2025年广东省深圳市南山区部分学校九年级中考一模数学试题

第 1页，共 6页 九年级数学一模试题 一、选择题：本题共 8 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.以下深圳四家企业标识图案中是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.截至 3 月 17 日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含港澳台及海外）突破 15100000000 元， 位居全球影史票房第 5 位。数据 15100000000 用科学记数法表示为（ ） A. 1.51 × 109 B. 15.1 × 109 C. 0.151 × 1011 D. 1.51 × 1010 3.某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图 1 所示.该浮漂的俯视图是图 2，那么它的主视 图是( ) A. B. C. D. 4.下列计算正确的是( ) A. �6 ÷ �2 = �3 B. 5�3 ⋅ 3�5 = 15�8 C. (� + 2)(� − 2) = �2 − 2 D. 5� − 2� = 3 5.不等式组 3 − � ≥ 02� + 4 > 0的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 6.为倡导绿色出行，我市在地铁口设置了共享单车服务。图①是某款共享单车的实物图，图②是其结构 示意图.支架 AB 和 CD 与地面平行，∠BCD=70°，∠BAC=50°.当∠MAC 为多少度时，AM 平行于支撑杆 BE？ ( ) A. 15 B. 60 C. 70 D. 115 第 2页，共 6页 7.如图，在△ ���中，∠��� = 90°，∠� = 30°，�� = 4.以点�为圆心，以��长为半径作弧，交��于点 �；再分别以点�和点�为圆心，以大于12��长为半径作弧，两弧相交于点�，作射线��交��于点�，则�� 的长为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8.如图，在菱形����中，�是对角线��上的一点，连结��并延长交��于点�，交��的延长线于点�.若 �� = 3，�� = 2 3，则��的长是( ) A. 2 B. 5 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 9.因式分解�2 − 4� =_______． 10.中国象棋中，馬走‘日’字格,如图，“馬”位于河界下方，其可达位置已用“●”标记，则“馬” 随机移动一次，到达的位置在河界上方的概率是 ． 11.数学家定义：若点�把线段��分成两部分，满足���� = 2 2 （AC＞BC），则点�为线段��的白银分割点. 已知点 C 是线段 AB 的白银分割点(AC＞BC)，且 BC = 4，则 AC= . 12.如图，直线� = �� + �(� ≠ 0)经过点�( − 2,4)，则不等式�� + � > 4 的解集为 ________． 13.如图，矩形����的两边��，��在坐标轴上，且�� = 2��，�，�分别为��，��的中点，��与�� 交于点�，且四边形����的面积为 2，则经过点�的双曲线的解析式________． 第 10 题图 第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 第 7 题图 第 8 题图 楚汉河界 第 3页，共 6页 三、解答题：本大题共 7 小题，共 61 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.(本题 6 分）计算：− 12025 + 3 − 2 + 2cos30 ∘ + 2 − tan60 ∘ 0 15.(本题 8 分）先化简： �+2 �2−2�+1 ⋅ �2−1 �2+2� − 2 �−1，再从−2，−1，0，1，2 中选择一个合适的数代 入求值． 16.(本题 8 分）根据以下调查报告解决问题 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注.某学习小组为了解本校八年级学生视力情 况，随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 频数 3.8 ≤ � < 4.0 3 4.0 ≤ � < 4.2 24 4.2 ≤ � < 4.4 18 4.4 ≤ � < 4.6 12 4.6 ≤ � < 4.8 9 4.8 ≤ � < 5.0 9 5.0 ≤ � < 5.2 15 合计 90 (说明：以上仅展示部分报告内容)． (1)本次调查活动采用的调查方式是______(填写“普查”或“抽样调查”)； (2)视力在“4.8 ≤ � < 5.0”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.8、 4.8、4.9、4.9，这组数据的中位数是______； (3)视力低于 5.0 属于视力不良，该校八年级学生有 600 人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为 多少人？ (4)视力在“3.8 ≤ � < 4.0”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，计算恰好抽到两 位男生的概率？ 第 4页，共 6页 17.(本小题 8 分) 根据如表所示素材，探索完成任务． 深圳华强北电子配件采购方案 素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进 A、B 两种充电器，两次同型号 进价相同： 采购批次 A 数量（件） B数量（件） 采购总费用（元） 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 素材二 售价 A：30 元/件，B：100 元/件. 素材三 计划共购进 1000 件充电器，且 A 数量不少于 B 数量的 4 倍. 问题解决 任务一 求 A、B充电器每件进价. 任务二 求获利最大的进货方案及最大利润. 18.(本小题 9 分) 如图，△ ���内接于⊙�，��为直径，作�� ⊥ ��交��于点�，且�� = ��，�� = 4，�� = 2． (1) 连接 OC，求∠AOC 的度数？ （2）求证：直线��是⊙�的切线． （3）求图中阴影部分的面积． 第 5页，共 6页 19（本小题 11 分) 如图，是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是该小 组绘制的水滑道截面图，如图 1，人从点�处沿水滑道下滑至点�处腾空飞出后落入水池.以地面所在的 水平线为�轴，过腾空点�与�轴垂直的直线为�轴，�为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和 人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下 三个问题，请你解决． (1)如图 1，点�与地面的距离为 2 米，水滑道最低点�与地面的距离为78米，点�到点�的水平距离为 3 米，则水滑道���所在抛物线的解析式为______； (2)如图1，腾空点�与对面水池边缘的水平距离�� = 12 米，人腾空后的落点�与水池边缘的安全距离�� 不少于 3 米.若某人腾空后的路径形成的抛物线��恰好与抛物线���关于点�成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线��的解析式； ②此人腾空飞出后的落点�是否在安全范围内？请说明理由(水面与地面之间的高度差忽略不计)； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图 2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道 距地面 4 米的点�处竖直支撑的钢架��，另一条是点�与点�之间连接支撑的钢架��.现在需要在水滑 道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与��平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定 在钢架��上，另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度(结果保留根号)． 第 6页，共 6页 20. (本小题 11 分) 【性质探究】 如图，在矩形����中，对角线��，��相交于点�，��平分∠���，交��于点�.作�� ⊥ ��于点�，分别 交��，��于点�，�． (1)判断△ ���的形状并说明理由． (2)求证：�� = 2��． 【迁移应用】 (3)记△ ���的面积为�1，△���的面积为�2，当 �1 �2 = 13时，求 �� ��的值． 【拓展延伸】 (4)若��交射线��于点�，【性质探究】中的其余条件不变，连结��，当△ ���的面积为矩形����面 积的 1 10时，请直接写出 tan∠���的值． 九年级数学一模参考答案 一、选择题：每题3分，共24分 1 2 3 4 5 6 1 8 D D B D B B D 二、填空题：每题3分， 共15分 9 10 11 12 13 x(x-4) 4W2 x>-2 y=-10 三、解答题：共61分 14.(本题6分) 解：-12025+W3-2+2c0s30°+(2-tan60)° =-1+2-3+2x号+1 .-4分 =2: -6分 15.(本题8分) x+2 x2-1_2 x2-2x+1x2+2xx-1 =品.+x--2 x-1)21 x(x+2) -1 2分 岛 2 …3分 x+1 2x =x-x(x-可 …4分 1-x Γx(x-1) -5分 --6分 ,x-1≠0，X(x+2)≠0， .x≠1，x≠0，x≠-2， 当x2时，原式- -7分 或当x=-1时，原式=1； -8分 (得分点：①第1步三个因式分解任意两个正确即得2分：②代值计算时，x值选用正确得1分， 计算正确1分.) 第1页，共7页 16.(本题8分) 解：(1)抽样调查 -2分 （2)48 -4分 (3)根据题意得：600×0-15500（人）- -5分 90 故该校八年级右眼视力不良的学生约为500人-----6分 (4)列树状图： 开始 -7分 男女 男女男男 共有6种等可能出现的结果，其中恰好抽到两位男生的有2种，所以从中随机抽取两位学生采访， 故恰好抽到两位男生的概奉是影= -8分 6 17.(本题8分) 解：任务一：设A种充电器每件的进价为x元，B种充电器每件的进价为y元， 根据题意得： 30x+40y=3800 40x+30y=32001 2分 解得： K=20 y=80 --3分 答：A种充电器每件的进价为20元，B种充电器每件的进价为80元：---4分 (得分点：①列方程组2分，②求解正确1分，③结论1分) 任务二：(2)设购进B种充电器m件，获得的利润为w元，则购进A种充电器(1000一m)件， 根据题意得：w=(30-20)(1000-m)+(100-80)m=10m+10000.---5分 ~A种充电器的数量不少于B种充电器数量的4倍， ÷1000-m≥4n, 解得：m≤200. -6分 在w=10m+10000中， ∴w的值随m的增大而增大， 当m=200时，w取最大值，最大值为10×200+10000=12000，-7分 当购进A种充电器800件、B种充电器200件时，销售利润最大，最大利润为12000元.8分 (得分点：①列不等式1分，②利润函数1分，③分析最值1分，④结论1分) 第2项，共7页 18.(本题9分) (1)解：，0E⊥AB,BE=4,0E=2 在Rt△0BB中，sinB=oE=1 -1分 BE 2 ∴.∠B-30°，2分 .∠A0C=2∠B=60° --3分 (2)证明：由(1)Rt△0BE中，∠B=30° ,∠0B=60°， 六∠DEC=∠0EB=60°， .'DE=DC, .∠DCE=∠DEC=60°， -4分 B 0 0C=0B ∴∠0CB=∠B=30°， ∴.∠OCB+∠DCE=90°， 即∠DC0=90°，----- --5分 ∴DC为⊙O的切线： -6分 (得分点8①证角关系：∠DCE=∠DEC1分：②推导垂直&∠BC0+∠DCE=90或∠DC0=90°1分： ③结论1分) (2)解：在Rt△0BE中，BB=4,0E=2 ∴.0B=VBE2-0E2=2V3 ∴.0C=0B=2V3 ,OE⊥AB ∴.∠C0D=30 ∴，在Rt△0CD中，CD=OC tan:30°=2 5影=5a0cD-50形=×2×2V3-30X22=2V3-元 -9分 360 (得分点：①求边长0C、CD1分：②阴影面积正取表示1分：③结果1分) 第3页，共7页 19.(本题11分) 解：（①y=吉c+3)2+ 3分 (2)①油题意，抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称， 抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称. ·B是它们的中点. 又C(-3日)，B0,2), W米， 抛物线BD的项点为6，吾) 此人腾空后的最大高度为空米. 4分 E米 又此时可设抛物线BD为y=a'(c-3)2+名 图I 将B(0,2)代入得， a(0-3)2+曾=2. 抛物线BD的解折式y=-言红-3)}+百 -6分 (得分点：最大高度1分：正确写出表达式2分) ②油0得y=-吉x-3+名 令y=0, 0=-c-32+名 x=8或x=-2(含去) 0D=8米. …7分 又0E=12米， ∴DB=12-8=4>3. 落点D在安全范围内，… -8分 (得分点：求D点横坐标或0D长度1分：判断安全1分) 第4页，共7页 (3)由题意，如图，EF即为所求钢架， ~ACB所在抛物线y=x+3)2+日 令y=4,·4=ax+3)2+日 x=-8或x=2(含去) M(-8,4). y米 又B(0,2) A 直线BM为y=-x+2. 9分 M B EF//BM. E 可设F为y=-x+m 米 联立方程组 y=-ix+m 0=+3)驴+日 c+3y+名=-x+m x2+8x-8m+16=0. 4=64-4(-8m+16)=0. 六m=0 直线EF为y三-x,过原点，即F与0重合.10分 M(-8,4) 冷x=-8,则y=-x=-×(-8)=2 0E=2米，0W=8米， 又∠EN0=90°， EF=E0=V22+87=2y17(米).----11分 答：这条钢架的长度为2W17米. (得分点：求直线BW解析式1分：求直线℉解析式1分：钢架长度1分) 第5页，共7页 20.(本题11分) (1)解：如图1中，△AFG是等腰三角形. -1分 理由：AE平分∠BAC, D ÷∠1=∠2， -2分 G DF⊥AE, ∠AHF=∠AHG=90°， .AH=AH, E ∴△AHF≌△AHG(ASA), 图1 ..AF AG, △AFG是等腰三角形， 3分 (2)证明：如图2中，过点O作OL/AB交DF于L,则∠AFG=∠OLG. 4分 AF=AG, ∠AFG=∠AGF, D ∠AGF=∠OGL: .∠OGL=∠OLG ÷0G=0L, OL//AB, E ∴△DLO∽△DFB, 图2 器品 5分 四边形ABCD是矩形， .BD 20D, ..BF 20L, .BF=20G. ---6分 第6页，共7页 (1)解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K,则∠DKA=∠CDA=90°， :∠DAK=∠CAD, ∴△ADK∽△ACD, D .DK=CD 2 = -7分 G 53=0GDK.S2=BFAD. 又~BF=20G, - B 8分 图3 设CD=2x,AC=3x,则AD=√5x, 9分 (4)5或1o5 --------11分 5 15 第7页，共7页