），， ∴． 19．（1）解：设与相交于点， ∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：，理由如下，如图，连接，， ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．解：（1）与都是等边三角形， ， ， ． 在和中，， ， ． （2）在等腰中，， ． 在等腰中，，， ． ， ， ， ． ， ， ， ． （3）如图，连接． 四边形是正方形， ． 点是正方形对角线的交点， ∴是等腰直角三角形， ， ， ． ， ， ． 正方形的边长为12，正方形的边长为13，即， ， ， ， 的长为． 21．（1）解：∵与的相似比为，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）∵，， ∴， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 22．（1）解：即为所求； （2）解：即为所求； 23．（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：以点为位似中心在轴的左侧将放大到原来的倍得到， ，相似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为； （3）解：从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以的坐标， ． 24．（1）解：如图，即为所求； 由图和题意，可知：； （2）如图，即为所求； ∵与的相似比为， ∴ （3）和关于某点为位似中心的位似图形，如图，位似中心即为所求； 由图可知：． 25．（1）证明：如图1，连接OD， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠ODB＝90°＝∠C， ∴ODAC， ∴∠ODA＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠OAD＝∠CAD， ∴AD平分∠BAC； （2）证明：如图2，连接DF，EF． ∵AE是⊙O的直径， ∴∠AFE＝90°＝∠C． ∴EFBC， ∴∠B＝∠AEF． ∵∠AEF＝∠ADF， ∴∠B＝∠ADF， 由（1）知∠BAD＝∠DAF， ∴△ABD∽△ADF， ∴， ∴AD2＝AB·AF； （3）解：设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R． ∵BE＝8， ∴OB＝BE＋OE＝8＋R． 在Rt△BDO中，， ∴， ∴R＝5， ∴AE＝2OE＝10，AB＝BE＋2OE＝18， 由（2）知∠AEF＝∠B，∠AFE＝90°， ∴． 在Rt△AFE中，， ∴， 由（2）知AD2＝AB·AF， ∴． 26．解：（1）如图，相似三角形有：，，． 证明如下： ∵，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （答案不唯一，选取一个说明即可） （2）过P作，分别交BE、BC于点H、G ，． ，．是等腰直角三角形． ． ∵，， ． ∴， ， ． ∵，，． ∴． 在和中 ， ∴， ∴， ∴； （3）过点作，过点作，如下图： 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，，即， 解得，， 又∵， ∴ ， ∴． 27．解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 28．解：（1）设CF交BE于点H， ∵四边形为矩形 ∴， ∴ 由翻折可得：， ∴为的中垂线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 由翻折得 ∴ ∴ 故答案为： （2）∵将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处 ∴， 又∵矩形ABCD中， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作于点 ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，设 ∵平分，， ∴，，设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$