精品解析：河南省南阳市六校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题

2025年春期六校第一次联考 高二年级数学试题 命题学校：南召一中 审题学校：方城一高 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列的前项和，则（ ） A. 13 B. 14 C. 17 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据求值. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 2. 有一散点图如图所示，在六组数据中去掉点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 样本数据的两变量正相关 B. 相关系数的绝对值更接近于0 C. 去掉点后，回归直线的效果变弱 D. 变量与变量相关性变强 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图分析回归直线的拟合效果. 【详解】对A：由图可知，样本数据的两变量负相关，故A错误； 对B：由图可知，点相对于其它点，偏离直线远，故去掉点后，回归直线的拟合效果会更好，相关系数的绝对值更接近于1，故B错误； 对C：去掉点后，回归直线的效果变强，故C错误； 对D：正确. 故选：D 3. 已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等比中项的定义得出；再根据等差数列的通项公式得出，化简即可解答. 【详解】因为是与的等比中项， 所以. 又因为数列为等差数列，公差为， 所以，化简得，即， 所以. 故选：A. 4. 在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为.已知，则（ ） A. 的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” B. 的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” C. 的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小 D. 的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立性检验判断各个选项即可. 【详解】因为，则的值大于3.841， 就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”，A选项错误，B选项正确； 的值的大小不能说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差，C，D选项错误. 故选：B. 5. 已知数列为等比数列，，，则（ ） A. 128 B. 169 C. 254 D. 255 【答案】D 【解析】 【分析】先求等比数列的首项和公比，再根据等比数列的求和公式求解. 【详解】设等比数列公比为，则. 由， 所以. 故选：D 6. 某数列前12项依次是，则数列中的值应为（ ） A. 56 B. 60 C. 62 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】观察数列，找到规律，即可求解. 【详解】观察数列，易知奇数项和偶数项规律不同. 奇数项为 则，，，，易知， 所以. 故选：B. 7. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知对于任意都有，说明数列是递减数列.因为数列的通项公式是分段函数形式，所以需要分别考虑和时数列的单调性，同时还要考虑两段函数在处的衔接情况，从而确定实数的取值范围. 【详解】当时，，函数单调递减，所以，移项可得.  当时，，这是一个指数函数形式（且）经过平移变换得到的， 当时，函数单调递减. 因对于任意都有，所以. ，. 则，可得，即，解得.  综合以上三个条件：，，，取交集可得.  实数的取值范围为， 故选：C. 8. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得. 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以. 故选：C. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（ ） A. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B. 相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 C. 由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数一定能确切地反映变量之间的相关关系 D. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 【答案】BD 【解析】 【分析】分别根据回归直线、线性回归方程、样本相关系数以及独立性检验的相关概念和性质，对每个选项进行分析判断. 【详解】回归直线是通过最小二乘法拟合数据得到的直线，它的目的是使样本数据点到该直线的距离的平方和最小，而不是经过样本数据点最多的那条直线.所以选项错误.  对于线性回归方程，因为样本点中心一定在回归直线上，所以将，代入回归方程可得： ，即，解得.所以选项正确.  由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数只是对变量之间相关关系的一个估计，它受到样本随机性的影响，不一定能确切地反映变量之间的相关关系.所以选项错误.  在独立性检验中，随机变量的观测值越小，说明两个变量之间越可能没有关系，那么“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率就越大.所以选项正确.  故选：BD 10. 设数列都是等比数列，则下列选项中一定是等比数列的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据等比数列的定义即可判断. 【详解】设等比数列的公比分别为. 与可能为0，故A，B错误； ，故是等比数列，故C正确； ，故是等比数列，故D正确. 故答案为：CD. 11. 如图，有边长为1的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列，设原正方形的面积为，其后新的正方形面积依次为，则下列表述正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. C. 到第9次构成新正方形时，当前所有正方形面积的和为 D. 如果把这一过程无限制地延续下去，则全部正方形面积相加“最终”（即极限）会达到2 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据正方形边长与面积的关系，找出相邻正方形面积之间的关系，判断数列是否为等比数列；然后利用等比数列通项公式求；再用等比数列前项和公式求前项和；最后求无穷等比数列各项和的极限. 【详解】已知原正方形边长为，根据正方形面积公式可得.  因为新正方形是由前一个正方形对角线的一半构成，设原正方形边长为，则其对角线长为，那么新正方形边长为，新正方形面积.  即后一个正方形面积是前一个正方形面积的，所以（）.  可知数列是以为首项，为公比的等比数列，A选项正确.   等比数列的通项公式为（为首项，为公比）.  则，B选项错误.   等比数列的前项和公式为（）.  这里，，，则，C选项正确.   对于首项为，公比为（）的无穷等比数列，其各项和的极限公式为.  因为，，所以，D选项正确.   故选：ACD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若数列满足，其前项和为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数列的周期性求和. 【详解】因为. 所以数列是以4为周期的周期数列. 又，， ，， 所以. 所以. 故答案为： 13. 摄影胶片绕在盘上，空盘时直径为，满盘时直径为，已知胶片厚度是.则满盘时，一盘胶片总长度大约是__________（以胶片外侧为半径计算，取3.14，精确到）. 【答案】63 【解析】 【分析】先求出胶片绕的圈数，再根据圆的周长公式求出每一圈的周长，最后将每一圈的周长相加，结合等差数列求和得到胶片的总长度. 【详解】已知空盘时直径为为，满盘时直径为，则胶片绕的总厚度为. 又已知胶片厚度是，所以胶片绕的圈数为圈.  我们以胶片外侧为半径计算，从内到外每一圈的半径依次增加.. 最内圈半径为，最外圈半径为. 根据圆的周长公式（其中为周长，为圆周率，为半径），可得每一圈的周长依次为（）.  将每一圈的周长相加，可得到胶片的总长度：  因为，所以. 故答案为：63. 14. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得的边长，结合图形求得周长，计算并化简，求得即得. 【详解】由， 可得，，，， 所以， 所以， 所以前项和， 所以 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）因为数列满足，所以用累加法求解即可； （2）由（1）可求得，结合等差数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以 . 16. 在2025年春晚《秧BOT》节目中，宇树科技的Unitree H1“福兮”机器人采用人工智能（AI）驱动全身运动控制技术，能根据音乐旋律调整舞步，其最大关节扭矩高达360牛顿•米.节目播出后引发公众对机器人技术的兴趣和热情，为了了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 （1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对AI的关注与性别有关？ （2）在这90名学生中随机抽取一位，求在关注AI的情况下，该生为女生的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析；有的把握认为学生对AI的关注与性别有关. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，完成列联表，求出，对照数据即可得到结论. （2）根据条件概率的计算公式求解. 【小问1详解】 完成列联表如下： 关注 不关注 合计 男生 55 5 60 女生 20 10 30 合计 75 15 90 则. 因为，所以有的把握认为学生对AI的关注与性别有关. 【小问2详解】 设事件：表示关注“关注AI”，事件表示“该生为女生”. 则，， 所以. 即在这90名学生中随机抽取一位，在关注AI的情况下，该生为女生的概率为. 17. 在数列中，已知. （1）证明：是等比数列； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可. （2）采用分组求和法求数列的前项的和. 【小问1详解】 因为， 且， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知：. 所以， 所以. 18. 设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】 【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； （2）当d＞1时，由（1）知cn，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可． 【详解】解：（1）设a1＝a，由题意可得， 解得，或， 当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1； 当时，an（2n+79），bn＝9•； （2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1， ∴cn， ∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•， ∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•， ∴Tn＝2（2n﹣1）•3， ∴Tn＝6． 【点睛】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 19. 已知等比数列的首项为正实数，若，，也构成等比数列，且数列唯一确定. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）数列中不存在3项，，成等比数列，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）设的公比为，然后根据题意列方程化简可得，再由且数列唯一确定，可得方程必有一个根为零，从而可求出的值，进而可求出，则可求得数列的通项公式； （2）由（1）知，则可得，不妨设数列中存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列，然后列方程化简得出矛盾，从而可得结论. 【小问1详解】 设的公比为，由，，也构成等比数列， 得，解得（*） 由得，故方程（*）必有两个不同的实根， 而唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得， 从而得，即， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 数列中不存在3项，，成等比数列，理由如下： 由（1）知，则，所以， 所以， 不妨设数列中存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列，则， 所以，即， 又因成等差数列，所以， 所以，化简得， 所以，又，所以，这与已知矛盾. 所以数列中不存在3项，，成等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期六校第一次联考 高二年级数学试题 命题学校：南召一中 审题学校：方城一高 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列的前项和，则（ ） A. 13 B. 14 C. 17 D. 18 2. 有一散点图如图所示，在六组数据中去掉点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 样本数据两变量正相关 B. 相关系数的绝对值更接近于0 C. 去掉点后，回归直线的效果变弱 D. 变量与变量相关性变强 3. 已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 4. 在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为.已知，则（ ） A. 的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” B. 的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” C. 的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小 D. 的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大 5. 已知数列等比数列，，，则（ ） A 128 B. 169 C. 254 D. 255 6. 某数列前12项依次是，则数列中的值应为（ ） A. 56 B. 60 C. 62 D. 64 7. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（ ） A. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B. 相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 C. 由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数一定能确切地反映变量之间的相关关系 D. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 10. 设数列都是等比数列，则下列选项中一定是等比数列的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，有边长为1的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列，设原正方形的面积为，其后新的正方形面积依次为，则下列表述正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. C. 到第9次构成新正方形时，当前所有正方形面积的和为 D. 如果把这一过程无限制地延续下去，则全部正方形面积相加“最终”（即极限）会达到2 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若数列满足，其前项和为，则__________. 13. 摄影胶片绕在盘上，空盘时直径为，满盘时直径为，已知胶片厚度是.则满盘时，一盘胶片总长度大约是__________（以胶片外侧为半径计算，取3.14，精确到）. 14. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求. 16. 在2025年春晚《秧BOT》节目中，宇树科技的Unitree H1“福兮”机器人采用人工智能（AI）驱动全身运动控制技术，能根据音乐旋律调整舞步，其最大关节扭矩高达360牛顿•米.节目播出后引发公众对机器人技术的兴趣和热情，为了了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 （1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对AI的关注与性别有关？ （2）在这90名学生中随机抽取一位，求在关注AI的情况下，该生为女生的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 在数列中，已知. （1）证明：是等比数列； （2）若，求数列的前项和. 18. 设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和． 19. 已知等比数列的首项为正实数，若，，也构成等比数列，且数列唯一确定. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $